寧夏回族自治區(qū)銀川市興慶區(qū)第三中學2022-2023學年九年級下學期4月月考數學試題（解析版）

銀川市第三中學2022-2023學年第二學期模擬測試九年級數學試卷一．選擇題（共8小題，共24分）1.下列說法錯誤的是（）A.平行四邊形的對角線互相平分 B.矩形的對角線相等C.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 D.對角線互相垂直的四邊形是菱形【答案】D【解析】【分析】根據菱形的判定、矩形和平行四邊形和直角三角形斜邊上的中線性質進行判定即可．【詳解】A、平行四邊形的對角線互相平分，說法正確，不符合題意；B、矩形的對角線相等，說法正確，不符合題意；C、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，說法正確，不符合題意；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形，矩形和菱形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握判定和性質定理是解題的關鍵．2.已知方程的兩個解分別為、，則的值為（）A. B. C.7 D.3【答案】D【解析】【分析】由根與系數的關系得出x1＋x2＝5，x1?x2＝2，將其代入x1＋x2?x1?x2中即可得出結論．【詳解】解：∵方程x2?5x＋2＝0的兩個解分別為x1，x2，∴x1＋x2＝5，x1?x2＝2，∴x1＋x2?x1?x2＝5?2＝3．故選D．【點睛】本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是根據根與系數的關系得出x1＋x2＝5，x1?x2＝2．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據根與系數的關系得出兩根之和與兩根之積是關鍵．3.一只昆蟲在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定昆蟲在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑，則它獲取食物的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據樹狀圖即可求概率.【詳解】解：根據樹形圖，可知螞蟻可選擇的所有可能的路徑有5條，有食物的兩條，所以它獲取食物的概率是．故選C．【點睛】本題考查求概率的方法，解決關鍵是畫樹狀圖.4.如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖．自動扶梯AB的傾斜角為，大廳兩層之間的距離為3米，則自動扶梯AB的長約為（）（，，）A.5米 B.米 C.4米 D.米【答案】A【解析】【分析】結合題意，根據三角函數的性質計算，即可得到答案．【詳解】根據題意，得：，∵米，∴米，故選：A．【點睛】本題考查了三角函數的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角函數的性質，從而完成求解．5.關于x的二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.頂點坐標為（2，1） B.對稱軸為x= C.a+b+c=0 D.x＜3時，y＞0【答案】C【解析】【分析】由函數圖象求得頂點坐標位于第四象限，對稱軸方程，結合圖象得到當時，，結合圖象判定函數的增減性.【詳解】、如圖所示，拋物線的頂點位于第四象限，故本選項錯誤；、如圖所示，對稱軸為：，故本選項錯誤；、如圖所示，當時，，即，故本選項正確；、如圖所示，當時，，故本選項錯誤.故選.【點睛】主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用.6.如圖，將放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點，，均落在格點上，用一個圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓面的半徑是（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意可得能夠完全覆蓋這個三角形的最小圓為外接圓，圓心位于和的垂直平分線的交點處，求出，即可求解．【詳解】解：如圖，點為外接圓的圓心，則為半徑，故能完全覆蓋該三角形的最小圓面的半徑是．故選：C【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓，勾股定理，熟練掌握三角形的外接圓圓心就是三角形三邊垂直平分線的交點是解題的關鍵．7.設函數y=（k≠0，x＞0）的圖象如圖所示，若z=，則z關于x的函數圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據反比例函數解析式以及z=，即可找出z關于x的函數解析式，再根據反比例函數圖象在第一象限可得出k＞0，結合x的取值范圍即可得出結論．【詳解】∵y=（k≠0，x＞0），∴z==（k≠0，x＞0）∵反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象在第一象限，∴k＞0，∴＞0．∴z關于x的函數圖象為第一象限內，且不包括原點的正比例的函數圖象．二、填空題（共8小題，共24分）8.如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，是支點，當用力壓杠桿的端時，杠桿繞點轉動，另一端向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的端必須向上翹起，已知杠桿的動力臂與阻力臂之比為，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端向下壓_____.【答案】．【解析】【分析】首先根據題意構造出相似三角形，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得端點向下壓的長度．【詳解】解：如圖；都與水平線垂直，即；易知：；，杠桿的動力臂與阻力臂之比為，即；當時，；故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點向下壓．故答案為．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用，正確的構造相似三角形是解題的關鍵．9.如圖，在白熾燈下方有一個乒乓球，當乒乓球越接近燈泡時，它在地面上影子的變化情況為____（填“越小”或“越大”，“不變”）【答案】越大【解析】【分析】根據中心投影的特點可知，當乒乓球越接近燈泡時，離光源越近，影子越大，即可求解．【詳解】解：根據中心投影的特點可知，當乒乓球越接近燈泡時，離光源越近，影子越大，故答案為：越大．【點睛】此題考查了中心投影的特點，等長的物體平行于地面放置時，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，熟練掌握中心投影的性質是解題的關鍵．10.計算：______．【答案】-1【解析】【分析】將各特殊角三角函數值代入計算即可得到答案．【詳解】解：===-1故答案為：-1【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數值的混合運算，熟練掌握各特殊銳角三角函數值是解答本題的關鍵．11.兩個相似三角形的面積比為4：9，那么它們對應中線的比為______．【答案】2：3．【解析】【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方進行計算即可；【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積比為4：9，∴它們對應中線的比．故答案為：2：3．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.12.若拋物線與x軸沒有公共點，則m的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】拋物線與x軸沒有公共點，則一元二次方程在實數范圍內沒有解，則只要計算判別式，根據判別式為負即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有公共點，∴關于x一元二次方程在實數范圍內沒有解，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點問題，實質是一元二次方程是否有實數解，考慮判別式的符號即可，關鍵是理解二次函數與一元二次方程的關系．13.將等腰直角三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，使三角板的直角頂點與量角器的中心O重合，且兩條直角邊分別與量角器邊緣所在的弧交于A、B兩點.若厘米，則的長度為________厘米．（結果保留）【答案】##【解析】【分析】直接根據弧長公式進行計算即可．【詳解】，，故答案為：．【點睛】本題考查了弧長公式，即，熟練掌握知識點是解題的關鍵．14.某藥品原價每盒元，為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，經過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒元，則該藥品平均每次降價的百分率是______．【答案】20%【解析】【分析】根據降價前后的價格，列式計算即可.【詳解】解：設該藥品平均每次降價的百分率是x，根據題意得25×（1-x）（1-x）=16，整理得，解得x=0.2或1.8（不合題意，舍去）；即該藥品平均每次降價的百分率是20%，故答案為：20%．【點睛】本題考查一元二次方程的應用.根據題意正確列出方程是解題的關鍵.15.石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】連結OA，先計算OD的長，由勾股定理解得AD的長，再根據垂徑定理可得AB=2AD，據此解題．【詳解】連結OA，拱橋半徑OC為5cm，cm，m，cm，mm，故答案為：8．【點睛】本題考查垂徑定理及其推論、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．16.如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，將△BCD沿BD折疊，得到△BED，BE交AD于點F，AB＝3．AF：FD＝1：2，則AF＝_____．【答案】.【解析】【分析】根據矩形的性質得到AD∥BC，∠A＝90°，求得∠ADB＝∠DBC，得到FB＝FD，設AF＝x（x＞0），則FD＝2x，求得FB＝FD＝2x，根據勾股定理列方程即可得到結論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DBC＝∠DBF，∴∠ADB＝∠DBF，∴FB＝FD，∵AF：FD＝1：2，∴設AF＝x（x＞0），則FD＝2x，∴FB＝FD＝2x，∵AB2+AF2＝FB2，∴32+x2＝（2x）2，∵x＞0，∴x＝，∴AF＝，故答案為．【點睛】此題考查了四邊形綜合題，結合折疊的性質、矩形的性質以及勾股定理解答．注意掌握折疊前后圖形的對應關系是解題的關鍵．三、解答題（共10題，共72分）17.在邊長為的正方形網格中如圖所示．（1）以點為位似中心，作出的位似圖形，使其位似比為，且位于點的異側，并表示出的坐標．（2）作出繞點順時針旋轉后的圖形．【答案】（1）圖見解析，（2）見解析【解析】【分析】（1）點與點重合，延長到使，延長到使，從而得到；（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出、的對應點、即可．【小問1詳解】解：如圖，所作，點的坐標為；【小問2詳解】解：如圖，為所作．【點睛】本題考查了作圖—位似變換：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了旋轉變換，靈活運用所學知識是解題的關鍵．18.如圖，AB為⊙O的一條弦．（1）用尺規(guī)作圖：過點O作OC⊥AB，垂足為點C，交于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若(1)中的CD的長為2，BD的長為，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）按照畫垂直平分線的步驟作圖即可；（2）構造直角三角形，運用垂徑定理求解．【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】解：如圖連接BD，OB在中，CD=2，BD=∵∴∴∴BC=4設OC=x，則OD=OB=x+2在中，由勾股定理可得：即解得：x=3∴x+2=5∴⊙O的半徑為5．【點睛】本題考查了垂直平分線的畫法，垂徑定理等，解題的關鍵是熟練垂直平分線的畫法以及運用垂徑定理求線段長19.2022年冬奧會將在中國北京舉行，小明和小剛都計劃去觀看冬奧項目比賽．他們都喜歡的冬奧項目分別是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花樣滑冰”和D．“跳臺滑雪”．小明和小剛計劃各自在這4個冬奧項目中任意選擇一個觀看，每個項目被選擇的可能性相同．（1）小明選擇項目C．“花樣滑冰”的概率是多少？（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小剛恰好選擇同一項目觀看的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一項目觀看的結果有4種，再由概率公式求解即可．【小問1詳解】解：小明選擇項目“C．花樣滑冰”的概率是；故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一項目觀看的結果有4種，∴小明和小剛恰好選擇同一項目觀看的概率為．【點睛】本題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數與總情況數之比．20.如圖，正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、BC、CD上，且于F．（1）求證：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證明∠BEF=∠CFG，結合∠B=∠C=可證得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入數據可得CG．【詳解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG(2)解:∵△BEF∽△CFG∴∴．【點睛】本題考查了在正方形中進行一線三角形相似的證明，并利用相似進行線段長度的計算，熟知以上模型是解題的關鍵．21.如圖，小明想測山高和索道的長度．他在B處仰望山頂A，測得仰角為，再往山的方向（水平方向）前進至索道口C處，沿索道方向仰望山頂，測得仰角．（參考數據：）（1）求這座山的高度（小明的身高忽略不計）；（2）求索道的長（結果精確到）．【答案】（1）這座山的高度為．（2）索道長為．【解析】【分析】（1）如圖，過作于，由題意可得：，，，設，而，可得，利用，再建立方程求解；（2）由，可得，再計算可得答案．【小問1詳解】解：如圖，過作于，由題意可得：，，，設，而，∴，而，則，∴，解得：，∴這座山的高度為．小問2詳解】∵，∴．∴索道的長為．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，理解仰角的含義是解本題的關鍵．22.某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應定為多少元？（3）超市的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當該商品每月銷售量超過某一數量時，會出現(xiàn)所獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為多少元？【答案】（1）；（2）70元；（3）80元．【解析】【分析】（1）明確題意，找到等量關系求出函數關系式即可；（2）根據題意，按照等量關系“銷售量（售價成本）”列出方程，求解即可得到該商品此時的銷售單價；（3）設每月所獲利潤為，按照等量關系列出二次函數，并根據二次函數的性質求得最值即可．【詳解】解：（1）∵依題意得，∴與的函數關系式為；（2）∵依題意得，即，解得：，，∵∴當該商品每月銷售利潤為，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應定為元；（3）設每月總利潤為，依題意得∵，此圖象開口向下∴當時，有最大值為：（元），∴當銷售單價為元時利潤最大，最大利潤為元，故為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為元．【點睛】本題考查了二次函數在實際生活中的應用，根據題意找到等量關系并掌握二次函數求最值的方法是解題的關鍵．23.如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C、點D為半圓AB的三等分點，點F為線段AB延長線上一點，且OB=BF．（1）求證：直線DF是⊙O的切線；（2）⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）圖中陰影部分的面積為．【解析】【分析】（1）連接OD，BD，推出△OBD是等邊三角形，得到∠OBD=60°，BD=OB，求得∠ODF=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據已知條件OF=4，根據勾股定理得到DF的長，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．【小問1詳解】證明：連接OD，BD，∵AB為⊙O的直徑，點D是半圓AB的三等分點，∴∠BOD=∠AOB=60°，在△OBD中，∵OB=OD，∠BOD=60°，∴△OBD是等邊三角形，∴∠OBD=60°，BD=OB，∵OB=BF，BD=OB，∴BD=BF，∴∠BDF=∠F，∵∠OBD=∠F+∠BDF，∴∠F=∠BOD=30°，∵∠F=30°，∠BOD=60°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∵點D在⊙O上，∴直線DF是⊙O的切線；【小問2詳解】解：∵OB=OD=2，BF=OB，∴OF=4，在Rt△ODF中，由勾股定理得，DF=，∵S△ODF=OD?DF=×2×2=2，S扇形BOD=，∴圖中陰影部分面積=．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．24.如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于點、點．（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）求的面積；（3）直接寫出一次函數值大于反比例函數值的自變量的取值范圍．【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）把A的坐標代入反比例函數解析式求出A的坐標，把A的坐標代入一次函數解析式求出即可；（2）求出直線AB與x軸的交點C的坐標，分別求出△ACO和△BOC的面積，然后相加即可；（3）根據A、B的坐標結合圖象即可得出答案．【詳解】解：把點分別代入反比例函數，一次函數，

得，，

解得，，

所以反比例函數的解析式是，一次函數解析式是；

如圖，設直線與軸的交點為，

當時，，

，

當時，，

，

；

，，

根據圖象可知：當或時，一次函數值大于反比例函數值．【點睛】本題考查了一次函數和反比例函數的交點問題，用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積，一次函數的圖象等知識點，解題關鍵是熟練運用待定系數法求出函數解析式，能夠利用數形結合思想求不等式的解集．25.為了防止蚊蟲污染飯菜，小麗用細竹篾編了一個罩子保護飯菜(如圖①)．將罩子開口朝下放在水平桌面上，其截面為拋物線形．小麗測得罩子的跨度為80厘米，高度為32厘米，小麗以罩子左邊緣為原點、水平線為x軸建立平面直角坐標系(如圖②)．（1）求罩子上最高的點的坐標；（2）求拋物線的函數表達式；（3）小麗的媽媽想購買一批直徑為24厘米，高度為厘米的盤子，要使罩子緊貼水平桌面，罩子內一排能放下3個這樣的盤子嗎？請說明理由．【答案】（1）（2）（3）能放下；理由見解析【解析】【分析】（1）根據拋物線特點以及跨度為80厘米，高度為32厘米即可求出頂點坐標．（2）由（1）設拋物線頂點式解析式為再通過經過原點求出，即可解出拋物線解析式．（3）根據罩子緊貼水平桌面，盤子平放的條件求出罩子比三個盤子的寬度多了多少，再將多出部分的一半代入解析式，若大于盤子的高度則是能放下，若小于盤子高度則是放不下．【小問1詳解】解：小麗測得罩子的跨度為80厘米，高度為32厘米是關于40對稱截面為拋物線形頂點坐標為故答案為：【小問2詳解】解：由（1）頂點坐標為（40，32），設函數頂點式為圖像過（0，0）故答案為：【小問3詳解】解：能放下依題意：將帶入二次函數得所以能放下故答案為：能放下【點睛】本題主要考查的是二次函數的圖像和性質的應用，本題解題的關鍵是否能根據圖早出頂點坐標以及求得二次函數表達式，解題的易錯點是否能正確判斷出頂點的橫坐標．26.正方形ABCD中，點O是對角線DB的中點，點P是DB所在直線上的一個動點，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）當點P與點O重合時（如圖①），猜測AP與EF的數量關系，并證明你的結論；（2）當點P在線段DB上（不與點D、O、B重合）時（如圖②），探究（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）當點P在DB的長延長線上時，請將圖③補充完整，并判斷（1）中的結論是否成立？若成立，直接寫出結論；若不成立，請寫出相應的結論．【答案】（1）AP=EF，證明見解析；（2）成立