波利亞的解題理論課件

數(shù)學解題教學沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方?！猍美]G.波利亞解題既是一種實踐活動，也是一種學習活動。分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑。學會解題有四步驟基本程式：簡單模仿、變式練習、自發(fā)領悟、自覺分析。——羅增儒1數(shù)學解題教學沒有一道題可以解決得十全十波利亞的數(shù)學教育思想概述

波利亞(GeorgePolya)數(shù)學教育思想的核心問題:數(shù)學教育的目的是什么？

1.波利亞主張數(shù)學教學的目的應當是提高學生的一般素養(yǎng):首先和主要的目標應當是教會青年思考.2.教什么樣的思考?數(shù)學是什么?數(shù)學有什么特點?對數(shù)學及其意義的認識的教學觀起著決定性的作用.波利亞《怎樣解題表》簡介2波利亞的數(shù)學教育思想概述波利亞(Geo

3.波利亞強調(diào)應該教有目的的思考,教正規(guī)的演繹推理，也教非正規(guī)的似真的合情推理.（1）我們這里所說的思考不是空想,而是有目的的思考或有意義的思考或有成果的思考;（2）數(shù)學思考不是完全正規(guī)的,它不僅涉及到公理定義和嚴格證明,而且還包含許多別的方面,從觀察到的情況得出的結(jié)論,歸納推理,類比推理.在具體的情況里辨認數(shù)學概念或從具體情況進行抽象.數(shù)學教師應不失時機地使他的學生熟知這些相當重要的非正規(guī)的思想方法.33.波利亞強調(diào)應該教有目的的思考,教正規(guī)的演繹

問題解決波利亞充分肯定解題的一般教育價值,把教會學生解題看做是教會學生思考,培養(yǎng)他們獨立探索的一條有效途徑.4問題解決4如何解題1.積累認識的資源2.掌握轉(zhuǎn)化的方法3.及時調(diào)控的能力4.良好信念系統(tǒng)的支持

5如何解題1.積累認識的資源5綜觀主體解題的全部過程，解題的要素，即解題中起重要作用的成分，大致包括認識的資源、啟發(fā)法、調(diào)控和信念系統(tǒng)四個方面．這些要素組成一個有機整體，為解題研究提供了一個基本的理論框架，而其本身也是理論研究深入發(fā)展的產(chǎn)物．如何解題6綜觀主體解題的全部過程，解題的要素，即解題中起1．積累認識的資源認識的資源，主要是指與解題有關的數(shù)學基礎知識和基本技能．把認識的資源作為解題的要素，這是一個公認的常識．事實上，任何解題都是以一定的數(shù)學知識，包括運算技能、作圖和畫圖技能、算法和程序性知識等，作為必要條件的．71．積累認識的資源7關于知識的組織，波伊亞曾提出以下建議：(1)對于任何主題都有一些“關鍵知識’’(關鍵問題，關鍵定理)，這些“關鍵知識”應存放在你記憶的“最前方”．

(2)應當把已經(jīng)解過的帶有同樣類型未知量的那些問題和已經(jīng)證明過的結(jié)論相同的那些定理“貯存在一起”．

(3)應當把兩個具體知識間切實可行的聯(lián)系找出來．對于彼此相關的問題，它們之間的聯(lián)系可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量，或有共同的已知數(shù)據(jù)，或存在著某種類似特點以及諸如此類的其他方面．8關于知識的組織，波伊亞曾提出以下建議：8波利亞在他的“怎樣解題表”中，為了激發(fā)學生找出已知條件與未知量之間的關系，列了一類問題：你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現(xiàn)嗎？盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目等等.9波利亞在他的“怎樣解題表”中，為了激發(fā)學生找出已知條件與未知用現(xiàn)代認知科學的理論來分析，數(shù)學知識的合理組織，實質(zhì)上就是按照解題的需要，改造和組建適合個體特征的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)．也就是說，實踐波伊亞的建議，關鍵是在平時的學習中，要注意不斷改善數(shù)學認知結(jié)構(gòu)變量，在同化和順應上多下功夫．對于“關鍵知識”，要弄清它的來龍去脈，熟悉它的思維模式，抓住它的縱橫聯(lián)系，在解題實踐中有目的地整理自己的知識系統(tǒng)，不斷地添加積累新例子，編織可以隨時提取的記憶網(wǎng)絡．10用現(xiàn)代認知科學的理論來分析，數(shù)學知識的合理組2.掌握轉(zhuǎn)化的方法解題，實質(zhì)上就是確立題中條件與問題或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化．因此把一個數(shù)學題轉(zhuǎn)化為我們曾經(jīng)解決過的與之相似的數(shù)學題就成為解題的關鍵。如何轉(zhuǎn)化？

112.掌握轉(zhuǎn)化的方法113.及時調(diào)控的能力所謂調(diào)控，是指對所進行的解題活動（包括解題模式的識別，解題策略的選擇，解題途徑的探索，解題方案的構(gòu)思，解題前景的評價等）的自我意識、自我評估和自我調(diào)整.自我意識是以自身為意識對象的意識.只有對解題活動的信息輸入、加工、儲存、輸出有著清醒的自我意識，才能克服思維獲得的盲目性，增強主動性和自覺性.123.及時調(diào)控的能力124.良好信念系統(tǒng)的支持信念是激勵主體堅定不移地按照自己的觀點、原則和世界觀去行動的的個性傾向.具備信念的人，經(jīng)常表現(xiàn)為堅信某種觀點的正確性，并由此支配自己的行動.解題中的信念系統(tǒng)，泛指解題的非智力因素，即解題者學習積極性方面的因素，諸如觀念、情感等方面的個性品質(zhì).解題中的觀念，主要是指解題者的數(shù)學觀，即怎樣看待數(shù)學，怎樣看待解數(shù)學題.解題中的情感主要是指從事解題活動的愿望和決心.134.良好信念系統(tǒng)的支持13小結(jié)解題的要素：（1）積累認識的資源；（2）掌握轉(zhuǎn)化的方法；（3）培養(yǎng)調(diào)控的能力；（4）信念系統(tǒng)的支持14小結(jié)解題的要素：14

解題過程分為以下四個階段:1.弄清問題2.擬訂計劃3.實現(xiàn)計劃4.回顧波利亞的怎樣解題表15解題過程分為以下四個階段:波利亞的怎樣解題表15

1弄清問題

（1）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

（2）畫張圖,并引入適當?shù)姆?

（3）把條件的各部分分開,并把它們寫下來.波利亞的怎樣解題表161弄清問題波利亞的怎樣解題表162.擬訂計劃考慮以前是否見過它?是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道一個可能用得上的定理?考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?能否用不同的方法重新敘述它?回到定義去.如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題.是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?172.擬訂計劃考慮以前是否見過它?是否見過相同的問題而形式實現(xiàn)你的求解計劃,檢驗每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?3.實現(xiàn)計劃18實現(xiàn)你的求解計劃,檢驗每一步驟.3.實現(xiàn)計劃18能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出結(jié)果?能不能一下子看出它來?能不能把這結(jié)果或方法用于其他問題?

4.回顧19能否檢驗這個論證?4.回顧19怎樣解題表的解釋第1你必須了解問題(弄清問題)

(1)未知數(shù)是什么?

(2)已知數(shù)據(jù)是什么?

(3)條件是什么?

(4)滿足條件是否可能?

(5)要確定未知數(shù)，條件是否充分?

(6)或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？

(7)畫張圖，引入適當?shù)姆枺?/p>

(8)把條件的各個部分分開，你能否把它們寫下來?20怎樣解題表的解釋第1你必須了解問題(弄清問題)20第2找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的關系；如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題：你應該最終得出一個求解的計劃——擬定計劃．

(1)你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?(2)你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理?(3)看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉問題．21第2找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的關系；如果找不出直接的聯(lián)系，(4)這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題，你能不能利用它?(你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?)為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素?

(5)你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它?回到定義去．

(6)如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題．你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題?22(4)這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題，你能(7)你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度?它會怎樣變化?(8)你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西?你能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?(9)你是否利用了整個條件?(10)你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?23(7)你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍第3實行你的計劃(實現(xiàn)計劃)

(1)實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。

(2)你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?24第3實行你的計劃(實現(xiàn)計劃)24第4驗算所得到的解(回顧)(1)你能否檢驗這個論證?(2)你能否用別的方法導出這個結(jié)果?你能不能一下子看出它來?(3)你能不能把這個結(jié)果或方法用于其他的問題?25第4驗算所得到的解(回顧)25

例

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，點P為△ABC內(nèi)切圓上的一個動點．求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值．26例在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c解題過程：第1弄清問題條件(已知)：(1)c=10；(2)cosA/cosB=b/a=4/3；(3)點P為△ABC內(nèi)切圓上的動點．問題(未知)：求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值．27解題過程：27第2擬訂計劃回憶原來有沒有見過同類問題(沒有)，但見過相關的問題：(1)已知三角形的某些邊角關系，判斷三角形的形狀、解三角形等(知三求三，已知的三個邊角元素中至少有一個是邊)，題目基本符合．(2)如果三角形可以確定，那么此題就是求這個三角形的某個特征曲線上的動點到三個頂點的距離的平方和的最值問題．28第2擬訂計劃28第4回顧（1）在方法上，本題是使用“解析法”解決三角問題的一個成功案例.（2）在數(shù)學思想上，本題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的一個成功應用.（3）在基礎知識的使用上，本題主要用到了“余弦定理”、“勾股定理”、“參數(shù)方程”和“三角函數(shù)的性質(zhì)”等.29第4回顧29波利亞解題過程的四個階段:1.弄清問題——認識、并對問題進行表征的過程，是成功解決問題的一個必要前提2.擬訂計劃——是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，是關鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。3.實現(xiàn)計劃——是思路打通之后具體實施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”4.回顧——是最容易被忽視的階段，波利亞對其作。為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個有遠見的做法.30波利亞解題過程的四個階段:30值得注意的四個方面(1)只要學生按照這個過程去尋找解法，久而久之，不僅可以提高解題能力，而且還可以養(yǎng)成規(guī)范的思維習慣．并不是所有的題目都要像表中那樣“面面俱到”．(2)解題教學中，在教給學生學習方法和解題方法的同時，應重視拓寬學生的認知面，經(jīng)歷探索，溫故知新，體會數(shù)學的應用價值，形成創(chuàng)新技能．(3)解題教學時，要關注數(shù)學的文化價值，促進學生科學觀的形成．(4)正確理解解題的內(nèi)涵，謹防將解題異化為“題海戰(zhàn)術(shù)”．

31值得注意的四個方面31數(shù)學問題解決的框架問題識別與定義問題表征策略選擇與應用資源分配監(jiān)控與評估32數(shù)學問題解決的框架問題識別問題表征策略選擇資源分配監(jiān)控與32數(shù)學問題解決的過程

數(shù)學問題解決的過程必須經(jīng)過下列四個步驟,即理解問題,明確任務;擬定求解計劃;實現(xiàn)求解計劃;檢驗和回顧.問題情境轉(zhuǎn)換尋求解決途徑求得答案檢驗與評價33數(shù)學問題解決的過程數(shù)學問題解決的過程必須經(jīng)過下列數(shù)學問題解決的策略1.分析給出的數(shù)據(jù)信息和條件;2.表征信息----從外部和大腦內(nèi)部;3.建立假設和計劃過程;4.應用公式算法定理,監(jiān)控這類應用;5.決定和檢驗假設,反思.34數(shù)學問題解決的策略1.分析給出的數(shù)據(jù)信息和條件;34變更題目的常用方法——題目