第六章約束優(yōu)化方法課件

第六章約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法概述隨機(jī)方向法復(fù)合形法可行方向法懲罰函數(shù)法

教學(xué)要求：

1、掌握隨機(jī)方向法。

2、掌握復(fù)合形法的原理。

3、掌握內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法的懲罰函數(shù)的構(gòu)造原理及程序設(shè)計(jì)。第六章約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法概述16.1約束優(yōu)化方法概述

無約束優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最基本最核心的部分。在工程實(shí)際中，優(yōu)化問題大都屬于有約束的優(yōu)化問題，即其設(shè)計(jì)變量的取值要受到一定的限制，用于求解約束優(yōu)化問題最優(yōu)解的方法稱為約束優(yōu)化方法。約束優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)序模型為：

根據(jù)求解方式的不同，約束優(yōu)化方法可以分為：直接解法和間接解法

6.1約束優(yōu)化方法概述無約束優(yōu)化方2

1、直接法

只能求解不等式約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。其根本做法是在約束條件所限制的可行域內(nèi)直接求解目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。如：約束坐標(biāo)輪換法、復(fù)合形法等。

其基本要點(diǎn)：選取初始點(diǎn)x0、確定可行搜索方向d及適當(dāng)步長。

每次迭代計(jì)算均按以下基本迭代格式進(jìn)行xk+1=xk+kdk(k=1,2,)可行搜索方向：當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不越出可行域。

特點(diǎn)：1）求解在可行域內(nèi)進(jìn)行，當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)總比初始設(shè)計(jì)點(diǎn)好；2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜杀ＷC獲得全域最優(yōu)解；3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占丛谟薪缈尚杏騼?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。1、直接法

只能求解不等式約束優(yōu)3

2、間接法

該方法可以求解等式約束優(yōu)化問題和一般約束優(yōu)化問題。其基本思想是將約束優(yōu)化問題通過一定的方法進(jìn)行改變，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，再采用無約束優(yōu)化方法進(jìn)行求解。如：懲罰函數(shù)法基本迭代過程，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成新的無約束目標(biāo)函數(shù)式中為轉(zhuǎn)化后的目標(biāo)函數(shù)分別為約束函數(shù)gj(x),hk(x)經(jīng)過加權(quán)處理后構(gòu)成的某種形式的復(fù)合函數(shù)或泛函數(shù)‘

1，2為加權(quán)因子。

2、間接法

該方法可以求解等式約束優(yōu)化問題和4例6.1求約束優(yōu)化問題minf(x)=(x12)2+(x2–1)2s.t.h(x)=x1+2x2

2=0的最優(yōu)解。解：該問題的最優(yōu)解為x*=[1.60.2]T,f(x*)=0.8。由圖6-3a可知，約束最優(yōu)點(diǎn)x*為目標(biāo)函數(shù)等值線與等式約束函數(shù)（直線）的交點(diǎn)。用間接法求解時(shí)，可取1=0.8，轉(zhuǎn)換后的新目標(biāo)函數(shù)為(x,2)=(x12)2+(x2–1)2+0.8(x1+2x2

2

)可以用解析法求min(x,2),令=0，得到/x1=2

(x12)+0.8=0/x2=2

(x12)+1.6=0求得的無約束最優(yōu)解為x*=[1.60.2]T,(x*，2)=0.8。其結(jié)果與原約束最優(yōu)解相同。例6.1求約束優(yōu)化問題minf(x)=(x12)25特點(diǎn)：1）由于無約束優(yōu)化方法的日趨成熟，使得間接解法有了可靠的基礎(chǔ)；2）可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題；3）存在的主要問題，選取加權(quán)因子較為困難。加權(quán)因子選取不當(dāng)，會(huì)影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。特點(diǎn)：66.2隨機(jī)方向法

本方法是在可行域內(nèi)利用隨機(jī)產(chǎn)生的可行方向進(jìn)行搜索的一種直接解法，用于求解這類約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)x0，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中找出一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向，記作d1。從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿方向d1按給定的初始步長取試探點(diǎn)x=x0+d1檢查x點(diǎn)的適用性和可行性，即檢查f(x)<f(x0),xD?若滿足，則以x為新的起點(diǎn)，即x0x。繼續(xù)按上面的迭代式在d1方向上獲取新點(diǎn)。重復(fù)上述步驟，迭代點(diǎn)可沿d1方向前進(jìn)，直至到達(dá)某迭代點(diǎn)不能同時(shí)滿足適用性和可行性條件時(shí)為止，退到前一點(diǎn)作為改方向搜索中的最終成功點(diǎn)，記作x1.將x1作為新的始點(diǎn)x0x1，再產(chǎn)生另一隨機(jī)方向d2,以步長0重復(fù)以上過程，直到沿d2方向得到最終成功點(diǎn)x3。如此循環(huán)，點(diǎn)列x1、x2、必將逼近約束極值點(diǎn)x*。6.2隨機(jī)方向法本方法是在可行域內(nèi)利用隨機(jī)產(chǎn)生的7一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

首先令r1=235,r2=236,r3=237,取r=2657863(r為小于r1的正奇數(shù)），然后按一下步驟計(jì)算令r5r若r

r3,則rrr3若r

r2,則rrr2

若r

r1,則rrr1則q=r/r1q即為(0,1)區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。利用q,容易求得任意區(qū)間(a,b)內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)，其計(jì)算公式為x=a+q(ba)（6-5）（6-4）

這部分內(nèi)容為產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型，可寫成子程序?；蛘叽蠹铱梢灾苯永盟惴ㄕZ言中自帶的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的子程序。一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（6-5）（6-4）這部分內(nèi)容為產(chǎn)生8二、初始點(diǎn)的選擇

隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)x0必須是一個(gè)可行點(diǎn)，滿足全部不等式約束條件。當(dāng)約束條件較為復(fù)雜，用人工不易選擇可行初始點(diǎn)時(shí)，可用計(jì)算機(jī)隨機(jī)選擇的方法來產(chǎn)生。其計(jì)算步驟如下：1）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即ai

xi

bi

(i=1,2,,n)2）在區(qū)間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)偽隨機(jī)數(shù)qi(i=1,2,,n)3）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)x的分量xi=ai+qi(biai)(i=1,2,,n)4)判別隨機(jī)點(diǎn)x是否可行，若可行取x0x;否則轉(zhuǎn)步驟2）重新計(jì)算。直到產(chǎn)生的隨即點(diǎn)是可行點(diǎn)為止。（6-6）二、初始點(diǎn)的選擇（6-6）9三、可行搜索方向的產(chǎn)生從k(k

n)個(gè)隨機(jī)方向中，選取一個(gè)較好的方向。計(jì)算步驟為：1）在（-1，1）區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)rij(i=1,2,,n;j=1,2,,k),rij=2qi

-1計(jì)算隨機(jī)單位向量ej2)取一試驗(yàn)步長0，按下式計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)3）檢驗(yàn)k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)xj(j=1,2,,k)是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，計(jì)算余下的可行隨機(jī)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)xL.4)比較xL和x0兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，若f(xL)<f(x0),取xL和x0的連線方向作為可行搜索方向；若f(xL)f(x0),則將步長0縮小，轉(zhuǎn)步驟1重新計(jì)算，直至f(xL)<f(x0)為止。如果0縮小到很?。ɡ?06），仍然找不到一個(gè)xL,使f(xL)<f(x0),則說明x0是一個(gè)局部極小點(diǎn)，此時(shí)可更換初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟1.（6-8）（6-7）三、可行搜索方向的產(chǎn)生（6-8）（6-7）10

產(chǎn)生可行搜索方向的條件可以概括為，當(dāng)xL點(diǎn)滿足則可行搜索方向?yàn)樗?、搜索方向的確定可行搜索方向d確定后，初始點(diǎn)移至xL點(diǎn)，從xL點(diǎn)出發(fā)沿d方向進(jìn)行搜索，所用的步長一般按加速步長法來確定。所謂加速步長法是指依次迭代的步長按一定的比例遞增的方法。各次迭代的步長按下式計(jì)算=式中為步長加速系數(shù)，可取為1.3；

為步長，初始步長取=0。

（6-9）（6-10）產(chǎn)生可行搜索方向的條件可以概括為，當(dāng)xL點(diǎn)滿足（611五、計(jì)算步驟1）選擇一個(gè)可行的初始點(diǎn)x0;按式（6-7）產(chǎn)生k個(gè)n維隨即單位向量ej(j=1,2,…,k);取試驗(yàn)步長0，按式（6-8）計(jì)算出k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)xj(j=1,2,…,k);在k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中，找出滿足式（6-9）的隨機(jī)點(diǎn)xL,產(chǎn)生可行搜索方向d=xLx0.從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿可行搜索方向d以步長進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到一個(gè)滿足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)x.若收斂條件得到滿足，停止迭代。約束最優(yōu)解為。否則，令x0x轉(zhuǎn)步驟2）。（6-12）五、計(jì)算步驟（6-12）12隨機(jī)方向法的程序框圖見圖6-5。隨機(jī)方向法的程序框圖見圖6-5。13例6-2求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。解：用隨機(jī)方向法程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，迭代13次，求得約束最優(yōu)解：x*=[0.00273.0]T,f(x*)=3。計(jì)算機(jī)計(jì)算的結(jié)果摘錄于表6-1，該問題的圖解示于圖6-6.例6-2求約束優(yōu)化問題14（課外）例6-3如圖所示為平面鉸接四桿機(jī)構(gòu)。各桿的長度分別為l1,l2,l3,l4;主動(dòng)桿1的輸入角為,相應(yīng)于搖桿3在右極位（桿1與桿2伸直位置）時(shí)，主動(dòng)桿1的初始位置角為0;從動(dòng)桿的輸出角為，初始位置角為0。試確定四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，使輸出角=f(,l1,l2,l3,l4,,0)的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)曲柄從0位置轉(zhuǎn)到m=0+90o時(shí)，最佳再現(xiàn)下面給定的函數(shù)關(guān)系已知l1=1,l4=5,其傳動(dòng)角允許在45o135o范圍內(nèi)變化。(1)（課外）例6-3如圖所示為平面鉸接四桿機(jī)構(gòu)。各桿的長度分別15解：(1)數(shù)學(xué)模型的建立已經(jīng)給定了兩根桿長:l1=1,l4=5,且0和0不是獨(dú)立的參數(shù)，因?yàn)?/p>

所以只剩下兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)l2,l3。因此設(shè)計(jì)變量取復(fù)演預(yù)期函數(shù)的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問題，可以按期望機(jī)構(gòu)的輸出函數(shù)與給定函數(shù)的均方根誤差達(dá)到最小來建立目標(biāo)函數(shù)，即或者由于和E均為輸入角的連續(xù)函數(shù)，為了進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可將[0,m]區(qū)間劃分為30等分，將上式改寫為梯形近似積分計(jì)算公式(2)(3)(4)解：(1)數(shù)學(xué)模型的建立(2)(3)(4)16式中j為當(dāng)=j時(shí)機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸出角；

Ej為復(fù)演預(yù)期函數(shù)當(dāng)=j時(shí)的函數(shù)值，也是欲求機(jī)構(gòu)的理論輸出角。下標(biāo)j為j=0,1,2,,30。Ej值按式（1）計(jì)算，j值可按下式計(jì)算：目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，等值線如右圖所示。(5)(6)(7)(8)(9)(5)(6)(7)(8)(9)17

由于要求四桿機(jī)構(gòu)的桿1能做整周轉(zhuǎn)動(dòng)，且機(jī)構(gòu)的最小傳動(dòng)角min45o、最大傳動(dòng)角min135o，所以根據(jù)四桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在條件，得不等式約束條件為根據(jù)傳動(dòng)角的條件有cosmincos45o,cosmax135o，因所以得到不等式約束條件為在上面7個(gè)約束條件中，式(10)-(14)的約束邊界為直線，式(17)和(18)的約束邊界為橢圓。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)組成一個(gè)可行設(shè)計(jì)區(qū)域，即陰影線所包圍的部分。(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)由于要求四桿機(jī)構(gòu)的桿1能做整周轉(zhuǎn)動(dòng)，且機(jī)構(gòu)的最小傳18(2)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

上述設(shè)計(jì)問題是屬于二維的非線性規(guī)劃問題，有7個(gè)不等式約束條件，其中主要的是g6(x)0和g7(x)0?，F(xiàn)在采用隨機(jī)方向法求解。取初始點(diǎn)x10=4.5,x20=4,搜索步長0=0.1,目標(biāo)函數(shù)值的收斂精度1=0.0001，步長的收斂精度2=0.0001，經(jīng)過9次迭代，其最優(yōu)解為x1*=l2=4.1286,x2*=l3=2.3325,f(x*)=0.0156。

(2)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果19

最終設(shè)計(jì)方案的參數(shù)為l1=1,l2=4.1286,l3=2.3325,l4=5,0=26o28,0=108o08,機(jī)構(gòu)圖如下圖左所示，機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出角和復(fù)演預(yù)期函數(shù)E的關(guān)系和誤差見下圖右。最終設(shè)計(jì)方案的參數(shù)為l1=1,l2=4.1206.3復(fù)合形法復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。一、復(fù)合形法的基本思想

其基本思路(見圖6-7)是在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有k個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，去掉目標(biāo)函數(shù)值最大的頂點(diǎn)（稱最壞點(diǎn)），然后按一定法則求出目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn),并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。6.3復(fù)合形法復(fù)合形法是求解約束優(yōu)21二、初始復(fù)合形的構(gòu)成

要構(gòu)成初始復(fù)合形，實(shí)際上就是確定k個(gè)可行點(diǎn)作為復(fù)合形的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)數(shù)目一般在n+1k2n范圍內(nèi)。對于維數(shù)較低的優(yōu)化問題，因頂點(diǎn)數(shù)目較少，可以由設(shè)計(jì)者自行湊出可行點(diǎn)作為復(fù)合形頂點(diǎn)。但對于維數(shù)較高的優(yōu)化問題，這種方法常常很困難。

為此，提出構(gòu)成復(fù)合形的隨機(jī)方法。該方法是先產(chǎn)生k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，然后再把那些非可行隨機(jī)點(diǎn)調(diào)入可行域內(nèi)，最終使k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)都稱為可行點(diǎn)而構(gòu)成初始復(fù)合形。

生成初始復(fù)合形的方法有以下幾種：

1)由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可行點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。當(dāng)設(shè)計(jì)變量較多或約束函數(shù)復(fù)雜時(shí)，由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可行點(diǎn)常常很困難。只有在設(shè)計(jì)變量少，約束函數(shù)簡單的情況下，這種方法才被采用。二、初始復(fù)合形的構(gòu)成

222）構(gòu)成復(fù)合形的隨機(jī)方法：

1、產(chǎn)生k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)

由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可行點(diǎn)，其余的(k1)個(gè)可行點(diǎn)用隨機(jī)法產(chǎn)生。利用標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生在（0，1）區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)rj，然后產(chǎn)生區(qū)間[a，b]內(nèi)的隨機(jī)變量xj，xj=a+rj（ba），j=1，2，…，k(6-13)xj-----復(fù)合形中的第j個(gè)頂點(diǎn)；a,b-----設(shè)計(jì)變量的下限和上限；rj-----在（0，1）區(qū)間內(nèi)的偽隨機(jī)數(shù)。

(6-14)2）構(gòu)成復(fù)合形的隨機(jī)方法：

1、產(chǎn)生k個(gè)隨機(jī)232、將非可行點(diǎn)移入可行域

用上述方法的隨機(jī)點(diǎn)不一定是可行點(diǎn)。但是只要它們中至少有一個(gè)點(diǎn)在可行域內(nèi)，就可以用一定的方法將非可行點(diǎn)移入可行域。如果k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)沒有一個(gè)是可行點(diǎn)，則應(yīng)重新產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)，直至其中有至少一個(gè)是可行點(diǎn)為止。將非可行點(diǎn)移入可行域的方法：求出已經(jīng)在可行域內(nèi)的L個(gè)頂點(diǎn)的中心xC

然后將非可行點(diǎn)向中心點(diǎn)移動(dòng)，得

若xL+1仍為不可行點(diǎn)，則利用上式，使其繼續(xù)向中心點(diǎn)移動(dòng)。只要中心點(diǎn)可行，xL+1點(diǎn)一定可以移到可行域內(nèi)。隨機(jī)產(chǎn)生的（k1)個(gè)點(diǎn)經(jīng)過這樣的處理后，全部變?yōu)榭尚悬c(diǎn)，并構(gòu)成初始復(fù)合形。（6-14）（6-15）2、將非可行點(diǎn)移入可行域

用上述方法的隨機(jī)點(diǎn)243、由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的全部頂點(diǎn)。其方法是首先隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)可行點(diǎn)，然后按第二種方法產(chǎn)生其余的（k-1)個(gè)可行點(diǎn)。事實(shí)上，只要可行域?yàn)橥辜?，其中心點(diǎn)必為可行點(diǎn)，用上述方法可以成功地在可行域內(nèi)構(gòu)成初始復(fù)合形。如果可行域?yàn)榉峭辜?，如圖6-8所示，中心點(diǎn)不一定在可行域之內(nèi)，則上述方法可能失敗。此時(shí)可以通過改變設(shè)計(jì)變量的下限和上限值，重新產(chǎn)生各頂點(diǎn)。經(jīng)過多次試算，有可能在可行域內(nèi)生成初始復(fù)合形。3、由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的全部頂點(diǎn)。其方法是首先隨機(jī)25三、復(fù)合形法的搜索算法一）反射

1、構(gòu)成初始復(fù)合形；計(jì)算個(gè)頂點(diǎn)函數(shù)值f(xj),j=1,2,…,k，并選出好點(diǎn)xL與壞點(diǎn)xH及次壞點(diǎn)xG：

xL:f(xL)=min{f(xL),j=1,2,…,k}

xH:f(xH)=max{f(xj),j=1,2,…,k}xG:f(xG)=max{f(xj),j=1,2,…,k,GH}；

2、

計(jì)算除去最壞點(diǎn)xH外其余各頂點(diǎn)的中心點(diǎn)xC,3、反射就是沿最壞點(diǎn)xH和中心點(diǎn)xC的連線方向上去映射點(diǎn)xR,即

xR=xC+(xC

xH)式中，稱為反射系數(shù)，一般=1.3。反射點(diǎn)xR與最壞點(diǎn)xH、中心點(diǎn)xc的相對位置如圖6-9所示。

三、復(fù)合形法的搜索算法264、如果xR滿足所有約束條件，且f(xR)<f(xH),可用xR代替xH組成新復(fù)合形，完成一次迭代。如果xR不滿足約束條件，或不滿足f(xR)<f(xH),將減半重新計(jì)算xR，若仍不滿足，可以繼續(xù)將減為0.7倍重新計(jì)算xR，直到減得很?。ɡ缧∮?05）還不滿足要求時(shí)，就放棄這一方向，改用次壞點(diǎn)的映射方向。4、如果xR滿足所有約束條件，且f(xR)<f(x27第六章約束優(yōu)化方法ppt課件28第六章約束優(yōu)化方法ppt課件29第六章約束優(yōu)化方法ppt課件30第六章約束優(yōu)化方法ppt課件31復(fù)合形法的程序框圖見圖6-13。復(fù)合形法的程序框圖見圖6-13。32第六章約束優(yōu)化方法ppt課件33第六章約束優(yōu)化方法ppt課件34（課外）例用復(fù)合形法求解解;1)產(chǎn)生初始復(fù)合形的頂點(diǎn)。取復(fù)合形頂點(diǎn)的數(shù)目為k=2n=4,并采用認(rèn)為選點(diǎn)的方法確定初始復(fù)合形的四個(gè)頂點(diǎn)為以上四點(diǎn)均滿足約束條件2）四點(diǎn)的函數(shù)值分別為由此可知最壞點(diǎn)為x10,好點(diǎn)為x40.3)計(jì)算除去壞點(diǎn)后，各點(diǎn)的中心點(diǎn)4）檢查xC0點(diǎn)的可行性，由于所以xc0是可行點(diǎn)。（課外）例用復(fù)合形法求解355)求反射點(diǎn)xr0并檢查其可行性取反射系數(shù)=1.3，可得反射點(diǎn)也是可行的。6）比較反射點(diǎn)與最壞點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值用xr0代替xH0，與其余3點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形。第二輪迭代，k=1新復(fù)合形的四個(gè)頂點(diǎn)為其對應(yīng)的函數(shù)值為5)求反射點(diǎn)xr0并檢查其可行性36

由此可見，xH1=x21=[1,4]T，除去壞點(diǎn)后其余各點(diǎn)的中心為xC1=[2.77,4.46]T,滿足所有約束條件，是可行點(diǎn)。進(jìn)行反射計(jì)算，得xr1=[5.071,5.058]T,經(jīng)檢驗(yàn)xr1也是可行點(diǎn)，其f(xr1)=14.71<47=f(xh1),故可重新組成復(fù)合形，再計(jì)算，直至達(dá)到精度要求停機(jī)，最后所求得的x1k和f(x1k)接近理論最優(yōu)解x*=[6,5]T,f(x*)=11.由此可見，xH1=x21=[1,4]T，376.4可行方向法基本原理

在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)x0,當(dāng)確定了一個(gè)可行方向d和適當(dāng)?shù)牟介L之后，按下式xk+1=xk+dk(k=1,2,)進(jìn)行迭代進(jìn)算。在不斷調(diào)整可行方向的過程中，使迭代點(diǎn)逐步逼近約束最優(yōu)點(diǎn)。一、搜索策略

第一步從可行的初始點(diǎn)x0,沿x0的負(fù)梯度方向d0=f(x0),將初始點(diǎn)x0移動(dòng)到某一約束面（當(dāng)只有一個(gè)起作用的約束時(shí)）上或約束面的交集（有幾個(gè)起作用的約束時(shí)）上。根據(jù)約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的不同性狀，可以采用如下幾種策略。6.4可行方向法基本原理一、搜索策略381）如圖6-15，在約束面上的迭代點(diǎn)xk處，產(chǎn)生一個(gè)可行方向dk,沿此方向作一維最優(yōu)化搜索，得到的新點(diǎn)x在可行域內(nèi)，即令xk+1=x,再沿xk+1的負(fù)梯度方向dk+1=f(xk+1)繼續(xù)搜索2）如圖6-16，沿可行方向dk作一維最優(yōu)化搜索，所得到的新點(diǎn)x在可行域外，則設(shè)法將x點(diǎn)移動(dòng)到約束面上，即取dk和約束面的交點(diǎn)作為新的迭代點(diǎn)xk+1。1）如圖6-15，在約束面上的迭代點(diǎn)xk處，產(chǎn)生一個(gè)393）沿約束面搜索。如圖6-17，對于只具有線性約束條件的非線性規(guī)劃問題，從xk點(diǎn)出發(fā)，沿約束面移動(dòng)，在有限的幾步內(nèi)即可搜索到約束最優(yōu)點(diǎn)；對于非線性約束函數(shù)如圖6-18，沿約束面移動(dòng)將會(huì)進(jìn)入非可行域，使問題變得復(fù)雜得多。此時(shí)，需將進(jìn)入非可行域的新點(diǎn)x設(shè)法調(diào)整到約束面上，然后才能進(jìn)入下一次迭代。調(diào)整的方法是先規(guī)定約束面容差，建立新的約束邊界（如6-18中虛線所示），然后將已離開約束面的x點(diǎn)，沿起作用約束函數(shù)的負(fù)梯度方向g(x)返回到約束面上。其計(jì)算公式為xk+1=x+tg(x)式中的t為調(diào)整步長，可用試探法決定，或者用下式計(jì)算3）沿約束面搜索。如圖6-17，對于只具有線性約束條件的非40二、產(chǎn)生可行方向的條件可行方向是指沿該方向做微小移動(dòng)后，得到的新點(diǎn)是可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值下降。包括可行和下降兩個(gè)條件。1）可行條件如圖6-19a，若xk點(diǎn)在一個(gè)約束面上，對xk點(diǎn)作約束面g(x)=0的切線，顯然滿足可行條件的方向dk應(yīng)與起作用的約束函數(shù)在該點(diǎn)的梯度的夾角大于或等于90o。即[g(xk)]Tdk0若xk點(diǎn)在J個(gè)約束面的交集上，如圖6-19b，為保證dk可行，要求dk與J個(gè)約束函數(shù)在xk點(diǎn)的梯度gj(xk)(j=1,2,,J)的夾角均大于等于直角。即[gj(xk)]Tdk0(j=1,2,,J)dk二、產(chǎn)生可行方向的條件dk412）下降條件如圖6-20，滿足下降條件的方向dk應(yīng)與目標(biāo)函數(shù)在xk點(diǎn)的梯度的f(xk)的夾角大于90o。即[f(xk)]Tdk<0同時(shí)滿足可行和下降條件的方向稱為可行方向。如圖6-21所示，它位于約束曲面在xk點(diǎn)的切線和目標(biāo)函數(shù)等值線在xk點(diǎn)的切線所圍成的扇形區(qū)內(nèi)，該扇形區(qū)稱為可行下降方向區(qū)。

即當(dāng)xk點(diǎn)位于J個(gè)起作用的約束面上時(shí)，滿足的方向dk稱可行方向。2）下降條件如圖6-20，滿足下降條件的方向dk應(yīng)42三、可行方向的產(chǎn)生方法1.優(yōu)選方法在可行下降扇形區(qū)內(nèi)選擇任一方向d進(jìn)行搜索，可得到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降的可行點(diǎn)。如何在可行下降扇形區(qū)內(nèi)選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向作為本次迭代的方向，是一個(gè)以搜索方向d為設(shè)計(jì)變量的約束優(yōu)化問題，這個(gè)新的約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可寫成（6-31）

由于f(xk)和gj(xk)(j=1,2,,J)為定值，上述各函數(shù)均為設(shè)計(jì)變量d的線性函數(shù)。求解式(6-31)得到的最優(yōu)解d*即為本次迭代的可行方向，即dk=d*.三、可行方向的產(chǎn)生方法432梯度投影法當(dāng)xk點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向f(xk)不滿足可行條件時(shí)，可將其方向投影到約束面（或約束面的交集）上，得到投影向量d，從圖6-22可以看出，改投影向量顯然滿足方向的可行和下降條件。梯度投影法就是取該方向作為本次迭代的可行方向。可行方向的計(jì)算公式為式中，P為投影算子，為nn階方陣，計(jì)算公式為式中，I為單位矩陣，nn階矩陣；

G為起作用約束函數(shù)的梯度矩陣，是nJ階矩陣(J為起作用的約束函數(shù)個(gè)數(shù))：

2梯度投影法444、步長的確定確定可行方向dk后，計(jì)算新的迭代點(diǎn):xk+1=xk+kdkk的確定有兩種方法（1）取最優(yōu)步長如圖6-23所示，從xk出發(fā)，沿dk方向進(jìn)行一維最優(yōu)搜索，取得最優(yōu)步長*，計(jì)算新點(diǎn)的值x=xk+*dk。若新點(diǎn)x可行，則取k=*。4、步長的確定45（2）k取到約束邊界的最大步長如圖6-24所示，從xk出發(fā)，沿dk方向進(jìn)行一維最優(yōu)搜索，得到的新點(diǎn)x不可行，根據(jù)可行方向法的搜索策略，應(yīng)改變步長，使新點(diǎn)x返回到約束面上來。使新點(diǎn)恰好位于約束面上的步長稱為最大步長，記作M。則取k=M。M的確定步驟：1）取一試驗(yàn)步長t，計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)xt。試驗(yàn)步長t的值不能太大，以免因一步走得太遠(yuǎn)導(dǎo)致計(jì)算困難；t也不能太小，降低計(jì)算效率。依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，其值應(yīng)能使試驗(yàn)點(diǎn)x的目標(biāo)函數(shù)值下降5-10%將目標(biāo)函數(shù)f(x)在xt點(diǎn)展開成泰勒級數(shù)的線性式則于是得則試驗(yàn)點(diǎn)xt的計(jì)算公式為（2）k取到約束邊界的最大步長462）判別試驗(yàn)點(diǎn)xt的位置。由試驗(yàn)步長t確定的試驗(yàn)點(diǎn)xt可能在約束面上，可行域或非可行域。若不在約束面上，須設(shè)法將其調(diào)整到約束面上來。使xt到達(dá)約束面gj(x)=0(j=1,2,,J)常很困難。為此，確定一個(gè)約束允差。若試驗(yàn)點(diǎn)xt滿足gj(x)0(j=1,2,,J)時(shí)，可認(rèn)為試驗(yàn)點(diǎn)xt已經(jīng)位于約束面上。若試驗(yàn)點(diǎn)位于非可行域，轉(zhuǎn)步驟3）；若試驗(yàn)點(diǎn)位于可行域，應(yīng)沿dk方向以步長t2t繼續(xù)向前搜索，直至新的試驗(yàn)點(diǎn)xt到達(dá)約束面或越出可行域，再轉(zhuǎn)步驟3)。為約束面的容差值，一般視計(jì)算精度而定，開始可以取大一點(diǎn)，0.01~0.001，然后在迭代中當(dāng)滿足一定的收斂條件時(shí)，在將容差值逐漸縮小，直至當(dāng)=105時(shí)，則認(rèn)為該點(diǎn)已經(jīng)位于約束面上。2）判別試驗(yàn)點(diǎn)xt的位置。由試驗(yàn)步長t確定的試驗(yàn)點(diǎn)xt473）將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn)xt調(diào)整到約束面上。如圖6-25所示，在xt點(diǎn)處，g1(xt)>0,g2(xt)>0。應(yīng)將xt點(diǎn)調(diào)整到g1(xt)=0的約束面上，因?yàn)閷τ趚t點(diǎn)來說，g1(xt)的約束違反量比g2(xt)大。若設(shè)gk(xt)為約束違反量最大的約束條件，則應(yīng)滿足

將試驗(yàn)點(diǎn)xt調(diào)整到gk(xt)=0的約束面上的方法有試探法和插值法兩種。試探法：當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)位于非可行域時(shí)，將試驗(yàn)步長t縮短；當(dāng)位于可行域時(shí)，將試驗(yàn)步長t加倍，直至滿足gj(x)0(j=1,2,,J)，即認(rèn)為試驗(yàn)點(diǎn)已經(jīng)被調(diào)整到約束面上了。3）將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn)xt調(diào)整到約束面上。48圖6-26所示框圖表示了用試探法調(diào)整試驗(yàn)步長t的過程。圖6-26所示框圖表示了用試探法調(diào)整試驗(yàn)步長t的過程。49(b)插值法：利用線性插值將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn)xt調(diào)整到約束面上。設(shè)試驗(yàn)步長t，求得可性試驗(yàn)點(diǎn)當(dāng)試驗(yàn)步長為t+0時(shí)，求得非可行試驗(yàn)點(diǎn)并設(shè)在該兩點(diǎn)的約束函數(shù)分別為gk(xt1)<0和gk(xt2)<0,如圖6-27所示。若考慮約束允差，并按允差中心/2做線性內(nèi)插，可以得到將xt1調(diào)整到約束面上的步長s。本次迭代步長取為(b)插值法：利用線性插值將位于非可行域的試驗(yàn)點(diǎn)xt調(diào)整到50五、收斂條件將設(shè)計(jì)點(diǎn)調(diào)整到約束面上后，需判斷迭代是否收斂，即判斷該迭代點(diǎn)是否為約束最優(yōu)點(diǎn)。1）滿足2)滿足庫恩-塔克條件六、可行方向法的計(jì)算步驟1）在可行域內(nèi)選一個(gè)初始點(diǎn)x0，給出約束允差及收斂精度值。2）令迭代次數(shù)k=0,第一次迭代的搜索方向取d0=f(x0)估算試驗(yàn)步長t，按式(6一38)計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)xt若試驗(yàn)點(diǎn)xt滿足gj(xt)0，xt點(diǎn)必位于第j個(gè)約束面上，則轉(zhuǎn)步驟6）；若試驗(yàn)點(diǎn)xt位于可行域內(nèi)，則加大試驗(yàn)步長t，重新計(jì)算新的試驗(yàn)點(diǎn)，直至xt越出可行域，再轉(zhuǎn)步驟5）；若試驗(yàn)點(diǎn)位于非可行域，則直接轉(zhuǎn)步驟5）五、收斂條件六、可行方向法的計(jì)算步驟515）確定約束違反量最大的約束函數(shù)gk(xt)。用插值法計(jì)算調(diào)整步長t，使試驗(yàn)點(diǎn)xt返回到約束面上，則完成一次迭代。再令kk+1,xk=xt,轉(zhuǎn)步驟6）6）在新的設(shè)計(jì)點(diǎn)xk處產(chǎn)生新的可行方向dk7)在xk點(diǎn)滿足收斂條件，停機(jī)。約束最優(yōu)解為x*=xk,f(x*)=f(xk)。否則，改變允差的值，令可行方向法的程序框圖示于圖6-28。第六章約束優(yōu)化方法ppt課件52可行方向法的程序框圖示于圖6-28?？尚蟹较蚍ǖ某绦蚩驁D示于圖6-28。53例用可行方向法求約束優(yōu)化問題minf(x1,x2)=x12+x22-10x1-x1x2-4x2+60s.t.g1(x)=x10

g2(x)=x20g3(x)=x160g4(x)=x280g5(x)=x1+x2110的約束最優(yōu)解。解：取初始點(diǎn)x0=[01]T，為約束邊界g1(x)=0上的一點(diǎn)。第一次迭代用優(yōu)選方向法確定可行方向。為此，首先計(jì)算x0點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)f(x0)和約束函數(shù)g1(x0)的梯度為在可行下降扇形區(qū)內(nèi)尋找最優(yōu)方向，需求解一個(gè)以可行方向d=[d1d2]T為設(shè)計(jì)變量的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型為：例用可行方向法求約束優(yōu)化問題54

現(xiàn)用圖解法求解，如圖6-30所示。最優(yōu)方向是d*=[0.9840.179]T，它是目標(biāo)函數(shù)等值線（直線束）和約束函數(shù)d12+d22=1（半徑為1的圓）的切點(diǎn)。第一次迭代的可行方向?yàn)閐0=d*。若步長取0=6.098，則可見第一次迭代點(diǎn)x1在約束邊界g3(x1)=0上。第六章約束優(yōu)化方法ppt課件55第二次迭代用梯度投影法來確定可行方向。迭代點(diǎn)x1的目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度-f(x1)=[0.0925.818]T，不滿足方向的可行條件?，F(xiàn)將f(x1)投影到約束邊界g3(x)=0上，按式（6-33）計(jì)算投影算子P本次迭代的可行方向?yàn)轱@然，d1為沿約束邊界g3(x)=0的方向。若取1=2.909，則本次迭代點(diǎn)即為該問題的約束最優(yōu)點(diǎn)x*，則得約束最優(yōu)解

第二次迭代用梯度投影法來確定可行方向。迭代點(diǎn)x1的目標(biāo)函數(shù)負(fù)566.5懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法的基本原理是將約束優(yōu)化問題

中的不等式約束和等式約束經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，與原目標(biāo)函數(shù)一起構(gòu)成新的目標(biāo)函數(shù)––懲罰函數(shù)

求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。為此，按一定法則改變加權(quán)因子r1、r2的值，求得懲罰函數(shù)的一系列無約束最優(yōu)解，并使其不斷逼近原約束優(yōu)化問題得最優(yōu)解。因此，懲罰函數(shù)法又稱序列無約束極小化方法---SUMT法。式(6-47)中的稱為加權(quán)轉(zhuǎn)化項(xiàng)，并根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，又分別稱為障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)。6.5懲罰函數(shù)法57障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中阻止迭代點(diǎn)越出可行域。懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過程之中迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。根據(jù)迭代過程是否在可行域內(nèi)進(jìn)行，懲罰函數(shù)法又可分為內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法、混合懲罰函數(shù)法三種。一、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法

簡稱內(nèi)點(diǎn)法。將新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。對于只具有不等式約束的優(yōu)化問題障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中阻止58轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為或式中r為懲罰因子，它是由大到小且趨近于0的數(shù)列，即r0>r1>r2>……→0。由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。由障礙項(xiàng)的函數(shù)形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)靠近某一約束邊界時(shí)，其值趨于0，而障礙項(xiàng)的值陡然增加，并趨近于無窮大，好像在可行域的邊界上筑起了一道“圍墻”，使迭代點(diǎn)始終不能越出可行域。顯然，只有當(dāng)懲罰因子r→0時(shí)，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。

轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為59例6-5

用內(nèi)點(diǎn)法求問題的約束最優(yōu)解。

解：如圖6-31所示，該問題的約束最優(yōu)點(diǎn)為x*=[10]T，它是目標(biāo)函數(shù)等值線，即x12+x22=1的圓和約束函數(shù)，即1-x1=0的直線的切點(diǎn)，最優(yōu)值為f(x*)=1。用內(nèi)點(diǎn)法求解該問題時(shí)，首先按式（6-50）構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)對于任意給定的懲罰因子r(r>0)，函數(shù)Φ(x,r)為凸函數(shù)。用解析法求函數(shù)Φ(x,r)的極小值，即令(x,r)

=0，得方程組例6-5用內(nèi)點(diǎn)法求問題60當(dāng)時(shí)不滿足約束條件g(x)=1–x1

0,應(yīng)舍去。無約束極值點(diǎn)為可知，當(dāng)逐步減小r值，直至趨近于0時(shí)，x*(r)逼近原問題的約束最優(yōu)解。當(dāng)r=4,1.26,0.36時(shí)，懲罰函數(shù)(x,r)的等值線分別如圖6-32a、b、c所示。當(dāng)時(shí)不滿足約束條61重要參數(shù)的選取1、初始點(diǎn)x0的選取應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。若其太靠近某一個(gè)約束邊界，構(gòu)造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項(xiàng)的值很大而變得畸形，使無約束優(yōu)化問題的求解發(fā)生困難。2、懲罰因子初值r0的選取應(yīng)適當(dāng)選取，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。r0太大，將增加迭代次數(shù)；太小會(huì)使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點(diǎn)。由于問題的多樣化，是的r0的取值相當(dāng)困難，目前尚無一定的有效的方法。一般需由此試算，來決定一個(gè)適當(dāng)?shù)某踔??？蓞⒖家韵路椒ǎ?）取r0=1,根據(jù)試算的結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減小r0的值。2）按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。這樣選取的r0可使懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太大起支配作用，也不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略。重要參數(shù)的選取623、懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取rk=crk+1(k=1,2,)c稱為懲罰因子的縮減系數(shù)，一般認(rèn)為其值大小在迭代過程中不起決定性作用，通常在0.1~0.7范圍內(nèi)選取。4、收斂條件原約束問題的最優(yōu)解為3、懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取63內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟：1）選取可行的初始點(diǎn)x0，懲罰因子的初值r0，縮減系數(shù)c和收斂精度1、2.迭代次數(shù)k0。2）構(gòu)造懲罰函數(shù)(x,r)，選擇適當(dāng)?shù)臒o約束優(yōu)化方法，求函數(shù)的無約束極值，得x*(rk)點(diǎn)3）判斷是否收斂，收斂則停止計(jì)算；約束最優(yōu)解為否則令轉(zhuǎn)步驟2）內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟：64二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

簡稱外點(diǎn)法。其基本思想是將新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐步逼近約束邊界的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)法可以求解具有不等式約束和等式約束問題的優(yōu)化問題。1、懲罰函數(shù)的形式

對于約束優(yōu)化問題

轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)形式為式中r為懲罰因子，它由小到大，且趨近于的數(shù)列，即r0<r1<r2<…→分別為對應(yīng)于不等式約束和等式約束函數(shù)的懲罰項(xiàng)。二、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法

簡稱外點(diǎn)法。其基本思想是將新目標(biāo)65

外點(diǎn)法的迭代過程在可行域之外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。有懲罰項(xiàng)的形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)x不可行時(shí)，懲罰項(xiàng)的值大于0.使得懲罰函數(shù)(x,r)大于原目標(biāo)函數(shù)，這可看成是對迭代點(diǎn)不滿足約束條件的一種懲罰。當(dāng)?shù)c(diǎn)離約束邊界愈遠(yuǎn)，懲罰項(xiàng)的值愈大，這種懲罰愈重。但當(dāng)?shù)c(diǎn)不斷接近約束邊界和等式約束曲面時(shí)，懲罰項(xiàng)的值減小，且趨近于0，懲罰項(xiàng)的作用逐漸消失，迭代點(diǎn)也就趨近于約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)了。外點(diǎn)法的迭代過程在可行域之外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的66例6-5用外點(diǎn)法求問題的約束最優(yōu)解。

解：該問題的約束最優(yōu)點(diǎn)為x*=[10]T，它是目標(biāo)函數(shù)等值線，即x12+x22=1的圓和約束函數(shù)，即1-x1=0的直線的切點(diǎn)，最優(yōu)值為f(x*)=1。構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)對于任意給定的懲罰因子r>0，函數(shù)(x,r)為凸函數(shù)。求其無約束極小值，令(x,r)=0，得求得由計(jì)算可知，當(dāng)逐漸增大r值直至無窮時(shí)，x*(r)逼近原目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。例6-5用外點(diǎn)法求問題67第六章約束優(yōu)化方法ppt課件68

初始點(diǎn)x0的選取,在可行域及非可行域內(nèi)均可。懲罰因子的遞增系數(shù)c的選取rk=crk-1(k=1,2,)c稱為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常在5~10范圍內(nèi)選取。在外點(diǎn)法中，r0的合理取值也是很重要的。選取過小，則序貫無約束求解的次數(shù)就增多，收斂速度慢；反之，則在非可行域中，發(fā)函數(shù)比原目標(biāo)函數(shù)要大得多，特別在起作用約束邊界處產(chǎn)生尖點(diǎn)，函數(shù)性態(tài)變壞，從而限制了某些無約束優(yōu)化方法的使用，致使計(jì)算失敗。取r0=1,c=10?？扇〉脻M意的結(jié)果。也可按下面的經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算r0.r0=max{rj0}(j=1,2,,m)式中

69混合法

用罰函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束優(yōu)化問題的方法，把它稱為混合懲罰函數(shù)法，簡稱混合法。1混合法懲罰函數(shù)的形式及特點(diǎn)一般約束問題的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化后的混合懲罰函數(shù)的形式為為障礙項(xiàng)，r為懲罰因子，按內(nèi)點(diǎn)法取r0>r1>r2>……→0。為懲罰項(xiàng)，

為懲罰因子，當(dāng)r→0時(shí)，滿足外點(diǎn)法對懲罰因子的要求?；旌戏ㄓ昧P函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束70例6-7試求點(diǎn)集A(x1,x2,x3)和點(diǎn)集B(x4,x5,x6)之間的最短距離。限制條件為由右下圖可知，表示以原點(diǎn)為球心，半徑為的球體，點(diǎn)集A在球面上取點(diǎn)。其余兩個(gè)限制條件表示一圓柱體，點(diǎn)集B在圓柱面上取點(diǎn)。因此該問題就是求這兩個(gè)幾何體間的最短距離的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型為解:用混合法編程計(jì)算，取x0=[111315]T,r0=1,c=0.2.在計(jì)算機(jī)上迭代13可求得最優(yōu)解為x*=[1.0015-0.00351.992.0-0.00774.07]Tf(x*)=5.0008例6-7試求點(diǎn)集A(x1,x2,x3)和點(diǎn)集B(x471第六章約束優(yōu)化方法ppt課件72（課外）例：如圖所示為一對稱的兩桿支架，在支架的頂點(diǎn)承受一個(gè)荷載2F=300000N，支座之間的水平距離為2B=1520mm，若選定壁厚T=2.5mm的鋼管，彈性模量E=2.16105MPa,密度=8300kg/mm3,屈服點(diǎn)σs=700MPa,要求在滿足強(qiáng)度與穩(wěn)定性條件下設(shè)計(jì)最輕的支架尺寸。

（課外）例：如圖所示為一對稱的兩桿支架，在支架的頂點(diǎn)承受一個(gè)73解：數(shù)學(xué)模型的建立設(shè)計(jì)變量取

目標(biāo)函數(shù)為約束條件為1）圓管桿件中的壓應(yīng)力σ應(yīng)小于或等于材料的屈服極限σs,即于是得到2）圓管桿件中的壓應(yīng)力應(yīng)小于或等于壓桿穩(wěn)定的臨界壓力，由歐拉公式得鋼管的壓桿穩(wěn)定應(yīng)力于是得解：74（2）求解結(jié)果和分析此問題的外點(diǎn)法懲罰函數(shù)為取初始點(diǎn)x0=15.2，f(x0)=21.24,r0=10-10,無約束極小化，用變尺度法求解。

（2）求解結(jié)果和分析75(課外)例：如6-47圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長度L=6000mm，寬度b=600mm，厚度ts=5mm。翼板厚度為tf（cm），它承受最大的單位載荷q=0.01MPa。彈性模量E=7104MPa，泊松比μ=0.3，允許彎曲應(yīng)為[σu]=70MPa，允許剪切應(yīng)力[]=45MPa。要求在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)重量最輕的方案。解：（1）設(shè)計(jì)分析截面的慣性矩近似取(課外)例：如6-47圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長度L=76最大剪應(yīng)力為最大彎曲應(yīng)力（翼板中間）為式中Q----最大剪應(yīng)力，Q=18000N。翼板中的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力為最大撓度為蓋板單位長度的質(zhì)量（kg/cm）為最大剪應(yīng)力為77式中----材料的密度，t/m3。數(shù)學(xué)模型根據(jù)設(shè)計(jì)要求，建立如下數(shù)學(xué)模型：設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)：式中已略去密度，因?yàn)樗鼘δ繕?biāo)函數(shù)極小化沒有影響。設(shè)計(jì)約束：按照強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求建立如下約束條件。式中----材料的密度，t/m3。78單位長度允許撓度取[f]/L=1/400。在下圖中給出了問題在設(shè)計(jì)平面上的幾何關(guān)系：f(x)的等值線和約束邊界曲線g1(x)~g6(x)。陰影線的右邊為可行設(shè)計(jì)區(qū)域，其最優(yōu)解在P點(diǎn)。單位長度允許撓度取[f]/L=1/400。79（3）求解方法和結(jié)果用內(nèi)點(diǎn)懲罰