新人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)3 3冪函數(shù)

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.3

冪函數(shù)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)冪函數(shù)的概念【以下各個(gè)函數(shù)有什么共同的特征？】【探究】(1)如果盧老師以1元/kg的價(jià)格購(gòu)買了某種蔬菜t千克，那么他需要支付的錢數(shù)P=t元，這里P是t的函數(shù)；(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù)；

(3)如果立方體的棱長(zhǎng)為b，那么立方體的體積V=b3，這里V是b的函數(shù)；(4)如果正方形廣場(chǎng)的面積為S，那么廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)c=

，這里c是S的函數(shù)；(5)如果某人t秒內(nèi)汽車前進(jìn)了1km，那么他的平均速度v=

km/s，這里v是t的函數(shù)；可以發(fā)現(xiàn)，這些函數(shù)的表達(dá)式都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù).分別是1，2，3，0.5，-1；它們都是形如

的函數(shù).一般地，函數(shù) 叫做冪函數(shù)，其中 是自變量， 是常數(shù).【1】在函數(shù)①②⑤⑥.選項(xiàng)④同理.③

④中，是冪函數(shù)的是（

①⑤⑥

）【解】根據(jù)冪函數(shù)的定義，只有①⑤⑥是冪函數(shù).選項(xiàng)②系數(shù)不為1；選項(xiàng)③系數(shù)不為1且多了常數(shù)項(xiàng)本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源千人教師QQ群483122854

本群專注同步資源收集期待你的加入與分享冪函數(shù)的特征的的的【1】

系數(shù)為1【2】

底數(shù)為自變量【3】

指數(shù)為常數(shù)只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的，才是冪函數(shù).形如等的函數(shù)不是冪函數(shù).判斷一個(gè)函數(shù)是不是冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為(為常數(shù))的形式.反過(guò)來(lái)，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，那么它也一定具有這個(gè)形式.在我們解決某些問(wèn)題的時(shí)候這個(gè)結(jié)論有奇效.，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.【1】已知冪函數(shù) 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)【解】由題意設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為把點(diǎn) 代入，得：即 ，所以所以這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為和初中解決一次函數(shù)一樣，利用待定系數(shù)法.因?yàn)閮绾瘮?shù)只有一個(gè)系數(shù)，所以只需要一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求寫出冪函數(shù)的表達(dá)式.時(shí)圖像的性質(zhì).冪函數(shù)的圖像【說(shuō)明】對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像：【總結(jié)】①只有 時(shí)圖像才是直線；②圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限；③圖像一定經(jīng)過(guò)(1,1)這個(gè)定點(diǎn)；④第一象限內(nèi) 由上到下遞減.時(shí)圖像的性質(zhì).冪函數(shù)的圖像【說(shuō)明】對(duì)于冪函數(shù)，我們只研究在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像：【總結(jié)】⑤⑥⑦只有時(shí)，圖像在定義域內(nèi)上升；時(shí)，圖像在第一象限下降；時(shí)，圖像才與坐標(biāo)軸⑧相交，且交點(diǎn)一定為原點(diǎn)；時(shí)，圖像是y=1這條直線.冪函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)非奇非偶函數(shù)增函數(shù)【1】求冪函數(shù)的定義域并討論其奇偶性和單調(diào)性.，為由

為【解】因?yàn)?，又兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)相乘，其結(jié)果必為正偶數(shù)，所以為正奇數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)镽.正奇數(shù)，得，所以為增函數(shù).因?yàn)槭钦钠娲畏礁?，所以在定義域內(nèi)為增函數(shù).冪函數(shù)的性質(zhì)和兩種情況下冪函數(shù)的圖像變化及性質(zhì)表：在(0，+∞)上都有定義，定義域與a的取值有關(guān)圖像過(guò)點(diǎn)(1，1)

在(0，+∞)上是減函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(1，1)在(0，+∞)上是增函數(shù)在第一象限，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖像上凸；當(dāng)a＞1時(shí)，圖像下凹在第一象限，圖像都下凹與a的取值有關(guān)【2】利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列兩個(gè)數(shù)的大小.(-1.5)3

和(-1.4)3【解】設(shè) ，則

在R上為增函數(shù).∵

-1.5＜-1.4，∴

(-1.5)3＜(-1.4)3比較大小用作差法.由增減性，根據(jù)自變量的大小，比較函數(shù)值的大??；或者根據(jù)函數(shù)值的大小，比較自變量的大小.冪函數(shù) 奇偶性的判斷方法奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)