2014年全國(guó)一卷高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案

8AUni--20--20學(xué)年第一學(xué)期工作計(jì)劃98642014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)課標(biāo)I理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一．選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合A={x|x2x30}，B={x|－2≤x＜2＝，則AB=2A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）(1i)32.(1i)2=A.1iB.1iC.1iD.1ig(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)3.設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為f(x)時(shí)奇函數(shù)，R，且A.f(x)g(x)是偶函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)xmy3m(m0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F是雙曲線C：2F到C的一條漸近線的距離為A.34.已知23mD.3mB.3C.5.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率1A.83B.857D.8C.86.如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線f(x)，表示為x的函數(shù)OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離則y=f(x)在[0,]上的圖像大致為7.執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的a,b,k分別為1,2,3，則輸出的M=20A.316B.57215D.8C.b18AUni--20--20學(xué)年第一學(xué)期工作計(jì)劃98641sin，則cos，tan(0,)(0,)8.設(shè)，且2232B.2C.3A.D.2222xy19.不等式組的解集記為D.有下面四個(gè)命題：x2y4p：(x,y)D,x2y2，1(x,y)D,x2y2,p：2(x,y)D,x2y3，P：3(x,y)D,x2y1.p：4其中真命題是A.p，p23B.p，pC.p，pD.p，p131412y8x的焦點(diǎn)為C：F，準(zhǔn)線為FP4FQ，l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)焦點(diǎn)，若10.已知拋物線2|QF|則=7A.252B.C.3D.2x＞0，則a的取值范圍為ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x，且0f(x)=11.已知函數(shù)0A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個(gè)條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為A.62B.42D.4C.6第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第（13）題-第（21）題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第（22）題-考生根據(jù)要求作答。5分。第（24）題為選考題，二．填空題：本大題共四小題，每小題13.(xy)(xy)8的展開(kāi)式中的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)xy2214.甲、乙、丙三甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；同一個(gè)城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為.1AO(ABAC)，則AB與AC的夾角為.15.已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，若216.已知a,b,c分別為ABC的三個(gè)A,B,C的對(duì)邊，a=2，且ABCcb(2)(sinsinB)()sinC，則面積bA內(nèi)角的最大值為.三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。常數(shù).17.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，a=1，a0，aaS1，其中為nn1nnn1nb28AUni--20--20學(xué)年第一學(xué)期工作計(jì)劃9864（I）證明：an2a；n（Ⅱ）是否存在，使得{a}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.n18.(本小題滿分12分)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；2（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2)，其中近似為樣本平均數(shù)x，2近似為樣本方差s2.（i）利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；（ii）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，學(xué)科網(wǎng)記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8,212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX.150附：≈12.2.若Z～N(,2)，則P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544.19.(本小題滿分12分)如圖三棱錐ABCABC1中，11側(cè)面BBCC為菱形，ABBC.111（I）證明：ACAB；1（Ⅱ）若ACAB，1CBB60o，AB=Bc，1求二面角AABC的余弦值.111xy23的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，221(ab0)20.(本小題滿分12分)已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：ab2223直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)點(diǎn)原.3（I）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.bex121.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x0aexlnx，曲線yf(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線為ye(x1)2.x（I）求a,b；（Ⅱ）證明：f(x)1.b38AUni--20--20學(xué)年第一學(xué)期工作計(jì)劃9864請(qǐng)考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(Ⅰ)證明：∠D=∠E；學(xué)科網(wǎng)（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形E，且CB=CE.23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程x2txy221tC：，直線l：（為參數(shù)）.49y22t已知曲線（I）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（Ⅱ）過(guò)曲線求|PA|的C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30o的直線，交l于點(diǎn)A，最大值與最小值.24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講11若a0,b0，且ab.ab（I）求a3b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并說(shuō)明理由.b42014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)課標(biāo)I答案213．－2014．A15．90°16．n1aaS1，aaS1，兩式相減17．【解析】：(Ⅰ)由題設(shè)nn1nn1n2aaaa，由于a0，所以aa…………6分n1n2nn1n2nn（Ⅱ）由題設(shè)a=1，aaS1，可得a1，由(Ⅰ)知a11121213假設(shè){a}為等差數(shù)列，則a,a,a成等差數(shù)列，∴aa2a，解得；4n1231324a4知證明時(shí)，{a}為等差數(shù)列：由an2nna4m321m數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列a是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列2m1n2m1,則mn1，∴a2n1(n2m1)令2na4m1數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列a是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列2m2mn2m,則mn，∴a2n1(n2m)令2n∴a2n1（nN*），aa2nn1n4，使得{a}為等差數(shù)列.因此，存在存在………12分n18．【解析】：(Ⅰ)抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200s23020.022020.091020.2200.331020.242020.083020.02150…………6分（Ⅱ）（?。┯?Ⅰ)知Z～N(200,150)，從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間（187.8,212.2）的概率為0.6826依題意知XB(100,0.6826)，所以EX1000.682668.26………12分(Ⅰ)連結(jié)BC，交BC于O，連結(jié)AO．因?yàn)閭?cè)面BBCC為菱形，所以BCBC，且O為BC111111119．【解析】：與BC的中點(diǎn)．又ABBC，所以BC平面ABO，故BCAO又BOCO，故1111112O到直線PQ的距離dS14k22OPQ4t4t241，S4tt7y7x2l的方程為：當(dāng)且僅當(dāng)t2，k時(shí)等號(hào)成立，且滿足，所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，022y或7x2.…………12分2abx1bex1x(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，fxaexlnxex0,()e21．【解析】xx2由題意可得f(1)2,f(1)e，故a1,b2……………6分2ef(x)1等價(jià)于xlnxxex2x1（Ⅱ）由(Ⅰ)知，f(x)exlnx，從而xe1x0,時(shí)，e1g(x)xlnx，則g(x)xlnx，所以當(dāng)g(x)0，當(dāng)x,設(shè)函數(shù)e1e1g(x)0，故g(x)在時(shí)，0,單調(diào)遞減，在,單調(diào)遞增，從而g(x)在e0,1的最小值為g1().……………8分ee2h(x)0，當(dāng)x1,h(x)xex，則h(x)ex1x，所以當(dāng)x0,1時(shí)，設(shè)函數(shù)e0,1單調(diào)遞增，在1,單調(diào)遞減，從而h(x)0，故h(x)在時(shí)，h(x)g(x)在0,1的最小值為h(1).綜上：當(dāng)時(shí)，x0g(x)h(x)，即f(x)1.……12分e22．【解析】.(Ⅰ)由題設(shè)知得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以D=CBE，由已知得，CBE=E,所以D=E……………5分（Ⅱ）設(shè)BCN中點(diǎn)為，連接MN,則由MB=MC,知MN⊥BC所以O(shè)在MN上，又AD不是O的直徑，M為AD中點(diǎn)，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE，又CBE=E，故A=E由(Ⅰ)（1）知D=E，所以△ADE為等邊三角形．