【解析】北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)- 第四章 《圖形的相似》7.相似三角形的性質(zhì)

第第頁【解析】北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)——第四章《圖形的相似》7.相似三角形的性質(zhì)登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)——第四章《圖形的相似》7.相似三角形的性質(zhì)

一、選擇題

1．（2023·義烏模擬）如果兩個相似三角形的周長之比為1：2，那么這兩個三角形的面積之比為（）

A．1：B．1：2C．1：4D．1：8

2．（2023·紅河模擬）如圖，，，，則為（）

A．8B．C．D．10

3．（2023·柯橋模擬）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積分別為S1、S2、S3、S4，以下判斷，其中不正確的是（）

A．PA+PB+PC+PD的最小值為10

B．若△PAB≌△PCD，則△PAD≌△PBC

C．若△PAB△PDA，則PA=2

D．若S1=S2，則S3=S4

4．（2023·成都模擬）若，且，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

5．（2023·大渡口模擬）如圖，，在邊上取點P，使得與相似，則滿足條件的點P有（）

A．1個B．2個C．3個D．0個

6．（2023九上·三明模擬）如圖，，，，則的長為（）

A．B．C．D．

二、填空題

7．（2023·成都）如圖，在中，D是邊AB上一點，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點；③以點為圓心，以MN長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點；④過點作射線交BC于點E.若與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為.

8．如圖，中，，點在上，且，點在上，連接．若，則．

9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為12cm，則△A′B′C′的周長為.

10．（2023九上·慈溪期末）如圖，正方形的邊長為6，點F為的中點，點E在上，且，在邊上找一點P，使以E，D，P為頂點的三角形與相似，則的長為.

11．（2023九上·溫州期末）如圖，點在等邊三角形的邊上，連接，線段的垂直平分線分別交邊，于點，當(dāng)時，的值為．

12．（2022九上·楊浦期中）如圖，已知四邊形中，平分，，，如果與相似，那么．

三、解答題

13．（2023九上·禮泉期末）如圖所示，點D、E分別在AB、AC上，連接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積.

14．（2022九上·路南期中）如圖，分別是、上的點，，，，，，求的長和的度數(shù)．

15．（2022九上·溫州期中）如圖，在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，，，，，求的長.

16．（2023九上·濟陽期中）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．

17．（2023九上·澧縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向C點以4cm/s的速度移動.如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘△PBQ與△ABC相似？

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比為1：2，

∴這兩個三角形的面積之比為1∶4.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方可得答案.

2．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，DE=5，

那么：

∴DE：BC=3：5

∴

故答案為C。

【分析】相似三角形，對應(yīng)邊成比例；相似三角形面積之比的平方根即為對應(yīng)邊的比例。

3．【答案】C

【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、當(dāng)點P是矩形ABCD的對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據(jù)勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小為AC+BD=10，故此選項正確；

B、若△PAB≌△PCD，則PA=PC，PB=PD，∴點P是對角線的交點，容易判斷出△PAD≌△PBC，故此選項正確；

C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性質(zhì)得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形內(nèi)角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三點共線，根據(jù)三角形的面積公式可得PA=2.4，故此選項錯誤；

D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，則S3=S4，故此選項正確.

故答案為：C.

【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理算出算出矩形的對角線AC=BD=5，根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)點P是矩形ABCD的對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，據(jù)此可判斷A選項；由三角形全等的性質(zhì)得PA=PC，PB=PD，則點P是對角線的交點，進而用SSS判斷出△PAD≌△PBC，據(jù)此可判斷B選項；由相似三角形的對應(yīng)角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，則B、P、D三點共線，根據(jù)三角形的面積公式可得PA的長，據(jù)此可判斷C選項；根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形的面積計算公式及平行線間的距離易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，據(jù)此可判斷D選項.

4．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，且，相似三角形周長的比等于相似比，

，

的周長=，

故答案為：C.

【分析】相似三角形的周長比等于相似比，據(jù)此求解.

5．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

若與相似，可分兩種情況：

①若，

則，

；

解得.

②若，

則，

，

解得或6.

則滿足條件的長為2.8或1或6.

故答案為：C.

【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

6．【答案】B

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴或（不符合題意，舍去）

∵，

∴.

故答案為：B.

【分析】由已知條件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答.

7．【答案】

【知識點】平行線的判定；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵與四邊形ACED的面積比為4：21，

∴與△BAC的面積比為4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】根據(jù)作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出與△BAC的面積比為4：25，最后求解即可。

8．【答案】

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴AF=.

故答案為：.

【分析】直接根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

9．【答案】16cm

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比為，

∵△ABC的周長為12cm

∴△A′B′C′的周長為12÷=16cm.

故答案為：16cm.

【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比進行計算.

10．【答案】6或

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：依題意，，

若，則，即，解得：；

若，則，即，解得：，

故答案為：6或.

【分析】由題意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，結(jié)合相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

11．【答案】

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如圖，連接DE、DF，設(shè)BE＝x，BD＝2a，

∵2CD＝3BD，

∴CD＝BD＝3a，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，

∵EF垂直平分AD，

∴DE＝AE＝5ax，F(xiàn)D＝AF，

∵EF＝EF，

∴△DEF≌△AEF（SSS），

∴∠EDF＝∠EAF＝60°，

∴∠BED＝180°∠B∠BDE＝120°∠BDE，∠CDF＝180°∠EDF∠BDE＝120°∠BDE，

∴∠BED＝∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴

∴

∴FD＝AF＝

∴解得，

∴.

故答案為：.

【分析】連接DE、DF，設(shè)BE＝x，BD＝2a，則CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由線段垂直平分線的性質(zhì)得DE＝AE＝5ax，F(xiàn)D＝AF，再證明△DEF≌△AEF，則∠EDF＝∠EAF＝60°，即可證明△BED∽△CDF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出用含a的代數(shù)式表示x的式子，再求出用含a的代數(shù)式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．

12．【答案】6

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，

∴，

∴BD2=AB·BC=4×9=36，

∴BD=6.

故答案為：6.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，代入數(shù)值進行計算，即可得出答案.

13．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面積是1，

∴S四邊形

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，利用△ADE的面積，可求出△ABC的面積，再利用四邊形DBCE的面積等于△ABC的面積減去△ADE的面積，代入計算可求出結(jié)果.

14．【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)計算求解即可。

15．【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

解得：，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴.

即的長度為5.

【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得，代入數(shù)值計算即可得出DF的長，再根據(jù)矩形的對邊相等得DC的長，最后根據(jù)FC=DC-DF即可算出答案.

16．【答案】解：設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ與△ABC相似，則有，，，

當(dāng)時，，

即，

解得秒；

當(dāng)時，，

即，

解得秒．

∴經(jīng)過2.5秒或1秒時，△PBQ與△ABC相似．

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】分兩種情況：①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，再將數(shù)據(jù)代入求解即可。

17．【答案】解：設(shè)在開始運動后第x秒，△BPQ與△BAC相似，

由題意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，

分兩種情況考慮：

當(dāng)∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B時，△PBQ∽△CBA，

∴，

即

解得：x＝0.8，

當(dāng)x＝0.8秒時，△BPQ與△BAC相似；

當(dāng)∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B時，△BPQ∽△BAC，

∴，即，

解得：x＝2，

當(dāng)x＝2秒時，△BPQ與△BAC相似.

綜上，當(dāng)x＝0.8秒或2秒時，△BPQ與△BAC相似.

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】設(shè)在開始運動后第x秒，△BPQ與△BAC相似，由題意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B時，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B時，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例就可求出x的值.

二一教育在線組卷平臺（）自動生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊同步練習(xí)——第四章《圖形的相似》7.相似三角形的性質(zhì)

一、選擇題

1．（2023·義烏模擬）如果兩個相似三角形的周長之比為1：2，那么這兩個三角形的面積之比為（）

A．1：B．1：2C．1：4D．1：8

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比為1：2，

∴這兩個三角形的面積之比為1∶4.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方可得答案.

2．（2023·紅河模擬）如圖，，，，則為（）

A．8B．C．D．10

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，DE=5，

那么：

∴DE：BC=3：5

∴

故答案為C。

【分析】相似三角形，對應(yīng)邊成比例；相似三角形面積之比的平方根即為對應(yīng)邊的比例。

3．（2023·柯橋模擬）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積分別為S1、S2、S3、S4，以下判斷，其中不正確的是（）

A．PA+PB+PC+PD的最小值為10

B．若△PAB≌△PCD，則△PAD≌△PBC

C．若△PAB△PDA，則PA=2

D．若S1=S2，則S3=S4

【答案】C

【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、當(dāng)點P是矩形ABCD的對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，根據(jù)勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小為AC+BD=10，故此選項正確；

B、若△PAB≌△PCD，則PA=PC，PB=PD，∴點P是對角線的交點，容易判斷出△PAD≌△PBC，故此選項正確；

C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性質(zhì)得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形內(nèi)角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三點共線，根據(jù)三角形的面積公式可得PA=2.4，故此選項錯誤；

D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，則S3=S4，故此選項正確.

故答案為：C.

【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理算出算出矩形的對角線AC=BD=5，根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)點P是矩形ABCD的對角線的交點時，PA+PB+PC+PD的值最小，據(jù)此可判斷A選項；由三角形全等的性質(zhì)得PA=PC，PB=PD，則點P是對角線的交點，進而用SSS判斷出△PAD≌△PBC，據(jù)此可判斷B選項；由相似三角形的對應(yīng)角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，則B、P、D三點共線，根據(jù)三角形的面積公式可得PA的長，據(jù)此可判斷C選項；根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形的面積計算公式及平行線間的距離易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，據(jù)此可判斷D選項.

4．（2023·成都模擬）若，且，若的周長為，則的周長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，且，相似三角形周長的比等于相似比，

，

的周長=，

故答案為：C.

【分析】相似三角形的周長比等于相似比，據(jù)此求解.

5．（2023·大渡口模擬）如圖，，在邊上取點P，使得與相似，則滿足條件的點P有（）

A．1個B．2個C．3個D．0個

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

若與相似，可分兩種情況：

①若，

則，

；

解得.

②若，

則，

，

解得或6.

則滿足條件的長為2.8或1或6.

故答案為：C.

【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

6．（2023九上·三明模擬）如圖，，，，則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴或（不符合題意，舍去）

∵，

∴.

故答案為：B.

【分析】由已知條件可得S△ABC：S△ADE=1：4，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答.

二、填空題

7．（2023·成都）如圖，在中，D是邊AB上一點，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；②以點D為圓心，以AM長為半徑作弧，交DB于點；③以點為圓心，以MN長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點；④過點作射線交BC于點E.若與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為.

【答案】

【知識點】平行線的判定；相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵與四邊形ACED的面積比為4：21，

∴與△BAC的面積比為4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案為：.

【分析】根據(jù)作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出與△BAC的面積比為4：25，最后求解即可。

8．如圖，中，，點在上，且，點在上，連接．若，則．

【答案】

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△AEF∽△ACB，

∴，

∴，

∴AF=.

故答案為：.

【分析】直接根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

9．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周長為12cm，則△A′B′C′的周長為.

【答案】16cm

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比為，

∵△ABC的周長為12cm

∴△A′B′C′的周長為12÷=16cm.

故答案為：16cm.

【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比進行計算.

10．（2023九上·慈溪期末）如圖，正方形的邊長為6，點F為的中點，點E在上，且，在邊上找一點P，使以E，D，P為頂點的三角形與相似，則的長為.

【答案】6或

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：依題意，，

若，則，即，解得：；

若，則，即，解得：，

故答案為：6或.

【分析】由題意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，結(jié)合相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行計算.

11．（2023九上·溫州期末）如圖，點在等邊三角形的邊上，連接，線段的垂直平分線分別交邊，于點，當(dāng)時，的值為．

【答案】

【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如圖，連接DE、DF，設(shè)BE＝x，BD＝2a，

∵2CD＝3BD，

∴CD＝BD＝3a，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC＝5a，∠B＝∠C＝∠EAF＝60°，

∵EF垂直平分AD，

∴DE＝AE＝5ax，F(xiàn)D＝AF，

∵EF＝EF，

∴△DEF≌△AEF（SSS），

∴∠EDF＝∠EAF＝60°，

∴∠BED＝180°∠B∠BDE＝120°∠BDE，∠CDF＝180°∠EDF∠BDE＝120°∠BDE，

∴∠BED＝∠CDF，

∴△BED∽△CDF，

∴

∴

∴FD＝AF＝

∴解得，

∴.

故答案為：.

【分析】連接DE、DF，設(shè)BE＝x，BD＝2a，則CD＝3a，所以AB＝AC＝BC＝5a，由線段垂直平分線的性質(zhì)得DE＝AE＝5ax，F(xiàn)D＝AF，再證明△DEF≌△AEF，則∠EDF＝∠EAF＝60°，即可證明△BED∽△CDF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出用含a的代數(shù)式表示x的式子，再求出用含a的代數(shù)式表示AE、AF的式子，即可求出AEAF的值．

12．（2022九上·楊浦期中）如圖，已知四邊形中，平分，，，如果與相似，那么．

【答案】6

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，

∴，

∴BD2=AB·BC=4×9=36，

∴BD=6.

故答案為：6.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，代入數(shù)值進行計算，即可得出答案.

三、解答題

13．（2023九上·禮泉期末）如圖所示，點D、E分別在AB、AC上，連接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積.

【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面積是1，

∴S四邊形

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，利用△ADE的面積，可求出△ABC的面積，再利用四邊形DBCE的面積等于△ABC的面積減去△ADE的面積，代入計算可求出結(jié)果.

14．（2022九上·路南期中）如圖，分別是、上的點，，，，，，求的長和的度數(shù)．

【答案】解：∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

【知識點】相似三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)計算求解即可。

15．（2022九上·溫州期中）如