2023年中考數(shù)學一輪復習考點 函數(shù)中的最值問題（鞏固篇）

專題3.15函數(shù)中的最值問題（鞏固篇）

一、單選題

1.（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）已知點4。㈤,B（4,c）在直線產(chǎn)區(qū)+3（人為常數(shù),

Z/0）上，若外的最大值為9,則c的值為（）

53

A.—B.2C.—D.1

22

2.（2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=a（x-l）2-a（a*0）,當—

時，V的最小值為T,則a的值為（）

1、414.1、

A.一或4B.—或—C.—或4D.—或4

23232

3.（2022?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，力、E、尸分別是AfiC三邊上的點，其中8c=8,

BC邊上的高為6,旦DEHBC,則面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

4.（2021?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-2x+2與坐標軸交于A、8兩點，點

尸是線段AB上的一個動點，過點尸作y軸的平行線交直線y=-x+3于點Q,AOPQ繞點O

順時針旋轉(zhuǎn)45。，邊PQ掃過區(qū)域（陰影部分）面積的最大值是（）

r21

D.—n

32

3

5.（2013.廣西貴港.中考真題）如圖，點A（a,1）、B（-1,b）都在雙曲線y=-—（x<0）

x

上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直

線的解析式是

D.y=x*3

4

6.（2013?江西?中考真題）如圖，直線y=x+a-2與雙曲線產(chǎn)一交于A,B兩點，則當

x

線段AB的長度取最小值時，a的值為

C.2D.5

7.（2012?貴州六盤水?中考真題）如圖為反比例函數(shù)在第一象限的圖象，點A為此

X

圖象上的一動點，過點A分別作ABJ_x軸和ACJ_y軸，垂足分別為B,C.貝IJ四邊形OBAC

C.2D.1

8.（2021?廣東?統(tǒng)考中考真題）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求

面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為

a,b,c,記p="+,則其面積S=.這個公式也被稱為海倫-秦

九韶公式.若P=5,C=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.y/5B.4C.2>/5D.5

9.（2020?廣西玉林?統(tǒng)考中考真題）把二次函數(shù)>=辦2+云+°（。>0）的圖象作關(guān)于x軸

的對稱變換，所得圖象的解析式為y=-a（x-l『+4a,若+則m的最大

值為（）

A.-4B.0C.2D.6

10.（2019?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知

4（-3,-2）,3（0,-2）,。（-3,0）,例是線段/18上的一個動點，連接CM,過點M作交

則b的最大值是（）

C.-1D.0

二、填空題

11.（2022.山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系X。），中，點A的坐標為

（0,4）,P是x軸上一動點，把線段鞏繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PF,連接OF,則

線段OF長的最小值是

12.（2019?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，點尸是雙曲線C：y=4?（%>0）上的一點,

x

過點尸作x軸的垂線交直線AS：y=；x-2于點。，連結(jié)OP,。。.當點尸在曲線C上運動,

且點尸在。的上方時，面積的最大值是

13.（2021?安徽?統(tǒng)考中考真題）設拋物線y=x2+（a+l）x+a,其中“為實數(shù).

（1）若拋物線經(jīng)過點（-1,m）,則〃?=

（2）將拋物線y=x2+（“+l）x+”向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大

值是.

14.（2012.江蘇揚州?中考真題）如圖，線段AB的長為2,C為AB上一個動點，分別以

AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形回ACD和團BCE,那么DE長的最小值是

15.（2019?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）已知拋物線），=依2+4以+4〃+1（4工0）過點4（切,3）,

8（n,3）兩點，若線段AB的長不大于4,則代數(shù)式〃+a+l的最小值是.

16.（2020?廣西玉林?統(tǒng)考中考真題）已知函數(shù)y=可與函數(shù)）’2=看的部分圖像如圖所

示，有以下結(jié)論：

①當x<0時，%,%都隨x的增大而增大；

②當x<—l時，%>力；

③加先的圖像的兩個交點之間的距離是2：

④函數(shù)y=%+%的最小值為2；

則所有正確的結(jié)論是.

17.（2019?山東威海?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B在反比例函

數(shù)y=勺％=0）的圖象上運動，且始終保持線段=4夜的長度不變.〃為線段AB的中點,

連接QM.則線段QM長度的最小值是（用含左的代數(shù)式表示）.

18.（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世

不竭.”如圖，直線4：y=gx+l與y軸交于點A,過點A作X軸的平行線交直線4：y=x于點

。1，過點。I作y軸的平行線交直線《于點A，以此類推，令04=4，。0=的，L,

O,iAi=a"，若4+/++4,4S對任意大于1的整數(shù)〃恒成立，則S的最小值為

19.（2022?山東濟寧?統(tǒng)考中考真題）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性

將328噸的物資運往A,B兩地，兩種貨車載重量及到A,8兩地的運輸成本如下表：

貨車類型載用量（噸/輛）運往A地的成本（元/輛）運往B地的成本（元/輛）

甲種161200900

乙種121000750

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余

物資運往8地.設甲、乙兩種貨車到A,B兩地的總運輸成本為w元，前往力地的甲種貨車

為/輛.

①寫出w與f之間的函數(shù)解析式；

②當/為何值時，w最??？最小值是多少？

20.(2022?四川資陽?中考真題)如圖，平行四邊形ABCD中，A3=5,3C=1O,3C邊上

的高AM=4,點E為BC邊上的動點(不與8、C重合，過點E作直線A8的垂線，垂足為F,

連接DE、DF.

(1)求證：AABMs^EBF;

(2)當點E為8c的中點時，求OE的長；

(3)設=的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當x為何值時，y

有最大值，最大值是多少？

21.(2022.山東日照.統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線

y=-x2+2mx+3m,點A(3,0).

(1)當拋物線過點A時，求拋物線的解析式；

(2)證明：無論“為何值，拋物線必過定點。，并求出點。的坐標；

(3)在(1)的條件下，拋物線與y軸交于點B,點P是拋物線上位于第一象限的點，連

接AB,PD交于點M,與y軸交于點N.設S=S△勿S2BMN,問是否存在這樣的點P,

使得S有最大值？若存在，請求出點尸的坐標，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由.

22.(2022?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題)已知反比例函數(shù)y=4和一次函數(shù)y=x-l,其中

X

一次函數(shù)圖象過(3名加，(3a+l,Hg)兩點.

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

1,k

(2)如圖，函數(shù)y=31的圖象分別與函數(shù)丁=一(％>0)圖象交于A,3兩點，在y

軸上是否存在點P,使得,形「周長最??？若存在，求出周長的最小值；若不存在，請說明

理由.

23.（2020?甘肅天水?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)y-+〃（加H0）的圖象與反

比例函數(shù)y=*NO）的圖象交于第二、四象限的點A（-2M）和點過A點作X軸的

垂線，垂足為點C,AOC的面積為4.

（1）分別求出。和b的值；

（2）結(jié)合圖象直接寫出"優(yōu)+〃＞人中x的取值范圍；

X

（3）在y軸上取點產(chǎn)，使P8-PA取得最大值時，求出點戶的坐標.

24.（2022?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）拋物線＞=以2+，＞6與》軸交于4（/,0）,B（8,0）

兩點，與y軸交于點C,直線y=丘-6經(jīng)過點艮點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m.

(1)求拋物線的表達式和火的值;

⑵如圖1,連接AC,AP,PC,若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐

標;

⑶如圖2,若點尸在直線2C上方的拋物線上，過點P作PQA.BC,垂足為Q,求

CQ+-PQ

2的最大值.

參考答案

I.B

【分析】把4。向代入>=履+3后表示出質(zhì)，再根據(jù)M最大值求出k,最后把8(4,c)代

入y=Ax+3即可.

解：把A(a,力代入V=丘+3得：b=ka+3

3Q

ab=a(ka+3)=faz2+3a=k(a-\-----)2------

2k4k

??,必的最大值為9

39

A：<0,11.'P|a=-H'J',次?有最大值，此時—7=9

2k4k

解得％=一:

，直線解析式為y=-x+3

4

把B(4,c)代入y=」x+3得c=」x4+3=2

44

故選:B.

【點撥】本題考查一次函數(shù)上點的特點、二次函數(shù)最值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)油的最大

值為9求出&的值.

2.D

【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

解：二次函數(shù)y=a(x-l)~-a(ax。)的對稱軸為：直線x=l,

(1)當a>0時，當-14x41時，丁隨x的增大而減小，當14x44,N隨x的增大而

增大,

:.當犬=1時，y取得最小值，

:.y=a(l-l)--a=-4.

:.a=4；

(2)當a<0時，當-14x41時，y隨x的增大而增大，當14x44,>隨x的增大而減

當x=4時，V取得最小值,

y=a（4-l）"-a=-4

故選:D.

【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解題

的關(guān)鍵.

【分析】過點A作AMLBCTM,交DE于點N,則AN1.DE,設AN=a,根據(jù)DE//BC,

4

證明ADEABC,根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比得到=列出，。所面

積的函數(shù)表達式，根據(jù)配方法求最值即可.

解:

如圖，過點4作AM_LBC于M,交DET點、N,貝（］AN_L￡>E,

設AN=a,

DE//BC>

ZADE=ZB,ZAED=ZC,

/.ADEABC,

.DEAN

DEa

-----=—,

8---6

4

:.DE=-a,

3

2

???s煙JOE.MN=L34X（6_a）=二/+4a=二（a-3）+6,

**22333

.?.當a=3時，S有最大值，最大值為6,

故選：A.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，熟練

掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】根據(jù)題意得S陰影=S扇形-S扇形OMN，設P(a,2-2。)，則。3,3-a),利用扇形

1

面積公式得到S明*=(-3a2+2a+58-乃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

解：如圖,

???°qOPQ~=°qOMN>

娟形

貝S陰影=S扇形00V+SOMN-S0PQ-S0PN

=S扇形如必一S扇形OPN，

???點尸在直線y=-2x+2上，點。在直線y=-x+3上，且尸?！▂軸,

設P(a,2-2?),則。(〃，3-〃),

???0P2=/+(2-2a)2=5/-8々+4,

OQ2=a2+(3-67)2=2a2-6a+9,

S陰影=S扇形OQM-S扇形0尸N

_45%？。。2459？?！?

一~360360

=(-3/+20+5年4，

16

~3

V-3<0,

.??當時，y有最大值，最大值為匕,

33

?c2日,/士”1612

??S陰影的取大值為彳*6萬=7萬.

Jo3

故選：A.

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件.

5.C

3

解：試題分析：分別把點A(a,1)、B(-1,b)代入雙曲線y=——(x<0)得a=-3,

x

b=3,則點A的坐標為(-3,1)、B點坐標為(-1,3).

如圖，作A點關(guān)于x軸的對稱點C,B點關(guān)于y軸的對稱點D,所以C點坐標為(-3,

-1),D點坐標為(1,3).

連接CD分別交x軸、y軸于P點、Q點，根據(jù)兩點之間線段最短，此時四邊形PABQ

的周長最小.

設直線CD的解析式為y=kx+b,

?3k—-lk.]

把C(-3,-1),D(1,3)分別代入，得L，解得L

.k-b.3b-2

...直線CD的解析式為y=x+2.

故選C.

6.C

解：試題分析：反比例函數(shù)圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，只有當A、B、0

三點共線時，才會有線段AB的長度最小，此時，a-2=0na=2,故選C.

7.A

解：?反比例函數(shù)>=■!"在第一象限的圖象，點A為此圖象上的一動點，過點A分別作

X

AB_Lx軸和AC_Ly軸，垂足分別為B,C.

，四邊形OBAC為矩形.

設寬BO=x,則AB=:,

X

.??四邊形OBAC周長的最小值為4.

故選A.

8.C

【分析】由已知可得a+〃=6,S=[5(5-a)(5-b)=6目而-5,把。=6-“代入S的表達

式中得：

sW-/+6a-5,由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值.

解：?p=5,c=4,p=---------

/.a+b=2p-c=6

：.S=J5(5_a)(5_b)(5_4)=后.Jab-5

由“+6=6,得〃=6/,代入上式，得：S=y/5.yJa(6-a)-5=\/5.\l-a2+6a-5

設y=-a'6a-5,當y=-a2+6”-5取得最大值時，S也取得最大值

*.*y=—a2+6a-5=-(a—3)2+4

???當斫3時，y取得最大值4

；.s的最大值為有x4=2石

故選：C.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出4+8=6,把面積最大值問題轉(zhuǎn)

化為二次函數(shù)的最大值問題.

9.D

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律可得變換后的函數(shù)解析式為y=-aV-6x-c,

再根據(jù)對稱軸、與y軸的交點問題可求Hlb=-2a,c=-3a,然后代入解一元一次不等式即

可得.

解：由二次函數(shù)圖形的變換規(guī)律得：把二次函數(shù)丫=?2+法+。3>0)的圖象作關(guān)于x

軸的對稱變換，所得圖象的解析式為y=-奴2-汝-c

貝Ijy=—a(x-l)2+4“與y=-ax2—bx—c相同

由對稱軸得：x=-^-=l,解得b=-2a

2a

當x=0時，由函數(shù)y=_。(無_1)2+4〃得y=_Q+4a=3々；由函數(shù)y=_依2―飯一。得

y=—c

則一c=3。，即c--3a

^h=-2a,C=-3Q代入("2—1)々+匕+c(0得：(m-l)?-2a-3tz<0

整理得：（機一1”45。

,?>0

解得m<6

則m的最大值為6

故選：D.

【點撥】本題考查J'二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、與y軸的交點）、一元一次不等

式等知識點，依據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出b、c與a的關(guān)系等式是解題關(guān)鍵.

10.A

【分析】當點M在AB上運動時，MNLMC交y軸于點N,此時點N在y軸的負半軸

移動，定有AAMCsaNBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值時，就能確定點

N的坐標，而直線y=kx+b與y軸交于點N（0,b）,此時b的值最大，因此根據(jù)相似三角

形的對應邊成比例，設未知數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值得以解決.

解：連接AC,則四邊形ABOC是矩形，

.?.4=480=90",

又?，MN工MC,

:.NCMN=90”,

:.ZAMC=AMNB,

ACAM

設BV=y,AM=x.則M3=3—羽ON=2-y,

2x

3-xy

3

2

直線丁=履+占與y軸交于N（Q,b）

當BN最大,此時QV最小，點N（O乃）越往上，。的值最大,

97

:.ON=OB-BN=2——=一，

88

此時，”（）,1）

7

b的最大值為-w.

O

故選A.

【點撥】本題綜合考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及一次

函數(shù)的性質(zhì)等知識；構(gòu)造相似三角形、利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵所在.

11.2

【分析】點尸運動所形成的圖象是一條直線，當0F1?尸/乃時，垂線段。尸最短，當點

F/在x軸上時，由勾股定理得：耳。=耳。=竽，進而得耳A=66=A4:華，求得點

F/的坐標為一｝,0,當點八在y軸上時，求得點人的坐標為（0,-4）,最后根據(jù)待定系

數(shù)法，求得直線BF2的解析式為廣石x-4,再由線段中垂線性質(zhì)得出6巴=4耳=殍，在

Rt^OFiF2'\',設點O到尸/尸2的距離為力，則根據(jù)面積法得;xOfJxOg即

lx迪x4='x隨X。，解得〃=2,根據(jù)垂線段最短，即可得到線段。尸的最小值為2.

2323

解：；將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段PF,

：.ZAPF=60°,PF=PA,

...△AP尸是等邊三角形，

：.AP=AF,

如圖，當點F/在x軸上時,△PIAFI為等邊三角形,

則PIA=PIF!=AFI,ZAP/F/=60°,

'：AO±PIFI,

：.PIO=FIO,ZAOPi=90°,

小生30°,且40=4,

由勾股定理得：6。=耳。=殍,

PtA=PiFl=AFt=^-,

.,.點B的坐標為

?.?△EAFz為等邊三角形，AOLP2O,

：.AO=F2O=4,

.,.點F2的坐標為（0,-4）,

tanNO18=咀=事=6

,/。耳4月

3

:.NOFIF2=60°,

.??點F運動所形成的圖象是一條直線,

當OF1FIF2時，線段最短,

設直線尸/尸2的解析式為y-kx+h,

悟+6=0

則3

/?=-4

k=6

解得

b=-4

，直線F/&的解析式為產(chǎn)石x-4.

*：AO=F2O=4fAOIPIFI,

..FtF2=AFt=—，

在Rt4OF1F2中，0F_LF/「2,

設點。到FiF：的距離為h,則白04xOFz=；xFExh,

.1473,18y/3,

??—x-----x4=—x------x/z,

2323

解得〃=2,

即線段的最小值為2,

故答案為2.

【點撥】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用，等邊三

角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積

法求最短距離，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運用.

12.3

【分析】令PQ與x軸的交點為E,根據(jù)雙曲線的解析式可求得點A、B的坐標，由于

點P在雙曲線上，由雙曲線解析式中k的幾何意義可知AOPE的面積恒為2,故當4OEQ

面積最大時△尸。。的面積最大.設Q(a,-a-2)貝11SAOEQ=Txax(—a-2)=—a2—a=

ga-lf+l,可知當a=2時SAOEQ最大為1,即當Q為AB中點時△OEQ為1,則求得△POQ

：y=；x-2交x軸為B點，交y軸于點A,

AA(0,-2),B(4,0)

即OB=4,OA=2

令PQ與x軸的交點為E

；P在曲線C上

.?.△OPE的面積恒為2

，當AOEQ面積最大時△POQ的面積最大

設Q(a,—(a-2)

2

則SAOEQ=Txax(gn-2)—a=(ga—I)2+1

當a=2時SAOEQ最大為1

即當Q為AB中點時△OEQ為I

故4戶。。面積的最大值是是3.

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)幾何圖形面積問題，二次函數(shù)求最大值，解

本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，并且建立二次函數(shù)模型求最大值.

13.02

【分析】(析直接將點析1,切)代入計算即可

(2)先根據(jù)平移得出新的拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線頂點坐標得出頂點坐標的縱

坐標，再通過配方得出最值

解：(1)將(-1,，〃)代入y=x2+(a+l)x+a得：

m=\—a—\+a=G

故答案為：0

(2)根據(jù)題意可得新的函數(shù)解析式為：y=x2+(a+l)x+a+2

由拋物線頂點坐'b標吟4cic，—護_、

(2a4aJ

得新拋物線頂點的縱坐標為：

4伍+2)—(.+1)2

4

_-a2+2a+7

4

_-(a2-2a+1)+8

4

-(a-l)2+8

4

V(a-l)2>0

.?.當a=l時，-(a-iy+8有最大值為8,

???所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是;二2

4

故答案為：2

【點撥】本題考查將拋物線的頂點坐標、將點代入代入函數(shù)解析式、利用配方法求最值

是常用的方法

14.1

【分析】動點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值.

解：設AC=x,貝ijBC=2—x,

^.^△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

.,,ZDCA=45°,ZECB=45°,DC==x,CE=*(2-x).

ZDCE=90°.

/.DE2=DC2+CE2=(—x)2+[也(2-X)]2=X2—2X+2=(X—1)2+1.

22

.?.當x=l時，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

【點撥】考點：二次函數(shù)的最值.

15.1

4

【分析】根據(jù)題意得4a+lN3,解不等式求得它!，把x=:代入代數(shù)式即可求得.

22

解：?.?拋物線丫=2*2+42*+42+1(aKO)過點A(m,3),B(n,3)兩點，

,由題意可知a>0.

?.?線段AB的長不大于4,

/.4a+l>3

a>一

2

117

.'a"的最小值為力="

7

故答案為

4

【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意得出

4a+l>3是解題的關(guān)鍵.

16.②③④

【分析】先補充完整兩個函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)圖象的增減性、對稱性、交點問題可

判斷結(jié)論①②③，然后根據(jù)完全平方公式、偶次方的非負性可判斷結(jié)論④.

解：當x>0時，V,=X,=—

X

當x<0時，x=-x,y=--

2X

畫出兩個函數(shù)的圖象如下所示：

則當X<0時，H隨X的增大而減??；丫2隨X的增大而增大，結(jié)論①錯誤

時，函數(shù)凹的圖象位于函數(shù)丫2的圖象的上方，則%>為，結(jié)論②正確

當x=l時，％=%=1

即加上的圖象位于第一象限的交點坐標為（1,1）

由對稱性可知，X，%的圖象位于第二象限的交點坐標為（T』）

因此，加當?shù)膱D象的兩個交點之間的距離是1-（T）=2,結(jié)論③正確

當且僅當兇一苗=°,即彳=±1時，等號成立

x2+^->2

x

...y=亞+4+22J2+2=2

即函數(shù)>=%+必的最小值為2,結(jié)論④正確

綜上，所有正確的結(jié)論是②③④

故答案為：②③④.

【點撥】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、完全平方公式、偶次方的非負性

等知識點，熟練掌握正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.拉1+8

【分析】如圖，當OMLAB時，線段0M長度的最小.首先證明點A與點B關(guān)于直線

y=x對稱，因為點A,B在反比例函數(shù)y=的圖象上，AB=4亞,所以可以假設A

(m,—),則B(m+4,—-4),則有—"--二---,解得k=m2+4m,推出A(m,m+4),

mm加+4in—4

B(m+4,m),可得M(m+2,m+2),求出OM即可解決問題.

解：如圖，當時，線段QM長度的最小，

X

:加為線段A5的中點，

:.OA=OB,

?.?點A,5在反比例函數(shù)y=&(無W0)的圖象上,

.??點A與點B關(guān)于直線y=X對稱，

；AB=4夜，

???可以假設皿人)，則8(〃7+4,&-41,

/I?+&=(=+4)2+止-4>,

nvtn

解得k=nt2+4優(yōu)，

A（/77,m+4）,,

M（/n+2,〃？+2）,

OM=,2（加+2『=小2（點+4優(yōu)）+8=N2k+8,

???OM的最小值為J2Z+8.

故答案為J2A+8.

【點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題.

18.2

【分析】先由直線4：丁=1與丁軸的夾角是45。，得出△。4?,。同。2,…都是等腰

直角三角形，

.?.。4=。4，aa=QA，Q4=O34,…，得出點。|的橫坐標為1，得到當"=1時，

313

y=71xi+i=q3,點4的坐標（為,aA=aA=?T=%，點。2的橫坐標1+1彳=：，當

22\）2222

33/37、

x=］時，y=1|x|+i=：l7,得出點&的坐標為1萬，zj,以此類推，最后得出結(jié)果.

解:直線4：y=x與丁軸的夾角是45。，

:402\'。出。2，…都是等腰直角三角形，

/.0A=。|A,0人=。2A,。24=°34，

點A的坐標為（0,1）,點。1的橫坐標為1,

當x=l時，y=gxi+i=g,.?.點A的坐標為［

31

.■.O,A=O2A=--1=-.

13

???點。2的橫坐標1+；=；,

3137

當時，y=2x2+1=4,

.??點4的坐標為信,4

711

?^A=O2A2=----I=-,……

以此類推，得OA=%=1,QA=%=:/02A2=〃3=J，03A3=〃4=：，

248

:.a}+a2+a3++a“=l+g+；++-=2-—<S,

.：S的最小值為2.

【點撥】本題考查了此題考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，探究以兒何圖形為背景

的問題時，一是要破解幾何圖形之間的關(guān)系，二是實現(xiàn)線段長度和點的坐標的正確轉(zhuǎn)換，三

是觀察分析所得數(shù)據(jù)并找出數(shù)據(jù)之間的規(guī)律.

19.(1)甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛(2)①卬=50f+22500；②r=4時，w

最小=22700元

【分析】(1)設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用(24—x)輛.根據(jù)題意列一元一次方

程即可求解；

(2)①根據(jù)表格信息列出卬與/之間的函數(shù)解析式；

②根據(jù)所運物資不少于160噸列出不等式，求得，的范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求

得最小值即可.

解：(1)(1)設甲種貨車用x輛，則乙種貨車用(24—x)輛.根據(jù)題意，得

16x+12(24-x)=328.

解得x=10.

二24一犬=24—10=14.

答：甲種貨車用10輛，則乙種貨車用14輛.

(2)①w=1200/+1000(12-。+900(10-。+750[14-(12-。]=501+22500.

16?+12(12-0，.160

t.A

V50>0,

隨r的減小而減小.

.?.當r=4時，M?最小=50x4+22500=22700(元).

【點撥】本題考查了一元一次方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的應用，

根據(jù)題意列出方程，不等式與一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

20.⑴證明見分析Q)DE=4框(3)解析式為尸-皂心-生]+—,當》=苧時,

2516J66

y有最大值為1號21

6

【分析】(1)利用AA證明即可；

(2)過點E作ENLAO丁點M可得四邊形AMEN為矩形，從而得到

NE=AM=4,AN=ME,再由勾股定理求出8M=3,從而得到ME=AN=2,進而得到

DN=8,再由勾股定理，即可求解：

4MEF4

(3)延長EE交0c的延長線于點G.根據(jù)sin/8=F==,可得叱=白，再證

ABBE5

得△ABMSA￡CG,可得GC=](10-x),從而得至i]OG=|(10-x)+5,再根據(jù)三角形的面

積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

解：(1)證明：：E尸，4民40是8(:邊上的高，

，ZAMB=ZEFB=90°,

又；ZB=ZB.

；?AABMS&BF:

(2)解；過點E作硒，AO于點N,

在平行四邊形A8C￡＞中，AD//BC,

又；AM是BC邊上的高，

：.AMLAD,

：.ZAME=AMAN=ZANE=9Q0,

，四邊形4解N為矩形，

:?NE=AM=4,AN=ME,

在用ABA/中，BM=\lAB2-AM2=yj52-42=3?

乂???E為BC的中點，

.??BE=-BC=5

2f

/.ME=AN=2,

：.DN=3,

在RNDNE中,OE=\lDN2+NE2=742+82=4>/5；

AND

ME

(3)解:延長fE交DC的延長線于點G.

.4

1,5

4

:.EF=-x,

5

\'AB//CD,

：.ZB=/ECG,ZEGC=ZBFE=90°,

又；ZAMB=ZEGC=90°,

/./\ABMs/\ECG,

,CGEC

??麗―瓦’

.CG10-x

??-----=--------，

35

工GC=|(10-x),

3

Z.DG=DC+CG=-(10-x)+5.

.1_14「3]62,226(55?121

225[_5J25525(6J6

.?.當》=學時，y有最大值為學.

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性

質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解宜角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.(l)y=-x2+2A+3；(2)證明見分析，。(一|,-\)；(3)存在，點戶的坐標是(1,4),

9

S最大="過程見分析?

2

【分析】(】)把.￥=3,y=0代入y=-x+2nix+3mf從而求得m,進而求得拋物線的解析式;

(2)將拋物線的解析式變形為：y=-x2+m(2x+3),進而根據(jù)2x+3=0,求得x的值，

進而求得結(jié)果；

(3)將S變形為：S=(S&PAM￥S眄夕AONM)一(S^AONM+S^BMN)=54形AONP

-S^AOB,設P(〃?，-/+2；?+3),設PO的解析式為：y=kx+b,將點尸和點。坐標代入，

從而求得PO的解析式，進而求得點N的坐標，進而求得S關(guān)于，〃的解析式，進一步求得結(jié)

果.

(1)解：把43,)=0代入y=-1+2,nx+3所得,

-9+6w+3m=0,

.'.zn=l,

.".y=-x2+2x+3；

(2)證明：-：y=-x2+m(2x+3),

39

/.當2x+3—0B寸，即x=—時，y=—,

24

,無論用為何值，拋物線必過定點。，點。的坐標是

(3)如圖，

連接OP,

設點尸Cm,-/+2加+3),

設尸。的解析式為：y=H+b,

(39

一二k+b=-二

：.<24

km+b=-m2+2機+3

JI=-1(2/H-7)

…<3'

h=——m+3

12

I3

??.PD的解析式為:y=--{2/n-7）x--tn+3,

3

當x=0時，y=——m+3,

2

3

...點N的坐標是（0,—彳加+3）,

3

；?ON=一二加+3,

2

*：S=S〉PAM-SxBMN,

：.S=（S1PAM+S四邊形AONM）一（S阿方形AONM+SABMN）=S四邊形AONP-SAAOB,

?S四邊形AONP=SAOP+SPON=—OA-yp+—ON-xp

12/2G*1/3八9299

2、，2（2）422

當x=0時，y=-x2+2x+3=3,

??.點5的坐標是（0,3）,08=3,

s_1不_9

SAO3=,x3=-,

.ccc9,999_929_9Zn29

??S=S四邊形AONp_SA。。=_["?+2m+2~2=~~4m+-m=--（nt-\）+-,

9

當帆=1時，s最大=^,

當機=1時，一機2+2加+3=—12+2X1+3=4，

???點P的坐標是（1,4）.

【點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函

數(shù)解析式、二次函數(shù)求最值、三角形的面積等知識，解決問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和變形S,

轉(zhuǎn)化為常見的面積計算.

3

22.⑴產(chǎn)一⑵2括+2&

X

【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）作點8關(guān)于y軸的對稱點2,連接AP，交），軸于點P，進行計算即可；

（1）解：把（3〃,匕）,（3。+1力+§代入y=x-l,得

b=3a

Z?4--=3a4-1-1

3

解得，k=3,

3

所以反比例函數(shù)解析式是y=上；

X