13.2 非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

§13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)一、周期函數(shù)f(t)=f(t+kT) T為周期函數(shù)f(t)的周期，

k=0，1，2，……

如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。

周期函數(shù)在一個周期內(nèi)包含有限個最大值和最小值以及有限個第一類間斷點。

電路中的非正弦周期量都能滿足這個條件。13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)二、傅里葉級數(shù)的兩種形式1、第一種形式13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算公式13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)2、第二種形式

A0/2稱為周期函數(shù)的恒定分量（或直流分量）；

A1mcos(ω1t+ψ1)稱為1次諧波（或基波分量），其周期或頻率與原周期函數(shù)相同； 其他各項統(tǒng)稱為高次諧波， 即2次、3次、4次、……13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)3、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系第一種形式第二種形式A0=a0ak=Akmcosφkbk=-

Akmsinφk13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)4、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義+-傅氏分解A0/2u1u2…+-u(t)u(t)分解后的電源相當(dāng)于無限個電壓源串聯(lián)對于電路分析應(yīng)用的方法是

疊加定理13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)三、f(t)的頻譜

傅里葉級數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。 為了表示一個周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”， 用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段， 按頻率的高低順序把它們依次排列起來， 得到的圖形稱為f(t)的頻譜。13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)1、幅度頻譜各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。2、相位頻譜 把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。OAkmkω14ω13ω12ω1ω113.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)例：求周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式及其頻譜Of(t)tω1tEm-Emπ2πT解：f(t)在第一個周期內(nèi)的表達式為f(t)=Em-Em13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)根據(jù)公式計算系數(shù)0Of(t)tω1tEm-Emπ2πT13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)Of(t)tω1tEm-Emπ2πT=013.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時：cos(kπ)=1bk=0當(dāng)k為奇數(shù)時：cos(kπ)=013.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)由此求得一次諧波13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)三次諧波基波+三次諧波13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)Of(t)Em-Emω1t13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)Of(t)Em-Emω1t取到11次諧波時合成的曲線

比較兩個圖可見，諧波項數(shù)取得越多，合成曲線就越接近于原來的波形。13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)Of(t)tω1tEm-Emπ2πTf(t)=Em-Em令Em=1，ω1t=π/2f(t)=113.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)正如計算e

的值令x=1得f(t)=1=13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)矩形信號f(t)的頻譜OAkmkω17ω15ω13ω1ω113.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)3、頻譜與非正弦信號特征的關(guān)系波形越接近正弦波， 諧波成分越少；波形突變點越小， 頻譜變化越大。f(t)=10cos(314t+30°)OAkmkω1ω113.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)1、偶函數(shù)

f(t)=f(-t)

縱軸對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函數(shù)波形特征與展開式的系數(shù)之間的關(guān)系13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)可以證明：

bk=01、偶函數(shù) 縱軸對稱的性質(zhì)

f(t)=f(-t)展開式中只含有余弦項分量和直流分量13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)=013.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)f(t)=-f(-t)原點對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot2、奇函數(shù)13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)可以證明：

ak=0原點對稱的性質(zhì)f(t)=-f(-t)2、奇函數(shù)展開式中只含有正弦項分量13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)f(t)=-f(t+T/2)鏡對稱的性質(zhì)Of(t)tT3、奇諧波函數(shù)13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)鏡對稱的性質(zhì)f(t)=-f(t+T/2)3、奇諧波函數(shù)可以證明：

a2k=b2k=0f(t)=展開式中只含有奇次諧波分量13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)f(t)Ot判斷下面波形的展開式特點f(t)是奇函數(shù) 展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù) 展開式中只含有奇次諧波f(t)=13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

系數(shù)Akm與計時起點無關(guān)（但ψk是有關(guān)的）， 這是因為構(gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對該函數(shù)波形的相對位置總是一定的， 并不會因計時起點的變動而變動； 因此，計時起點的變動只能使各次諧波的初相作相應(yīng)地改變。 由于系數(shù)ak和bk與初相ψk有關(guān)，所以它們也隨計時起點的改變而改變。 4、系數(shù)和計時起點的關(guān)系（1）13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)

由于系數(shù)ak和bk與計時起點的選擇有關(guān)，所以函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計時起點的選擇有關(guān)。 但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計時起點無關(guān)。 因此適當(dāng)選擇計時起點有時會使函數(shù)的分解簡化。4、系數(shù)和計時起點的關(guān)系（2）13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)例：已知某信號半周期的波形，在下列不同條件下畫出整個周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次諧波分量13.2非正弦周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)Of(t)t1、只含有余弦分量f(t)應(yīng)是偶函數(shù)關(guān)于縱軸對稱13.2非正弦周期函數(shù)分