第18講：頻率分布直方圖估計數(shù)字特征講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第18講：用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握頻率分布直方圖估計數(shù)字特征2.會用頻率分布直方圖解決一些簡單問題【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識梳理】1.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算①最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．=4\*GB3④方差：各組區(qū)間中值與其平均數(shù)的差的平方乘以各組頻率的和。【引導(dǎo)清單】考向二：利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征例1：對參加某次數(shù)學(xué)競賽的1000名選手的初賽成績(滿分：100分)作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)直方圖完成以下表格；成績[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)(2)求參賽選手初賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；成績[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)頻數(shù)50150350350100【解】(1)填表如下：區(qū)間中值5565758595頻率0.050.150.350.350.1(2)由頻率分布直方圖可知初賽成績的眾數(shù)為80分；記各組的頻率分別為，易知由圖可知，因為，所以中位數(shù)在區(qū)間[70,80)之間，設(shè)為x,由0.05+0.15+0.035（x－70）=0.5,解得x=78.57,所以參賽選手初賽成績的中位數(shù)為78.57分；各區(qū)間中值與相應(yīng)頻率如右表：所以平均數(shù)為55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78（分），方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.【訓(xùn)練清單】【變式訓(xùn)練】為了解一種植物果實的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)估計這種植物果實重量的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．中點值3035404550頻率0.10.20.3750.250.075【解】(1)組距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1得a＝0.05.(2)由頻率分布直方圖可知最高矩形區(qū)間中點為40，所以這種職務(wù)果實重量的眾數(shù)約為40克；設(shè)中位數(shù)為x,則0.1+0.2+0.375（x-37.5）=0.5,解得x=38,所以果實重量的中位數(shù)約為38克；各組中點值和相應(yīng)的頻率依次為eq\o(x,\s\up6(－))＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，所以這種植物果實重量的平均數(shù)約為40克；s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.所以這種植物果實的方差約為28.75.【鞏固清單】1．某課外小組的同學(xué)們在社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示：用電量/度120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．180，170B．160，180C．160，170D．180，160【解析】選D.用電量為180度的家庭最多，有7戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)是180；將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置的兩個數(shù)是160，160，故這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是160.故選D.2．某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8組，分別為[80，82)，[82，84)，[84，86)，[86，88)，[88，90)，[90，92)，[92，94)，[94，96]，則樣本的中位數(shù)在第組．【解析】由題圖可得，前四組的頻率為(0.0375＋0.0625＋0.075＋0.1)×2＝0.55，則其頻數(shù)為40×0.55＝22，且第四組的頻數(shù)為40×0.1×2＝8，故中位數(shù)落在第4組．3.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.4．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)．【解】(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方圖中x的值為0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是eq\f(220＋240,2)＝230.因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125)×20＝0.7>0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，則(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位數(shù)為224.5．隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)APP軟件層出不窮．現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取50個商家，對它們的“平均送達(dá)時間”進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下．(1)試估計使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，回答下列問題：①能否認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%?②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？說明理由．【解】(1)依題意可得，使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)為55分鐘．使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)為：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40(分鐘)．(2)①使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時間”不超過40分鐘的商家的比例估計值為0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以認(rèn)為使用B款訂餐軟件“平均送達(dá)時間”不超過40分鐘的商家達(dá)到75%.②使用B款訂餐軟件的50個商家的“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以選B款訂餐軟件．6．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？【解】(1)頻率分布直方圖如圖．(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－