第15講：系統(tǒng)抽樣與分層抽樣講義 高三藝考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第15講：系統(tǒng)抽樣與分層抽樣【課型】復(fù)習(xí)課【教學(xué)目標(biāo)】1.理解系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的概念2.會用這兩種抽樣方法解決簡單問題【預(yù)習(xí)清單】【基礎(chǔ)知識梳理】1．系統(tǒng)抽樣(1)步驟：①先將總體的N個個體編號；②根據(jù)樣本容量n，當(dāng)eq\f(N,n)是整數(shù)時，取分段間隔k＝eq\f(N,n)；③在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本．（2）樣本號碼間隔相等也叫等距抽樣：(3)適用范圍：適用于總體中的個體數(shù)較多時．2．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)適用范圍：適用于總體由差異比較明顯的幾個部分組成時．【引導(dǎo)清單】考向一：系統(tǒng)抽樣例1：（1）某校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號之和為48，則抽到的最小編號為（2）某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為【解析】（1）系統(tǒng)抽樣的間隔為eq\f(24,4)＝6，設(shè)抽到的最小編號為x，則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＝48，解得x＝3.（2）由題意得，抽樣間隔為eq\f(840,42)＝20.所以在區(qū)間[481，720]抽取eq\f(240,20)＝12(人)．考向二：分層抽樣最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600例2：（1）某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的一共有20000人，其中各種態(tài)度對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選出100人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，為此要進(jìn)行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為，，，。(2)一支田徑隊有男運動員56人，女運動員m人，用分層抽樣抽出一個容量為n的樣本，在這個樣本中隨機取一個當(dāng)隊長的概率為eq\f(1,28)，且樣本中的男隊員比女隊員多4人，則m＝________．【解析】(1)因為抽樣比為eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每類人中應(yīng)抽選出的人數(shù)分別為4800×eq\f(1,200)＝24，7200×eq\f(1,200)＝36，6400×eq\f(1,200)＝32，1600×eq\f(1,200)＝8..(2)由題意知n＝28，設(shè)其中有男隊員x人，女隊員有y人．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝28，,x－y＝4，,\f(56,m)＝\f(x,y).))解得x＝16，y＝12，m＝42.【訓(xùn)練清單】【變式訓(xùn)練1】（1）：某校高三(2)班現(xiàn)有64名學(xué)生，隨機編號為0，1，2，…，63，依編號順序平均分成8組，組號依次為1，2，3，…，8.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為8的樣本，若在第1組中隨機抽取的號碼為5，則在第6組中抽取的號碼為________．（2）高三(1)班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號是()A．8B.13C．15D．18【解析】（1）由題知分組間隔為eq\f(64,8)＝8，又第1組中抽取的號碼為5，所以第6組中抽取的號碼為5×8＋5＝45.（2）分段間隔為eq\f(52,4)＝13，故還有一個學(xué)生的編號為5＋13＝18【變式訓(xùn)練2】（（1）已知某區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)如圖所示．為了解該區(qū)學(xué)生參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法來進(jìn)行調(diào)查．若高中需抽取20名學(xué)生，則小學(xué)與初中共需抽取的學(xué)生人數(shù)為________．（2）某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量(件)130由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是________．【解析】（1）設(shè)小學(xué)與初中共需抽取的學(xué)生人數(shù)為x，依題意可得eq\f(1200,2700＋2400＋1200)＝eq\f(20,x＋20)，解得x＝85.（2）設(shè)樣本容量為x，則eq\f(x,3000)×1300＝130，所以x＝300.所以A產(chǎn)品和C產(chǎn)品在樣本中共有300－130＝170(件)．設(shè)C產(chǎn)品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C產(chǎn)品的數(shù)量為eq\f(3000,300)×80＝800.【鞏固清單】1．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機編號，則抽取的42人中，編號落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為【解析】由題意得，抽樣間隔為eq\f(840,42)＝20.所以在區(qū)間[481，720]抽取eq\f(240,20)＝12(人)．2．某班共有學(xué)生60名，座位號分別為01，02，…，60.現(xiàn)根據(jù)座位號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知03號、18號、48號同學(xué)在樣本中，則樣本中另外一位同學(xué)的座位號為________號．【解析】由題意知抽樣間隔f＝eq\f(60,4)＝15，因為03號、18號、48號同學(xué)在樣本中，所以樣本中另外一位同學(xué)的座位號為18＋15＝33號．3.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為，【解析】樣本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為150×30%×40%＝18.4.某中學(xué)有高中生960人，初中生480人，為了了解學(xué)生的身體狀況，采用分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取容量為n的樣本，其中高中生有24人，那么n等于【解析】根據(jù)分層抽樣方法知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36.5.甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測．若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為________件．【解析】由題設(shè)，抽樣比為eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60).設(shè)甲設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品為x件，則eq\f(x,60)＝50，所以x＝3000.則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為4800－3000＝1800.6．某學(xué)校采用系統(tǒng)抽樣的方法，從該校高一年級全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做視力檢查．現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號．已知從33～48這16個數(shù)中抽到的數(shù)是39，則在第1小組1～16中隨機抽到的數(shù)是【解析】把800名學(xué)生分成50組，每組16人，各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個公差為16的等差數(shù)列，39在第3組．所以第1組抽到的數(shù)為39－32＝7.故選B.7．某機構(gòu)對青年觀眾是否喜歡跨年晚會進(jìn)行了調(diào)查，人數(shù)如下表所示，不喜歡喜歡男性青年觀眾3010女性青年觀眾3050現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取n人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”中抽取了6人，則n＝【解析】由題意得eq\f(30,30＋10＋30＋50)＝eq\f(30,120)＝eq\f(6,n)，解得n＝24.故選D.8．某班共有56人，學(xué)號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學(xué)號為2，30，44的同學(xué)在樣本中，則樣本中還有一位同學(xué)的學(xué)號為________．【解析】由題意得，需要將56人按學(xué)號從小到大分成4組，每組抽取第2個學(xué)號對應(yīng)的同學(xué)，所以還有一位同學(xué)的學(xué)號為1×14＋2＝16.9．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為k∶5∶3，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為120的樣本，已知A種型號產(chǎn)品共抽取了24件，則C種型號產(chǎn)品抽取的件數(shù)為________．【解析】依題意得eq\f(24,120)＝eq\f(k,k＋5＋3)，解得k＝2，所以C種型號產(chǎn)品抽取的件數(shù)為eq\f(3,2＋5＋3)×120＝36.10．某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表，初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知從全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽