層次分析法AHP課件

數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法1層次分析法(AHP)一、概述二、基本思路三、步驟四、應(yīng)用舉例五、幾個(gè)問題六、建模中的應(yīng)用層次分析法(AHP)一、概述2一、層次分析法概述層次分析法美國運(yùn)籌學(xué)家Saaty于二十世紀(jì)70年代提出一種實(shí)用的多方案或多目標(biāo)的決策方法它合理地將定性與定量的決策結(jié)合起來按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數(shù)量化

是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。背景：決策問題----在多種方案中依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。

（購物、旅游、排隊(duì)、擇業(yè)……）人物：

T.L.Saaty----美國著名運(yùn)籌學(xué)專家，皮斯堡大學(xué)教授歷史：曾研究應(yīng)急計(jì)劃、電力分配、運(yùn)輸業(yè)研究，1979正式提出層次分析法。美國高等教育事業(yè)1985-2000展望，1985年世界石油價(jià)格預(yù)測等。工具：矩陣?yán)碚?，Matlab作用：層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評價(jià)的權(quán)重?cái)?shù)。

-------能源系統(tǒng)分析、城市規(guī)劃、經(jīng)濟(jì)管理、科研評價(jià)、決策一、層次分析法概述層次分析法3二、基本思路分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸因素的相對重要性權(quán)向量綜合決策先分解后綜合的系統(tǒng)思想：首先將所要分析的問題層次化：根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解成不同的組成因素，按照因素間的相互關(guān)系及隸屬關(guān)系，按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層分析結(jié)構(gòu)模型，最終歸結(jié)為最低層（方案、措施、指標(biāo)等）相對于最高層（總目標(biāo)）相對重要程度的權(quán)值或相對優(yōu)劣次序的問題。二、基本思路分解建立確定計(jì)算判斷實(shí)際問題層次結(jié)構(gòu)多個(gè)因素諸4決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案mr子準(zhǔn)則m2…………………方案層準(zhǔn)則層目標(biāo)層遞階層次結(jié)構(gòu)決策目標(biāo)準(zhǔn)則1方案1準(zhǔn)則m1準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則1方案2子準(zhǔn)則2方案5判別矩陣ZC1C2C3…CnC1a11a12a13…a1nC21/a12a22a23…a2nC31/a131/a23a33…a3n………………Cn1/a1n1/a2n1/a3n…ann判別矩陣ZC1C2C3…CnC1a11a12a13…a1nC6三、基本步驟1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)(如圖)

（分析系統(tǒng)中各個(gè)因素的關(guān)系）2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣（正互反矩陣）(如圖)

（對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較）3、層次單排序及一致性檢驗(yàn)

（根據(jù)判斷矩陣計(jì)算被比較元素對于該準(zhǔn)則的相對權(quán)重，并做一致性檢驗(yàn))4、層次總排序及一致性檢驗(yàn)

(計(jì)算各層元素對系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并進(jìn)行排序、檢驗(yàn))以例說明三、基本步驟1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)(如圖)以例說明7目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2P1P3準(zhǔn)則層方案層C3C1C2C8“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果?！斑x擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層9層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對10

O

C1

C2

C3

C4

C5

C1

1

1/2

4

3

3

C2

2

1

7

5

5

C3

1/4

1/7

1

1/21/3

C4

1/3

1/5

2

1

1

C5

1/3

1/5

3

1

1OC1C2C3C4C5C111/211成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致12成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如A的秩為132468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個(gè)用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量2414一致性檢驗(yàn)對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n

階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下一致性檢驗(yàn)對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非15“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對目標(biāo)16組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費(fèi)用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第17第3層對第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗(yàn)

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第3層對第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.129318組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第1層的權(quán)向量第3層對第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對第1層的組合權(quán)向量第s層對第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣組合第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對第19層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題20四.

層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價(jià)、分析、預(yù)測等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。四.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政21國家綜合實(shí)力國民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位例1

國家實(shí)力分析例2

工作選擇國家綜合實(shí)力國民軍事科技社會(huì)對外美、俄、中、日、德等大國工作22過河的效益

A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的效益經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益環(huán)境效益節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商23過河的代價(jià)

A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià)環(huán)境代價(jià)社會(huì)代價(jià)投入資金C1操作維護(hù)C2沖24待評價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會(huì)效益

C13學(xué)識(shí)水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價(jià)例4科技成果的綜合評價(jià)待評價(jià)的科技成果直接間接社會(huì)學(xué)識(shí)學(xué)術(shù)技術(shù)技術(shù)效益C1水平C225五.層次分析法的若干問題正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為