高等代數(shù)第8章入矩陣習(xí)題課課件

第8章-矩陣習(xí)題課1-矩陣的概念2-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形3不變因子與行列式因子4矩陣相似的條件5初等因子6Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)7矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形第8章-矩陣習(xí)題課1-矩陣的概念11-矩陣的定義、秩、可逆性一.概念設(shè)P是一個(gè)數(shù)域,是一個(gè)文字,作多項(xiàng)式環(huán)P[].如果一個(gè)矩陣其元素是的多項(xiàng)式,即P[]的元素,就稱為-矩陣.常用A(),B()表示.數(shù)字矩陣:特殊情形.運(yùn)算:與數(shù)字矩陣相同.1-矩陣的定義、秩、可逆性一.概念2-矩陣的行列式(1)-矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì).(2)-矩陣的行列式是關(guān)于文字的一個(gè)多項(xiàng)式。(3)可定義-矩陣行列式的子式、非零子式、-矩陣的秩等概念。零矩陣的秩規(guī)定為0.-矩陣的行列式(1)-矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式3三.-矩陣的逆矩陣

定義設(shè)A()是一個(gè)n×n的-矩陣,如果有一個(gè)n×n的-矩陣B()使

A()B()=B()A()=E則稱A()是可逆的,稱B()為A()的逆矩陣.注(1)這里E是n階單位矩陣;(2)這樣的矩陣B()是唯一的,記作A-1().三.-矩陣的逆矩陣

定義設(shè)A()是一個(gè)n×n的-4伴隨矩陣A*():同數(shù)字矩陣.定理一個(gè)n×n的-矩陣A()可逆的充分必要條件為行列式|A()|是一個(gè)非零的數(shù).伴隨矩陣A*():同數(shù)字矩陣.定理一個(gè)n×n的-矩52-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形一.初等變換與初等矩陣-矩陣的初等變換:指下面的三種變換(1)矩陣的兩行(列)互換位置;(2)矩陣的某一行(列)乘以非零的常數(shù)c;(3)矩陣的某一行(列)加另一行(列)的()倍,()是一個(gè)多項(xiàng)式.2-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形一.初等變換與初等矩陣6初等矩陣都是可逆的,并且有

P(i,j)-1=P(i,j),

P(i(c))-1=P(i(c-1)),P(i,j())-1=P(i,j(-)).-矩陣的初等矩陣:由單位矩陣經(jīng)一次-矩陣的初等變換得到的-矩陣稱為初等-矩陣.

P(i,j);P(i(c));P(i,j())初等矩陣都是可逆的,并且有-矩陣的初等矩陣:7對(duì)一個(gè)sn的-矩陣A()作一次初等行變換就相當(dāng)于在A()的左邊乘上相應(yīng)的ss初等-矩陣;對(duì)A()作一次初等列變換就相當(dāng)于在A()的右邊乘上相應(yīng)的nn的初等-矩陣.對(duì)一個(gè)sn的-矩陣A()作一次初等行變換8定義

-矩陣A()稱為與B()等價(jià),如果可以經(jīng)過一系列初等變換將A()化為B().-矩陣之間的等價(jià)滿足如下三條;

(1)自反性:每個(gè)-矩陣與自己等價(jià).

(2)對(duì)稱性:若A()與B()等價(jià),則B()與

A()等價(jià).(由于初等變換具有可逆性).

(3)傳遞性:若A()與B()等價(jià),B()與C()等價(jià),則A()與C()等價(jià).定義-矩陣A()稱為與B()等價(jià),9命題

矩陣A()與B()等價(jià)的充分必要條件為有一系列初等-矩陣P1,P2,…,Ps,Q1,Q2,…,Qt,使

A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt

. 命題矩陣A()與B()等價(jià)的充分必要條件10定理

任意一個(gè)非零的sn的-矩陣A()都等價(jià)于下列形式的矩陣定理任意一個(gè)非零的sn的-矩陣A()11其中r1,di()(i=1,2,…,r)是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,且

di()di+1()(i=1,2,…,r-1)。其中r1,di()(i=1,2,…,r)是首項(xiàng)系數(shù)為123不變因子一.行列式因子定義設(shè)-矩陣A()的秩為r,對(duì)于正整數(shù)k,1kr,A()中必有非零的k階子式.A()中全部k階子式的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式Dk()稱為A()的k級(jí)行列式因子.3不變因子一.行列式因子13由定義可知,對(duì)于秩為r的-矩陣,行列式因子一共有r個(gè).行列式因子的意義就在于,它在初等變換下是不變的.定理等價(jià)的-矩陣具有相同的秩與相同的各階行列式因子。由定義可知,對(duì)于秩為r的-矩陣,定理等價(jià)的-矩陣具14二.標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性定理

-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的．

二.標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性15三.不變因子定義標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素

d1()?d2(),…,dr()稱為-矩陣A()的不變因子.定理兩個(gè)sn的-矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的行列式因子,或者說,有相同的不變因子.三.不變因子16注

由上可見,在-矩陣的行列式因子之間,有

Dk()∣Dk+1()(k=1,2,…,r-1).

在計(jì)算-矩陣的行列式因子時(shí),常常是先計(jì)算最高階的行列式因子.這樣就大致有了低階行列式因子的范圍了.注由上可見,在-矩陣的行列式17特別地,當(dāng)B()=E時(shí),就得到如下結(jié)果

定理

-矩陣A()可逆的充分必要條件是:A()的標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣E.定理-矩陣A()可逆的充分必要條件是:A()能表成一些初等矩陣的乘積. 特別地,當(dāng)B()=E時(shí),就得到如下結(jié)果

定理-矩陣18定理兩個(gè)sn的-矩陣A()與B()等價(jià)的充分必要條件是:存在可逆的s階-矩陣P()與可逆的n階-矩陣Q(),使得

B()=P()A()Q(). 高等代數(shù)第8章入矩陣習(xí)題課ppt課件194矩陣相似的條件定理設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個(gè)nn矩陣.則A與B相似當(dāng)且僅當(dāng)E-A和E-B等價(jià).4矩陣相似的條件定理設(shè)A,B是數(shù)域P上兩個(gè)nn矩205初等因子一.初等因子的概念定義把方陣A(或線性變換A)的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,所有這些一次因式方冪(相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)稱為矩陣A(或線性變換A)的初等因子.5初等因子一.初等因子的概念21二.不變因子與初等因子的關(guān)系命題

n階矩陣A的不變因子與初等因子是互相確定的.二.不變因子與初等因子的關(guān)系22命題兩個(gè)同階方陣有相同的初等因子當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的不變因子.定理兩個(gè)同階方陣相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的初等因子.高等代數(shù)第8章入矩陣習(xí)題課ppt課件23三.初等因子的求法定理按初等變換化A的特征矩陣E-A為對(duì)角形,將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積,則所有這些一次因式的方冪(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)就是A的全部初等因子.三.初等因子的求法定理按初等變換化A的特征矩陣E-24推論

設(shè)A()是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣則A1(),A2(),…,As()的全部初等因子合起來就是A()的全部初等因子.推論設(shè)A()是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣256Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)一.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子Jordan塊的初等因子是(-0)n.Jordan形矩陣6Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)一.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的26的全部初等因子是

其中是Ji的初等因子.的全部初等因子是27定理每一個(gè)n階的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)Jordan形矩陣相似,這個(gè)Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的,它稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。（這里的Jordan塊是由A的初等因子決定的）定理每一個(gè)n階的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)28定理復(fù)矩陣A相似于對(duì)角陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的初等因子都是一次的。定理復(fù)矩陣A相似于對(duì)角陣，29推論復(fù)矩陣A相似于對(duì)角陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的不變因子都沒有重根。引理

n階矩陣A的最小多項(xiàng)式就是A的最后一個(gè)不變因子dn()。推論復(fù)矩陣A相似于對(duì)角陣，307矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)將在任意數(shù)域中討論一.伴侶矩陣定義對(duì)數(shù)域上的一個(gè)多項(xiàng)式

d()=n+a1n-1++an稱矩陣為多項(xiàng)式d()的伴侶矩陣.7矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)將在任意數(shù)域中討論31d()的伴侶矩陣A的不變因子是1,1,…,1,d()證因?yàn)閐()的伴侶矩陣A的不變因子是1,1,…,1,d()32二.有理標(biāo)準(zhǔn)形定義下列準(zhǔn)對(duì)角矩陣其中Ai分別是數(shù)域P上的某些多項(xiàng)式di()的伴侶矩陣.且滿足d1()d2(