電磁場與微波技術(shù)+課件(黃玉蘭)

第1章矢量分析第1章矢量分析

矢量代數(shù)1.1矢量場的散度1.2矢量場的旋度1.3標(biāo)量場的梯度1.4亥姆霍茲定理1.5常用坐標(biāo)系

1.6矢量代數(shù)1.1矢量場的散度1.2矢量場的旋度1.3標(biāo)量場

如果在空間的一個(gè)區(qū)域中，每一點(diǎn)都有一個(gè)物理量的確定值與之對應(yīng)，則在這個(gè)區(qū)域中就構(gòu)成了該物理量的場。場的一個(gè)重要屬性是它占有一個(gè)空間，它把物理量用空間和時(shí)間的數(shù)學(xué)函數(shù)來描述。標(biāo)量場在數(shù)學(xué)上只用一個(gè)代數(shù)變量描述，只有大小，沒有方向。矢量場不僅需要定出大小，而且需要定出方向。如果在空間的一個(gè)區(qū)域中，每一點(diǎn)都有一個(gè)物理量的確定1.1矢量代數(shù)

矢量既有大小，又有方向。矢量A可以表示為A=eAA，其中A表示矢量A的大小，eA表示矢量A的方向。1.1矢量代數(shù)矢量既有大小，又有方向。矢量

A=exAx+eyAy+ezAz

(1.1)

由式(1.1)可以看出，一個(gè)矢量場對應(yīng)三個(gè)標(biāo)量場。

A=exAx+eyAy+ezA

1.1.1矢量的加法和減法兩個(gè)矢量相加，等于兩個(gè)矢量相應(yīng)的分量分別相加，它們的和還是一個(gè)矢量。如圖1.1(b)所示。A+B=ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz)(1.4)1.1.1矢量的加法和減法

兩個(gè)矢量相減，等于兩個(gè)矢量相應(yīng)的分量分別相減，它們的差依舊是一個(gè)矢量。如圖1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)(1.5)兩個(gè)矢量相減，等于兩個(gè)矢量相應(yīng)的分量分別相

圖1.1矢量加減法圖1.1矢量加減法

1.1.2標(biāo)量與矢量相乘標(biāo)量k與矢量A相乘，結(jié)果是A的方向未變，大小改變了k倍，

kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz(1.6)1.1.2標(biāo)量與矢量相乘

1.1.3矢量的點(diǎn)積矢量A與矢量B的點(diǎn)積，寫成A·B，它的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量，其大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角θ余弦的乘積，如圖1.2所示，表示為

A·B=ABcosθ(1.7a)A·B=AxBx+AyBy+AzBz(1.7b)1.1.3矢量的點(diǎn)積

圖1.2點(diǎn)積的圖示圖1.2點(diǎn)積的圖示

1.1.4矢量的叉積矢量A矢量B的叉積，寫成A×B，它的結(jié)果是一個(gè)矢量，其大小等于兩個(gè)矢量的大小與它們夾角θ正弦的乘積，其方向垂直于矢量A與矢量B組成的平面(符合右手螺旋法則)，如圖1.3所示，表示為

A×B=enABsinθ(1.8a)1.1.4矢量的叉積

圖1.3叉積的圖示及右手螺旋

exeyez

A×B=AxAyAz(1.8c)BxByAz

例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:（1）A·B;(2)A與B的夾角;(3)A×B。解（1）A·B=AxBx+AyBy+AzBz=3×2+4+4+2×7=36例1.1已知A=ex3+ey4+ez2,B=ex

(2)

A·B36cosθ==≈0.80AB32+42+2222+42+72

(2)

(3)exeyez

A×B=AxAyAzBxByAz(3)

=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)+ez(3×4－4×2)=ex20－ey17+ez4=ex(4×7－2×4)+ey(2×2－3×7)1.2矢量場的散度1.2.1矢量場的矢量線矢量場A可以用畫圖的方式描述，稱為矢量場的矢量線（也叫做力線、流線、通量線等）圖。矢量線圖上每一點(diǎn)處的切線應(yīng)當(dāng)是該點(diǎn)矢量場的方向，如圖1.4（a）所示。1.2矢量場的散度1.2.1矢量場的矢量線

圖1.4矢量場的矢量線圖圖1.4矢量場的矢量線圖

1.2.2矢量場的通量面元矢量dS定義為

dS=en

dS(1.12)1.2.2矢量場的通量

圖1.5矢量的通量圖圖1.5矢量的通量圖

1.2.3矢量場的散度散度的定義設(shè)有矢量場A，在場中任一點(diǎn)P處做一個(gè)包含該點(diǎn)的閉合面S，設(shè)閉合面S所包圍的體積為Δτ。當(dāng)體積Δτ以任意方式縮向點(diǎn)P時(shí)，每單位體積由閉合面S向外穿出的凈通量為矢量場A在該點(diǎn)的散度，即1.2.3矢量場的散度

SA·dSdivA=lim(1.16)Δ

0Δ∮ττ

于是得到A的散度在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算公式為于是得到A的散度在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算公式為

n的取向有兩種情形：一種是面元dS為開表面，這個(gè)開表面由一條閉合曲線C圍成，選擇C的環(huán)行方向后，按右手螺旋法則，螺旋前進(jìn)的方向?yàn)閑n的方向；另一種是面元dS為閉合面上的一個(gè)面元，則en

取閉合面的外法線方向。n的取向有兩種情形：一種是面元dS為開表

通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS(1.13)在直角坐標(biāo)系中，∫S·dS=∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)通量=∫S|A|cosθdS=∫SA·dS

散度的定義：設(shè)有矢量場A，在場中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含該點(diǎn)的閉合面S，設(shè)閉合面S所包圍的體積為。當(dāng)體積以任意方式縮向點(diǎn)P時(shí)，每單位體積由閉合面S向外穿出的凈通量為矢量場A在該點(diǎn)的散度，即1.2.3矢量場的散度1.2.3矢量場的散度

(1.16)

于是得到A的散度在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算公式為

(1.17)于是得到A的散度在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算公式為

為了方便，我們引入一個(gè)矢量微分算子，稱為哈密頓算子，它在直角坐標(biāo)系表示為

(1.18)為了方便，我們引入一個(gè)矢量微分算子，稱為哈

(1.19)

例１.２已知矢量場

求：（1）（2）計(jì)算通量。積分區(qū)域?yàn)殚]合面Ｓ，Ｓ為一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球面。例１.２已知矢量場

解（1）

（2）的方向與的方向相同，所以有：解（1）

1.2.4散度定理散度定理也稱高斯散度定理，表示為

(1.20)

式中積分區(qū)域?yàn)殚]合面S所包圍的體積，并假設(shè)A及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

1.2.4散度定理

例1.3已知現(xiàn)有一個(gè)邊長為1的單位立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，如圖1.7所示。

例1.3已知

圖1.7例1.3圖圖1.7例1.3圖

求：（1）矢量場的散度；（2）計(jì)算通量，積分區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的單位立方體；（3）驗(yàn)證高斯散度定理。求：

解（1）解（1）

（2）A從單位立方體內(nèi)穿出的通量為分三對面分別計(jì)算。（2）A從單位立方體內(nèi)穿出的通量為

（3）

因此，，高斯散度定理成立。（3）1.3矢量場的旋度1.3.1矢量場的環(huán)流設(shè)某矢量場A繞著場中某閉合路徑C的線積分為

(1.21)上述線積分稱為該矢量場A的環(huán)流。1.3矢量場的旋度1.3.1矢量場的環(huán)流

稱為線元矢量，線元矢量既有大小，也有方向。稱為線元矢量，線元矢量既有大小，也

1.3.2矢量場的旋度

A的旋度，記為或。

(1.22)式中為矢量在面元矢量上的投影，如圖1.8所示。1.3.2矢量場的旋度

圖1.8在面元上的投影

圖1.8在面元上的投影

(1.24)

旋度有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是它的散度恒等于0。

(1.25)

1.3.3斯托克斯定理在矢量分析中，除散度定理外，另一個(gè)重要的定理是斯托克斯定理，即

(1.26)式中積分區(qū)域面S的外圍線為C。1.3.3斯托克斯定理

例1.4已知?，F(xiàn)有一個(gè)在面內(nèi)的閉合路徑C，此閉合路徑由和之間的一段拋物線和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線組成，如圖1.9所示。例1.4已知?，F(xiàn)有

圖1.9例1.4圖圖1.9例1.4圖

求：（1）矢量場的A旋度；（2）計(jì)算環(huán)流。積分區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的閉合路徑C；（3）驗(yàn)證斯托克斯定理。求：

解（1）解（1）

（2）（2）

（3）斯托克斯定理成立。（3）1.4標(biāo)量場的梯度

標(biāo)量場是僅用大小就能完全表征的場。為了研究標(biāo)量場的空間分布和變化規(guī)律，引入等值面、梯度和方向?qū)?shù)的概念。1.4標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場是僅用大小就能完

1.4.1標(biāo)量場的等值面等值面就是標(biāo)量函數(shù)相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面，如圖1.10（a）所示。等值面畫在二維平面上就成為等值線，例如在地圖上的等高線就是等值線，如圖1.10（b）所示。1.4.1標(biāo)量場的等值面

圖1.10標(biāo)量場圖圖1.10標(biāo)量場圖

1.4.2標(biāo)量場的梯度

(1.27)而矢量為

(1.28)稱為標(biāo)量場的梯度，也可用表示。梯度是與等值面垂直的一個(gè)矢量，是沿等值面法向的變化率。1.4.2標(biāo)量場的梯度1.4.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)

為沿方向的變化率，稱為標(biāo)量場沿方向的方向?qū)?shù)。

(1.29)1.4.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)

例1.5已知標(biāo)量場。求空間一點(diǎn)A（1,0,1）的梯度和沿方向的方向?qū)?shù)。

例1.5已知標(biāo)量場

解由梯度公式(1.28)有解由梯度公式(1.28)有

方向的單位矢量為方向的單位矢量為

故沿方向的方向?qū)?shù)為故沿方向的方向?qū)?shù)為

梯度有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是它的旋度恒等于0。

(1.30)在直角坐標(biāo)系中

(1.31)梯度有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是它的旋度恒等于0。1.5亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理在空間有限區(qū)域內(nèi)有一矢量場F，若已知它的散度、旋度和邊界條件，則該矢量場就唯一確定了。換言之，一個(gè)矢量場所具有的特性完全由它的散度和旋度確定。1.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理在空間有限

如果一個(gè)矢量場的旋度為0，則稱為無旋場；如果一個(gè)矢量場的散度為0，則稱為無散場。矢量場的散度對應(yīng)標(biāo)量源，稱為發(fā)散源；矢量場的旋度對應(yīng)矢量源，稱為旋渦源。對于一個(gè)無旋場，可以表示為一個(gè)標(biāo)量場的梯度，這一原則將標(biāo)量場與矢量場聯(lián)系了起來。如果一個(gè)矢量場的旋度為0，則稱為無旋場；如果一個(gè)矢1.6常用坐標(biāo)系1.6.1直角坐標(biāo)系（1.35）（1.36）1.6常用坐標(biāo)系1.6.1直角坐標(biāo)系

（1.37）（1.38）

1.6.2圓柱坐標(biāo)系圖1.15圓柱坐標(biāo)系1.6.2圓柱坐標(biāo)系圖1.15圓柱坐標(biāo)系

（1.47）

（1.48）