第十三章達(dá)朗貝爾原理哈工大理論力學(xué)課件

第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)達(dá)朗貝爾原理動力學(xué)

達(dá)朗貝爾原理提供了研究動力學(xué)問題的一個新的普遍方法，即用靜力學(xué)中研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)問題，因此又稱為動靜法。

第十三章達(dá)朗貝爾原理動力學(xué)達(dá)朗貝爾原第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)

達(dá)朗貝爾原理為解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題提供了有別于動力學(xué)普遍定理的另外一類方法。引進(jìn)慣性力的概念，將動力學(xué)系統(tǒng)的二階運動量表示為慣性力，進(jìn)而應(yīng)用靜力學(xué)方法研究動力學(xué)問題——達(dá)朗貝爾原理。達(dá)朗貝爾原理一方面廣泛應(yīng)用于剛體動力學(xué)求解動約束力；另一方面又普遍應(yīng)用于彈性桿件求解動應(yīng)力。第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)達(dá)朗貝爾原理為解工程實際問題第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)

工程實際問題第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)車底盤距路面的高度為什么不同？第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜法)

車底盤距路面的高度為什么不同？第十三章達(dá)朗貝爾原理(動靜

質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理

質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理§13-1

達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理§13-1達(dá)ABM該質(zhì)點的動力學(xué)基本方程為

設(shè)質(zhì)量為m的非自由質(zhì)點M，在主動力F和約束力FN作用下沿曲線運動，F(xiàn)IFFN或引入質(zhì)點的慣性力FI

=－ma

這一概念，于是上式可改寫成

上式表明，在質(zhì)點運動的每一瞬時，作用于質(zhì)點的主動力、約束力和質(zhì)點的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系。這就是質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理。ama§13-1達(dá)朗貝爾原理一、質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理ABM該質(zhì)點的動力學(xué)基本方程為設(shè)質(zhì)量為m的非自質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理的投影形式質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理§13-1達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理的投影形式質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點達(dá)朗貝爾原理

這表明，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于每一質(zhì)點上的主動力、約束力和該質(zhì)點的慣性力在形式上構(gòu)成一平衡力系。

上述質(zhì)點的達(dá)朗貝爾原理可以直接推廣到質(zhì)點系。將達(dá)朗貝爾原理應(yīng)用于每個質(zhì)點，得到n個矢量平衡方程。這就是質(zhì)點系的達(dá)朗貝爾原理?！?3-2質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理二、質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理這表明，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于每一質(zhì)點上的主

對于所討論的質(zhì)點系，有n個形式如上式的平衡方程，即有n個形式上的平衡力系。將其中任何幾個平衡力系合在一起，所構(gòu)成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學(xué)中空間任意力系的平衡條件，有質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理§13-2質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理對于所討論的質(zhì)點系，有n個形式如上式的平衡方

上式表明，在任意瞬時，作用于質(zhì)點系的主動力、約束力和該點的慣性力所構(gòu)成力系的主矢等于零，該力系對任一點O的主矩也等于零。

達(dá)朗貝爾原理提供了按靜力學(xué)平衡方程的形式給出質(zhì)點系動力學(xué)方程的方法，這種方法稱為動靜法。這些方程也稱為動態(tài)平衡方程。質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理§13-2質(zhì)點系達(dá)朗貝爾原理上式表明，在任意瞬時，作用于質(zhì)點系的主動力、由質(zhì)心運動定理有F=maC

,得

對于作任意運動的質(zhì)點系，把實際所受的力和虛加慣性力各自向任意點O簡化后所得的主矢、主矩分別記作F，MO和FIR

，MIO，于是，由力系平衡條件，可得即,質(zhì)點系慣性力的主矢恒等于質(zhì)點系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，而取相反方向。一、慣性力系的簡化1.慣性力系的主矢§13-3慣性力系的簡化由質(zhì)心運動定理有F=maC,得對于由對任意固定點O的動量矩定理有，現(xiàn)將上式兩端投影到任一固定軸Oz上，

上式表明：質(zhì)點系的慣性力對于任一固定點（或固定軸）的主矩，等于質(zhì)點系對于該點（或該軸）的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，并冠以負(fù)號。2.慣性力系的主矩代入得●

對任意固定點●

對固定軸§13-3慣性力系的簡化由對任意固定點O的動量矩定理有

上式表明：質(zhì)點系的慣性力對質(zhì)心（或通過質(zhì)心的平動軸）的主矩，等于質(zhì)點系對質(zhì)心（或該軸）的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，并冠以負(fù)號。以及它在通過質(zhì)心C的某一平動軸上的投影表達(dá)式

利用相對于質(zhì)心的動量矩定理，可以得到質(zhì)點系的慣性力對質(zhì)心C的主矩表達(dá)式

慣性力系的主矩●

對質(zhì)心點●

對質(zhì)心軸§13-3慣性力系的簡化上式表明：質(zhì)點系的慣性力對質(zhì)心（或通過質(zhì)心的

慣性力系的主矩

慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關(guān)。慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關(guān)。

注意§13-3慣性力系的簡化慣性力系的主矩慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關(guān)。1.剛體作平動aCa1a2anMm2mnm1FIRnFIR1FIR2FIR

剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質(zhì)心的合力。

剛體平移時，慣性力系向質(zhì)心簡化

●

主矢

●

主矩§13-3慣性力系的簡化二、剛體常見運動情況下慣性力的主矢和主矩

1.剛體作平動aCa1a2anMm2mnm1FIRnFIRαOCzyx2.剛體做定軸轉(zhuǎn)動

設(shè)剛體繞固定軸Oz轉(zhuǎn)動，在任意瞬時的角速度為ω，角加速度為α。

●

主矢具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動。

設(shè)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動半徑為rC，則和的大小可分別表示為剛體做定軸轉(zhuǎn)動§13-3慣性力系的簡化rCαOCzyx2.剛體做定軸轉(zhuǎn)動設(shè)剛體繞固定

顯然，當(dāng)質(zhì)心C在轉(zhuǎn)軸上時，剛體的慣性力主矢必為零。其中剛體做定軸轉(zhuǎn)動§13-3慣性力系的簡化αOCzyxrC顯然，當(dāng)質(zhì)心C在轉(zhuǎn)軸上時，剛體的慣性力主矢必

●

主矢

具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向固定軸簡化，得到的慣性力系主矢的大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。剛體做定軸轉(zhuǎn)動§13-3慣性力系的簡化αOCzyxrC●主矢具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直αOCzyx即

●

對轉(zhuǎn)軸的主矩將剛體對轉(zhuǎn)軸Oz的動量矩代入可得剛體慣性力對軸Oz的主矩M*z剛體做定軸轉(zhuǎn)動§13-3慣性力系的簡化rCαOCzyx即●對轉(zhuǎn)軸的主矩將剛體對轉(zhuǎn)軸Oz的動量矩

具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向固定軸簡化的結(jié)果，得到合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方向相反。剛體做定軸轉(zhuǎn)動

●

對轉(zhuǎn)軸的主矩§13-3慣性力系的簡化αOCzyxM*z具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于質(zhì)量對稱平

●

主矢

●

對轉(zhuǎn)軸的主矩

合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。

具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向固定軸簡化的結(jié)果，得到一個合力和一個合力偶。

合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方向相反。剛體做定軸轉(zhuǎn)動OCMIzα§13-3慣性力系的簡化●主矢●對轉(zhuǎn)軸的主矩合力的矢量3.剛體作平面運動

具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與質(zhì)量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對稱平面內(nèi)簡化，得到這一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作進(jìn)一步簡化。§13-3慣性力系的簡化3.剛體作平面運動具有質(zhì)量對稱平面的剛體作3.剛體作平面運動

若取質(zhì)心C為基點，則剛體的平面運動可以分解為隨質(zhì)心C的平動和繞質(zhì)心（通過質(zhì)心且垂直于運動平面的軸）的轉(zhuǎn)動。CαaCrimiaC

剛體上各質(zhì)點的加速度及相應(yīng)的慣性力也可以分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動兩部分。

于是，此剛體的牽連平動慣性力可合成為作用線通過質(zhì)心、且在對稱面內(nèi)的一個力FI。

因質(zhì)心C在相對運動的轉(zhuǎn)軸上，故剛體的相對轉(zhuǎn)動的慣性力合成為一力偶。FIMIC§13-3慣性力系的簡化3.剛體作平面運動若取質(zhì)心C為基點，則剛

具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與質(zhì)量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質(zhì)心簡化的結(jié)果得到一個合力和一個合力偶，二者都位于質(zhì)量對稱平面內(nèi)。

合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。

●

主矢§13-3慣性力系的簡化CαaCrimiaCFIMIC具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動

合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體對通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方向相反。

●

主矩§13-3慣性力系的簡化CαaCrimiaCFIMIC合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等3.剛體作平面運動

●

主矩

●

主矢向質(zhì)心簡化1.剛體作平動向質(zhì)心簡化

●

主矢

●

主矩2.剛體做定軸轉(zhuǎn)動

●

主矢

●

對轉(zhuǎn)軸的主矩向固定軸簡化綜上所述：§13-3慣性力系的簡化3.剛體作平面運動●主矩●主矢向質(zhì)心簡化1.27§13-4定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力

靜平衡與動平衡的概念

一、剛體的軸承動反力剛體的角速度，角加速度（逆時針）主動力系向O點簡化:主矢,主矩慣性力系向O點簡化:主矢,主矩27§13-4定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力一、剛282829根據(jù)動靜法：其中有五個式子與約束反力有關(guān)。設(shè)AB=l,OA=l1,OB=l2可得29根據(jù)動靜法：其中有五個式子與約束反力有關(guān)。設(shè)AB=l,30

由兩部分組成，一部分由主動力引起的，不能消除，稱為靜反力；一部分是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動反力，它可以通過調(diào)整加以消除。

使附加動反力為零，須有靜反力附加動反力動反力30由兩部分組成，一部分由主動力引起的，不能31當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。對z軸慣性積為零，z軸為剛體在O點的慣性主軸；過質(zhì)心31當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。對z32

靜平衡：剛體轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動力時，不論位置如何，總能平衡。

動平衡：轉(zhuǎn)動為中心慣性主軸時，轉(zhuǎn)動時不產(chǎn)生附加動反力。動平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不一定是動平衡的。二、靜平衡與動平衡的概念32靜平衡：剛體轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力33思考題1.

質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡：

(b)、(d)動平衡：

(a)33思考題1.質(zhì)量不計的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)

例題13-1

汽車連同貨物的總質(zhì)量是m

，其質(zhì)心C

離前后輪的水平距離分別是b

和c，離地面的高度是h

。當(dāng)汽車以加速度a沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。輪子的質(zhì)量不計。ABCcbh

§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-1汽車連同貨物的總質(zhì)量是m，

取汽車連同貨物為研究對象。汽車實際受到的外力有：重力G，地面對前、后輪的鉛直反力FNA

、FNB以及水平摩擦力FB(注意：前輪一般是被動輪，當(dāng)忽略輪子質(zhì)量時，其摩擦力可以不計)。解：

因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質(zhì)心C上的一個力FI=ma

。ABCcbhFIaFBmgFNAFNB例題13-1§13-5動靜法應(yīng)用舉例取汽車連同貨物為研究對象。汽車實際受到的外力于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得例題13-1§13-5動靜法應(yīng)用舉例ABCcbhFIaFBmgFNAFNB于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得例題1汽車剎車時，前輪和后輪哪個容易“抱死”？車輪防抱死裝置ABS:Anti-BrakeSystem§13-5動靜法應(yīng)用舉例

思考題汽車剎車時，前輪和后輪哪個容易“抱死”？車輪防抱死裝置ABS分析汽車剎車時的動力學(xué)特性剎車時的動力學(xué)特性：車頭下沉；若質(zhì)心在中間，后輪容易打滑。AB分析汽車剎車時的動力學(xué)特性剎車時的動力學(xué)特性：車頭下沉；AB

例題13-2如圖所示，勻質(zhì)滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m，可繞水平軸轉(zhuǎn)動。輪緣上跨過的軟繩的兩端各掛質(zhì)量為m1和m2的重物,且m1

>m2

。繩的重量不計，繩與滑輪之間無相對滑動，軸承摩擦忽略不計。求重物的加速度和軸承反力。OABrO§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-2如圖所示，勻質(zhì)滑輪的半徑為r，

以滑輪與兩重物一起組成所研究的質(zhì)點系。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力m1g，m2g，mg和軸承約束反力FN。OABraam1gmgm2gFNy解：

已知m1>m2，則重物的加速度a方向如圖所示。

在系統(tǒng)中每個質(zhì)點上假想地加上慣性力后，可以應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理。

重物的慣性力方向均與加速度a的方向相反，大小分別為：O§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-2以滑輪與兩重物一起組成所研究的質(zhì)點系。作用在

滑輪定軸轉(zhuǎn)動，慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡化。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得主矢FI=maO=0主矩

MIO=JO

α

=OABraam1gmgm2gFNyOαMIO§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-2滑輪定軸轉(zhuǎn)動，慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡化。應(yīng)用達(dá)朗解得OABraam1gmgm2gFNyO

αM*O§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-2α解得OABraam1gmgm2gFNyOαM*O§13-5

例題13-3飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不考慮重力的影響，求輪緣橫截面的張力?！?3-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-3例題13-3飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速

取四分之一輪緣為研究對象，如圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段，每段加慣性力建立平衡方程令，有解：xyθ?θRABOFAFB§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-3取四分之一輪緣為研究對象，如圖所示。將輪緣分由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截面張力都相同。再建立平衡方程同樣解得xyθ?θRABOFAFB§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-3由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截面張力都相同。再建立平衡方程同樣xyOCAaMW1FW

例題13-4車輛的主動輪如圖所示。設(shè)輪的半徑為r，重為W1(W1=mg)，在水平直線軌道上運動。車身對輪子的作用力可分解為W和F，驅(qū)動力偶矩為M。車輪對通過其質(zhì)心并垂直于車輪對稱面的軸的回轉(zhuǎn)半徑為ρC，輪與軌道間的滑動摩擦系數(shù)為fs，不計滾動摩阻的影響。求在不滑動條件下，驅(qū)動力偶矩M的最大值。§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-4xyOCAaMW1FW例題13-4車輛的主慣性力系：因車輪作平面運動，設(shè)車身有向前的加速度a，則慣性力系向質(zhì)心C簡化的主矢量FI和主矩MIC為：分析車輪的受力情況如下。主動力系:車身的載荷F和W，驅(qū)動力偶矩M，車輪的重量W1=mg。約束力系：法線約束力FN，滑動摩擦力Ff。解：xyOCAaMW1FM

ICFIWFNFf§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-4慣性力系：因車輪作平面運動，設(shè)車身有向前的加速度a，則慣性力應(yīng)用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程：xyOCAaMM

ICFNFfW1FFIW是否可以？§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-4應(yīng)用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程：xyOCAaMMICFNFf再利用Ff≤

fsFN的條件，可得

上三式包含F(xiàn)f，F(xiàn)N和a三個未知量，故可解出xyOOAaMM*CFNFfW1FF*W§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-4再利用Ff≤fsFN的條件，可得上三式包

例題13-5

如圖所示，勻質(zhì)圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動。突然剪斷繩，求圓盤的角加速度和軸承O處的反力。ABrOC§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-5如圖所示，勻質(zhì)圓盤的半徑為r，ABrOCyαxMIO圓盤定軸轉(zhuǎn)動，慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡化。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得主矢FIt=matC=mrα主矩MIO=JOα

=

FOx+FIn=0mgFOxFOyFOy+FIt－mg=0FIn=mrω2=0是否可以？§13-5

動靜法應(yīng)用舉例例題13-5α解：ABrOCyαxMIO圓盤定軸轉(zhuǎn)動，慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡化。應(yīng)用ABrOCyαxMIC若認(rèn)為圓盤平面運動，則慣性力應(yīng)向圓心C簡化。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理列平衡方程，得主矢FIt=matC=mrα主矩MIC=JCα

=

FOx+FIn=0mgFOxFOyFOy+FIt－mg=0FIn=mrω2=0§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-5

討論ABrOCyαxMIC若認(rèn)為圓盤平面運動，則慣性力應(yīng)向圓心C

例題13-6用長l

的兩根繩子AO

和BO把長

l

，質(zhì)量是m的勻質(zhì)細(xì)桿懸在點O(圖a

)。當(dāng)桿靜止時，突然剪斷繩子

BO

，試求剛剪斷瞬時另一繩子AO

的拉力。OlllBAC（a）§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-6例題13-6用長l的兩根繩子AO

繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子BO剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩子AO的拉力F和桿的重力mg。解：

在引入桿的慣性力之前，須對桿作加速度分析。取坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖(c)所示。aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）

利用剛體作平面運動的加速度合成定理，以質(zhì)心C作基點，則點A的加速度為§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-6繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平

在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度ω

=0

，角加速度α

≠0。因此又

anA=0，加速度各分量的方向如圖(c)所示。把a(bǔ)A投影到點A軌跡的法線AO上，就得到anAC

=AC·ω2=0atAC=lα／2這個關(guān)系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的條件。即（1）OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-6在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度ω=0

桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心的力FIC

和一個力偶MIC

，兩者都在運動平面內(nèi)，F(xiàn)IC的兩個分量大小分別是FICx=maCx,FICy=maCy力偶矩MIC的大小是MIC=JCz′α旋向與α相反(如圖b)。OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-6FICxFICyMIC桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心的力FIC由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有且對于細(xì)桿,JCz′=ml2／12

。聯(lián)立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-6FICxFICyMIC由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有且對于細(xì)桿,JCz′=

例題13-7半徑為R，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，在重量為W2的重物A的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦力。AOCW1W2R§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-7例題13-7半徑為R，重量為W1的大圓輪，

解：先應(yīng)用動能定理，求出加速度，再對大圓輪應(yīng)用動靜法。1.應(yīng)用動能定理。AOCW1W2RFFNFOxFOy§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-7解：先應(yīng)用動能定理，求出加速度，再對大圓輪應(yīng)用動靜法1.應(yīng)用動能定理。兩邊對時間t求導(dǎo)，且得AOCW1W2RFFNFOxFOy§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-71.應(yīng)用動能定理。兩邊對時間t求導(dǎo)，且得AOCW1W2RF2.應(yīng)用動靜法。取輪子為研究對象。CFFNJCαW1a將帶入上式得FOxAOCW1W2RFFNFOy§13-5動靜法應(yīng)用舉例例題13-72.應(yīng)用動靜法。取輪子為研究對象。CFFNJCαW1a將例13-8

鉛直軸AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，軸上固連兩水平桿CD和EF，兩桿分別和轉(zhuǎn)軸形成的平面夾角是α，兩桿長度都是l，其余尺寸如圖14-9所示。今在兩桿端上各固連一小球D和F，它們的質(zhì)量都是m，不計轉(zhuǎn)軸和桿的質(zhì)量。試求軸承A、B對軸的動反力。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5動靜法應(yīng)用舉例例13-8鉛直軸AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，軸上固連兩水平桿CD

當(dāng)轉(zhuǎn)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時，兩小球只有法向加速度，其大小是兩小球慣性力的大小是方向分別沿CD和EF，真實力與慣性力構(gòu)成空間任意力系，如圖所示。因?qū)ο笊系膽T性力是兩個集中力，所以不必簡化。xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5動靜法應(yīng)用舉例解：取轉(zhuǎn)軸連同兩桿和兩小球為研究對象。它所受的真實力有兩球的重力G=mg和軸承A、B的反力。當(dāng)轉(zhuǎn)軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動時，兩小球只有法向加速

取坐標(biāo)系如圖，并根據(jù)達(dá)朗伯原理列出平衡方程xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzαaahllEDFαGQFFAy§13-5動靜法應(yīng)用舉例取坐標(biāo)系如圖，并根據(jù)達(dá)朗伯原理列出平衡方程xFByFB

聯(lián)立求解上列13個方程，得到軸承的反力是（1）§13-5動靜法應(yīng)用舉例聯(lián)立求解上列

上述解答式中，不含ω2的項是轉(zhuǎn)子（機(jī)器中的轉(zhuǎn)動部件，本題中是轉(zhuǎn)軸、桿及小球所組成的轉(zhuǎn)動剛體）靜止時的靜反力；而含ω2的項是轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動時的慣性力引起的附加動反力，它們的反作用力是軸承所受的附加動壓力。

討論

轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動時的附加動壓力隨ω的增大而急劇增大（與ω2成比例），且其在空間的方向隨時間而周期性變化它將影響軸承的使用壽命，并引起周圍物體的振動?！?3-5動靜法應(yīng)用舉例上

(2)

為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本例的如下兩種特例：

當(dāng)α=π時，由式（1），有§13-5動靜法應(yīng)用舉例xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy(2)為了

(2)

為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本例的如下兩種特例：當(dāng)α=π時，由式（1），有

事實上，當(dāng)α=π時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，從而轉(zhuǎn)子慣性力主矢等于零，使得附加動壓力中由慣性力主矢引起的部分得以消除。注意到質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)子若除自身重力外不受其他主動力作用，則轉(zhuǎn)子可在任意放置的位置上靜止平衡，所以這種質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上的情況稱為靜平衡?！?3-5動靜法應(yīng)用舉例(2)為了

可以看出，式（2）中的第二式表示了兩小球慣性力所形成的力偶所引起的附加動反力。一般也如此，即僅靜平衡的轉(zhuǎn)子，還不能完全消除附加動反力?！?3-5動靜法應(yīng)用舉例當(dāng)α=π時，由式（1），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaahllEDFGQFFAy可以看出，式

2.當(dāng)α=π時，，且h=2a時，由式（2）有(3)§13-5動靜法應(yīng)用舉例當(dāng)α=π時，由式（1），有(2)xFByFBxFAxFAzBCGQDyAzaah