二次函數(shù)地最大面積問題

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初四數(shù)學二次函數(shù)中的最大面積專題練習題

1.如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB,0為坐標原點，0A=1,tanNBA0=3,將

此三角形繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△D0C.拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點A、B、0.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標為t.

①設拋物線對稱軸I與x軸交于一點E,連接PE,交CD于F,求出當4CEF與aCOD相

似時點P的坐標.

②是否存在一點P,使4PCD的面積最大？若存在，求出4PCD面積的最大值；若不存

在，請說明理由.

31

2.如圖，已知拋物線y=ax2—jx+c與x軸相交于A,B兩點，并與直線y二務工—2

交于B,C兩點，其中點C是直線y=4x—2與y軸的交點，連接AC.

（3）AABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG?（頂點D、E、F、G在AABC各邊上）

若能，求出最大面積；若不能，請說明理由.

3.某基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長），另外三邊用總長

54米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為2米的出入口，如圖所示，如何

設計才能使園地的而積最大？下面是兩位學生爭議的情境：請根據(jù)上面的信息，解決問

題：

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(1)設人8=乂米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長;

(2)請你判斷誰的說法正確，為什么？

4.如圖，已知拋物線卜=公2+bx+c過點A(6,0),B(-2,0),C(0,-3).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點H是該拋物線第四象限的任意一點，求四邊形0CHA的最大面積；

(3)若點Q在y軸上，點G為該拋物線的頂點，且NQGA=45。，求點Q的坐標.

5.如圖，拋物線y=-x?-2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y

(2)設點H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，且AHAB的面積是6,求點H的坐標；

(3)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線

AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ〃AB交拋物線于點Q,過點Q作

于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求aAEM的面積.

6.如圖，AABC中，NC=90°,BC=7cm,AC=5,點P從B點出發(fā)，沿BC方向以2m/s

的速度移動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向以1m/s的速度移動.

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(1)若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，APCQ的面積等于4?

(2)若P、Q同時分別從B、C出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5?

(3)z^PCQ的面積何時最大，最大面積是多少？

7.如圖，有長為24米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可

借用一段墻體(墻體的最大可用長度a=10米)：如果AB的長為x,面積為尸

(1)求面積.V與x的函數(shù)關系(寫出x的取值范圍)；

(2)x取何值時，面積最大？面積最大是多少？

8.若用40m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形場地，墻長am,垂直于墻的邊長為xm,

圍成的矩形場地的面積為ym2.

(1)求y與x的函數(shù)關系式.

(2)矩形場地的面積能否達到210m2?請說明理由.

(3)當a=15m或30m時，請分別求出這個矩形場地面積的最大值.

9.如圖，用長為12m的籬笆，一邊利用足夠長的墻圍出一塊苗圃.如圖，圍出的苗圃

是五邊形ABCDE,AE±AB,BC±AB,NC=ND=NE.設CD=DE=xm,五邊形ABCDE的面積

為Sm：問當x取什么值時，S最大?并求出S的最大值.

10.已知，如圖，拋物線y=ax?+3ax+c(a>0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,

點A在點B左側(cè).點B的坐標為(1,0),0C=30B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值.

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x，bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A

點在原點的左側(cè)，B點的坐標為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點，點P是直線BC

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下方的拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)當點P運動到什么位置時，^BPC的面積最大？求出此時P點的坐標和aBPC的最

大面積；

(3)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP,C,那么是否存在點P,使

四邊形POP,C為菱形？若存在，直接寫出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

12.課本中有一道作業(yè)題：

有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使

正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB,AC±.問加工成的正方形零件的邊長

是多少mm?

小穎解得此題的答案為48M,小穎善于反思，她又提出了如下的問題.

(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組

成，如圖1,此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計算.

(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2,這樣，此矩形零件的兩條邊

長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.

13.某家禽養(yǎng)殖場，用總長為110m的圍欄靠墻(墻長為22m)圍成如圖所示的三塊矩

形區(qū)域，矩形AEHG與矩形CDEF面積都等于矩形BFHG面積的一半，設AD長為xm,矩

形區(qū)域ABCD的面積為ym2.

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(2)當x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

14.有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.現(xiàn)要把它加工成矩形零件,

使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB,AC±.

(1)如果此矩形可分割成兩個并排放置的正方形，如圖1,此時，這個矩形零件的兩

條鄰邊長分別為多少mm?請你計算.

(2)如果題中所要加工的零件只是矩形，如圖2,這樣，此矩形零件的兩條鄰邊長就

不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條鄰邊長.

15.如圖，已知二次函數(shù)yuax'+Nx+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、

2

(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+&+c的表達式；

2

(2)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(3)若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接

寫出此時點N的坐標；

(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合)，過點N作NM〃AC,交AB于點M,

當AAMN面積最大時，求此時點N的坐標.

16.如圖，已知拋物線yu-1x'+bx+c與坐標軸分別交于點點A(0,8)、B(8,0)和

2

點E,動點C從原點0開始沿0A方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿

B0方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當動點D到達原點0時，點C、

D停止運動.

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(1)求該拋物線的解析式及點E的坐標；

(2)若D點運動的時間為t,ZkCED的面積為S,求S關于t的函數(shù)關系式，并求出△

CED的面積的最大值.

17.如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=gx+2與x軸交于點A,與y軸交于點

3

C.拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸是x=-一，且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點

2

B.

(1)①直接寫出點B的坐標；

②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA,PC.求aPAC的面積的最大值，

并求出此時點P的坐標.

18.(2015?鄂州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=L+2與x軸交于點A,與y

2

軸交于點C.拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸是x=-3且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交

2

點為點B.

(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA,PC.求aPAC的面積的最大值，

并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點

的三角形與aABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

19.(2014秋?昆明校級期末)如圖，四邊形DEFG是aABC的內(nèi)接矩形，如果aABC的高

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線AH長8cm,底邊BC長10cm,設DG=xcm,DE=ycm,

(1)求y關于x的函數(shù)關系式；

(2)當x為何值時，四邊形DEFG的面積最大？最大面積是多少？

20.(2015秋?保定期末)如圖，在RtZ\ABC中，Z0=90°,AC=6cm,BC=8cm.點P從A

出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點B運動，點Q從C出發(fā)，沿CA方向，以1cm/s

的速度向點A運動；若兩點同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，兩點同時停止運動，設

運動時間為t(s),△APQ的面積為S(cm2)

(1)t=2時，則點P到AC的距離是cm,S=cm2；

(2)t為何值時,PQ±AB；

(3)t為何值時，AAP。是以AQ為底邊的等腰三角形；

(4)求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值.

21.(2012?眉山)已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在

x軸上，aOAB是等腰直角三角形.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

(2)若直線CD〃AB交拋物線于D點，求D點的坐標；

(3)若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么4PAB是否有最大面積？若有，

求出此時P點的坐標和4PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.

22.(2015秋?隨州期末)如圖，已知拋物線y=ax4bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(0,3)及

C(3,0)點，動點D從原點0開始沿0B方向以每秒1個單位長度移動，動點E從點C

開始沿C0方向以每秒1個長度單位移動，動點D、E同時出發(fā)，當動點E到達原點0時,

點D、E停止運動.

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(1)求拋物線的解析式及頂點P的坐標；

(2)若F(-1,0),求4DEF的面積S與E點運動時間t的函數(shù)解析式；當t為何值

時，4DEF的面積最大？最大面積是多少？

(3)當4DEF的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在一點N,使aEBN是直角三角

形？若存在，求出N點的坐標，若不存在，請說明理由.

23.(2014秋?香洲區(qū)期末)已知二次函數(shù)中x和y的部分對應值如下表：

x-10123

y0-3-4-30,0,

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，點P是直線BC下方拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形

ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積；

(3)在拋物線上，是否存在一點Q,使△QBC中QC=QB?若存在請直接寫出Q點的坐標.

24.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-lx+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋

2

物線y=ax?+bx+c的對稱軸是x=-2且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B.

2

(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA,PC.求aPAC的面積的最大值,

并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點

的三角形與aABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

25.(2015秋?恭江區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+3分別交x軸、y軸

于A,C兩點，拋物線y=ax?+bx+c(a/0),經(jīng)過A,C兩點，與x軸交于點B(1,0).

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(2)點D為直線AC上一點，點E為拋物線上一點，且D,E兩點的橫坐標都為2,點F

為x軸上的點，若四邊形ADEF是平行四邊形，請直接寫出點F的坐標；

(3)若點P是線段AC上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點Q,連接AQ,

CQ,求AACQ的面積的最大值.

26.如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去三個彼此全等

的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面積的最大

值是()

C.—也cm2D.紅/媼

22

27.如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm,AD=4cm,點P,Q分別從A,B同時出發(fā)，

P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm

的速度勻速運動.設運動時間為x(秒)，Z\PBQ的面積為y(cm2).

(1)求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍;

(2)求△PBQ的面積的最大值.

28.如圖，拋物線丁=/一2x+左與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0,-3).

(1)求k的值及點A、B的坐標;

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(2)設拋物線歹=/—2x+左的頂點為M,求四邊形ABMC的面積；

(3)在x軸下方的拋物線上是否存在一點D,使四邊形ABDC的面積最大?若存在，請

求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

(4)在拋物線y=/-2x+左上求點Q,使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形.

29.如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點M是線段BC上的點(不與B,C重合)，過M作MN〃y軸交拋物線于N,若點M

的橫坐標為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下，連接NB、NC,是否存在m,使aBNC的面積最大？若存在，求

m的值；若不存在，說明理由.

1°

y=—x+2

30.如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線2與x軸交于點A,與y軸交于

3

X=—

點C.拋物線y=ax，bx+c的對稱軸是2且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為

點B.

(1)①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式.

(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA,PC.求aPAC的面積的最大值,

并求出此時點P的坐標；

(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點

的三角形與aABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

31.如圖，在平面直角坐標系中，以點B(0,8)為端點的射線86〃》軸，點A是射線

BG上的一個動點(點A與點B不重合).在射線AG上取AD=0B,作線段AD的垂直平分

線，垂足為E,且與X軸交于點F,過點A作AC-L0A,交射線EF于點C.連接0C、CD,

設點A的橫坐標為"

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(1)用含/的式子表示點E的坐標為;

(2)當點C與點F不重合時，設AOCF的面積為S,求S與，之間的函數(shù)關系式.

(3)當f為何值時,Z0CD=180°?

48

32.如圖，拋物線y=—x?—-x-12與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點.

93

(1)求AAOB的外接圓的面積；

(2)若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出

發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動。

問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與aOAB相似？

(3)若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N.

①是否存在這樣的點M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBAN

面積的最大值.

33.如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB,0為坐標原點，0A=1,tanZBAO=3,

將此三角形繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC。拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點A、B、C,

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標為t。

①設拋物線對稱軸I與x軸交于一點E,連接PE,交CD于F。求出當4CEF與△%口相

似時點P的坐標；

②是否存在一點P,使4PCD的面積最大？若存在，求出4PCD面積的最大值；若不存

在，請說明理由。

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34.如圖，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4cm.點P從點A出發(fā)，以1cm

/s的速度沿AB運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC運動.當點Q

到達點C時，P、Q兩點同時停止運動.

(1)試寫出△PBQ的面積S(cm2)與動點運動時間t(s)之間的函數(shù)表達式;

(2)運動時間t為何值時，△PBQ的面積最大？最大值是多少？.

35.己知：二次函數(shù)y=公2+bx+6與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，點

A、點B的橫坐標分別為一元二次方程/—4x-12=0的兩個根.

(1)求出該二次函數(shù)表達式及頂點坐標；

(2)如圖1,在拋物線對稱軸上是否存在點P,使4APC的周長最小，若存在，請求出

點P的坐標：若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,連接AC、BC,點Q是線段OB上一個動點(點Q不與點0、B重合).過點

Q作QD〃AC交BC于點D,設Q點坐標(m,0),當ACDCJ面積S最大時，求m的值.

36.如圖1,已知：拋物線y=Lx4bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過

2

B,C兩點的直線是y=1x-2,連結(jié)AC.

2

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(2)若AABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFC(頂點D、E、F、G在aABC各邊上)？

若能，求出在AB邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由.

(3)點P(t,0)是x軸上一動點，P、Q兩點關于直線BC成軸對稱，PQ交BC于點M,

作QHJLx軸于點H.連結(jié)0Q,是否存在t的值，使△0QH與4APM相似？若存在，求出

t的值；若不存在，說明理由.

37.基本模型

如圖1,點A,F,B在同一直線上，若NA=NB=NEFC=90°,易得△AFEs^BCF.

(1)模型拓展：

如圖2,點A,F,B在同一直線上，若NA=NB=NEFC,求證：△AFEs^BCF；

(2)拓展應用：如圖3,AB是半圓。。的直徑，弦長AC=BC=48,E,F分別是AC,

AB上的一點，若NCFE=45°.若設AE=y,BF=x,求出y與x的函數(shù)關系式及y的最大

值；

(3)拓展提升：如圖4,在平面直角坐標系柳中，拋物線y=-1(x+4)(x-6)與x

3

軸交于點A,C,與y軸交于點B,拋物線的對稱軸交線段BC于點E,探求線段AB上是

否存在點F,使得NEF0=NBA0?若存在，求出BF的長；若不存在，請說明理由.

2

38.(12分)(2015?黃岡校級模擬)如圖，在直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-5x+m

(m為常數(shù))的圖象與x軸交于A(-3,0),與y軸交于點C.以直線x=-1為對稱軸

的拋物線y=ax+bx+c(a,b,c為常數(shù)，且a>0)經(jīng)過A,C兩點，與x軸正半軸交于

點B.

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(1)求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達式.

(2)在對稱軸上是否存在一點P,使得4PBC的周長最??？若存在，請求出點P的坐標.

(3)點D是線段0C上的一個動點(不與點。、點C重合)，過點D作DE||PC交x軸于

點E,連接PD、PE.設CD的長為m,ZXPDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關系式.并

說明S是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.

39.如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點A、C、D均在坐標軸

上，且AB=5,sinB=W.

5

(1)求過A、C、D三點的拋物線的解析式；

(2)記直線AB的解析式為y,=mx+n,(1)中拋物線的解析式為y產(chǎn)ax?+bx+c,求當y,V

y2時，自變量x的取值范圍；

(3)設直線AB與(1)中拋物線的另一個交點為E,P點為拋物線上A、E兩點之間的

一個動點，當P點在何處時，4PAE的面積最大？并求出面積的最大值.

40.如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=ax?+bx-4與x軸交于點A(-2,0)

和點B,與y軸交于點C,直線x=1是該拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若兩動點M、H分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而

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行，當點M到達原點時，點H立刻掉頭，并以每秒至個單位長度的速度向點B方向移動,

2

當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經(jīng)過點M的直線I_Lx軸，交AC或BC

于點P,設點M的運動時間為t秒(t>0).求點M的運動時間t與4APH的面積S的函

數(shù)關系式，并求出S的最大值.

41.如圖拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于點A、B,與y軸交于點C(0,-3),頂點D坐

標為(-1,-4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如題圖(1),求點A、B的坐標，并直接寫出不等式ax,bx+c〉。的解集；

(3)如題圖(2),連接BD、AD,點P為線段AB上一動點，過點P作直線PQ〃BD交線

段AD于點Q,求△PQD面積的最大值.

42.已知拋物線y=1/+bx+c與直線BC相交于B、C兩點，且B(6,0)、C(0,3).

(2)長度為V5的線段DE在線段CB上移動，點G與點F在上述拋物線上，且線段EF

與DG始終平行于v軸.

①連結(jié)FG,求四邊形DGFE的面積的最大值，并求出此時點D的坐標；

②在線段DE移動的過程中，是否存在DE=GF?若存在，請直接寫出此時點D的坐標；

若不存在，試說明理由.

13

43.如圖，拋物線丁=+QX+C與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C,且A

點坐標(-3,0),連接BC、AC.

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實用標準

(2)求AB和0C的長；

(3)點E從點B出發(fā)，沿x軸向點A運動(點E與點A、B不重合)，過點E作直線I

平行AC,交BC于點D,設BE的長為m,4BDE的面積為s,求s關于m的函數(shù)關系式,

并寫出自變量m的取值范圍；

(4)在(3)的條件下，連接CE,求4CDE面積的最大值.

44.如圖，拋物線y=1x2-x-4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點(端

2

點除外)，過P作PD〃AC,交BC于點D,連接CP.

(3)求4PCD面積的最大值，并判斷當4PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的

平行四邊形是否為菱形.

45.如圖，拋物線y=-x?+bx+c的頂點為D,與x軸交于A(-1,0)、B(3,0),與y軸

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點P為線段BC上的一點(不與B、C重合)，PM〃y軸，且PM交拋物線于點M,

交x軸于點N,當四邊形0BMC的面積最大時，求4BPN的周長；

(3)在(2)的條件下，當四邊形0BMC的面積最大時，在拋物線的對稱軸上是否存在

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實用標準

點Q,使得ACNQ為直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標.

46.(12分)如圖所示，拋物線+bx+4與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C

點，且A(-2,0)、B(4,0),其頂點為D,連接BD,點P是線段BD上的一個動點(不

與B、D重合)，過點P作y軸的垂線，垂足為E,連接BE.

(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；

(2)設P點的坐標為(x,y),4PBE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關系式，寫出

自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

(3)在(2)的條件下，當S取值最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F,連接EF,

△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P',請直接寫出P'點的坐標，并判斷點P'

是否在該拋物線上.

47.(10分)如圖①，一次函數(shù)^=Ax+b的圖象與二次函數(shù)y=/的圖象相交于A,B

(1)當m=-1,n=4時，k=,b=；

當m=-2,n=3時，k=,b=；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，用含m,n的代數(shù)式分別表示k與b,并證明你的結(jié)論；

(3)利用(2)中的結(jié)論，解答下列問題：如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點C,

D,點A關于y軸的對稱點為點E,連接AO,0E,ED.

①當m=-3,n>3時，求一^^」的值(用含n的代數(shù)式表示)；

5四邊形AOED

②當四邊形A0ED為菱形時，m與n滿足的關系式為；

當四邊形A0ED為正方形時，m=,n=.

48.已知：二次函數(shù)y=ax?+bx+6(a手0)的圖象與x軸交于A.B兩點(點A在點B的

左側(cè))，圖象與y軸交于點C,點A.點B的橫坐標是方程/-4X-12R的兩個根.

(1)求出該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；

(2)如圖，連接AC.BC,點P是線段0B上一個動點(點P不與點0、B重合)，過點P

作PQ〃AC交BC于點Q,當△CPQ的面積最大時，求點P的坐標.

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49.(10分)如圖，拋物線y=a/+bx+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交

于點C(0,3),其對稱軸I為x=—1.

(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；

(2)若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸I上.

①當PA_LNA,且PA=NA時，求此時點P的坐標；

②當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標.

50.(12分)(2015?郴州)如圖，在四邊形ABCD中，DC〃AB,DA±AB,AD=4cm,DC=5cm,

AB=8cm.如果點P由B點出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發(fā)沿AB方

向向點B勻速運動，它們的速度均為1cm/s,當P點到達C點時，兩點同時停止運動，

連接PQ,設運動時間為ts,解答下列問題：

(1)當t為何值時，P,Q兩點同時停止運動？

(2)設aPOB的面積為S,當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值;

(3)當△PQB為等腰三角形時，求t的值.

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參考答案

121

1.(1)拋物線的解析式為y=-x「2x+3；(2)①(-1,4)或(-2,3)；②匕［

24

【解析】

試題分析：(1)先求出A、B、C的坐標，再運用待定系數(shù)法就可以直接求出二次函數(shù)的解析

式；

(2)①由(1)的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當NCEF=90°時，當NCFE=90°

時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出P點的坐標；

②先運用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，設PM與CD的交點為N,根據(jù)CD的解析式表示

出點N的坐標，再根據(jù)△吶就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以

求出結(jié)論.

試題解析:(1)在RtZ\AOB中，0A=1,tanZBAO=—=3,

OA

.-.0B=30A=3.

,.,△DOC是由aAOB繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，

「.△DOC絲△AOB,

.,.0C=0B=3,0D=0A=1,

:.A、B、C的坐標分別為(1,0),(0,3)(-3,0).

a+b+c=0fa=-1

代入解析式為(9a—36+c=0,解得：＜b=—2.

c-3c-3

拋物線的解析式為y=-x?-2x+3；

(2)①?.?拋物線的解析式為y=-xL2x+3,

二對稱軸1=--=-1,

2a

，E點的坐標為(-1,0).

如圖，當NCEF=90°時，ACEF^ACOD.此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P

(-1,4)；

當NCFE=90°時，ACFE^ACOD,過點P作PMJLx軸于點M,則△EFCs/\EMP.

,EM_EFDO

"~MP~~FC~~OC~3'

.-.MP=3EM.

??,P的橫坐標為t,

AP(t,-t-2t+3).

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???p在第二象限，

.?.PM=-t-2t+3,EM=-1-t,

.,.-t2-2t+3=-(t-1)(t+3),

解得：t,=-2,t2=-3(因為P與C重合，所以舍去)，

，t=-2時，y=-(-2)-2X(-2)+3=3.

.-.P(-2,3).

.,.當ACEF與△COD相似時，P點的坐標為：(-1,4)或(-2,3)；

②設直線CD的解析式為y=kx+b,由題意，得

-3k+b=0

'b=l'

左」

解得：3,

b=l

..?直線CD的解析式為：y=,x+1.

3

設PM與CD的交點為N,則點N的坐標為(t,-t+1),

3

.,.NM=-t+1.

3

17

.,.PN=PM-NM=-t-2t+3-(-t+1)=-t--t+2.

33

,SAPCO-SAPCN+SAPOH,

■,■SAPC0=-PN-CM+-PN-OM

22

=-PN(CM+OM)

2

=-PN.OC

2

17

=-X3(-t2--t+2)

23

3.7.121

=--(t+-)2+——2，

2624

...當t=-,7時，S.。的最大值為1上21工

624

考點：二次函數(shù)綜合題.

135

2.(1)y=-x2--x-2.(2)證明見解析；(3)

222

【解析】

試題分析：(1)由直線廠,x-2交x軸、y軸于B、C兩點，則B、C坐標可求.進而代入拋

2

3

物線y=ax'-^x+c,即得a、c的值，從而有拋物線解析式.

2

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(2)求證三角形為直角三角形，我們通常考慮證明一角為90°或勾股定理.本題中未提及

特殊角度，而已知A、B、C坐標，即可知AB、AC、BC,則顯然可用勾股定理證明.

(3)在直角三角形中截出矩形，面積最大，我們易得兩種情形，①一點為C,AB、AC、BC

邊上各有一點，②AB邊上有兩點，AC、BC邊上各有一點.討論時可設矩形一邊長x,利用

三角形相似等性質(zhì)表示另一邊，進而描述面積函數(shù).利用二次函數(shù)最值性質(zhì)可求得最大面積.

試題解析：(1)..?直線y=lx-2交x軸、y軸于B、C兩點，

2

,?.B(4,0),C(0,-2),

3

■「y=ax?—-x+c過BC兩點，

2

0=16〃-6+。

-2=c

.1

a=-

解得\2,

123c

.'.y=—x--x-2.

22

13

,-'y=—x2--x-2與x負半軸交于A點,

22

???A(-1,0),

在RtAJWJC中,

VA0=1,0C=2,

.*.AC=V5,

在RtZ\B0C中,

?/B0=4,0C=2,

??.BC=2后，

TAB=A0+B0=1+4=5,

/.AB2=AC2+BC2,

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「.△ABC為直角三角形.

(3)AABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為理由如下：

2

①一點為C,AB、AC、BC邊上各有一點，如圖2,此時△AGFsaACBs^FEB.

圖2

設GC=x,AG=V5-x,

..AGGF

'~AC~'CB'

y[5-xGF

，GF=2J?-2x,

S=GC-GF=x,(2-\/5-2x)=-2x2+2yf5x=-2[(x-]=-2(x-——?)2+—,

2422

即當x=Y5時，S最大，為2.

22

如圖3,此時△CDEs/\CABs/\GAD,

設GD=x,

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..AD_GD

'~AB~~CB

AD_x

/.CD=CA-AD=y[5-

2

..CD_DE

,~CA~~AB"

如一與X_DE

"75=V,

.5

..DE=5-—x,

2

S-GD-DE=x?(5_—x)=--X2+5X-_—[(x_1)2_1]=--(x-1)2+—.

22222

即x=1時，S最大，為一.

2

綜上所述，△ABC內(nèi)部可截出面積最大的矩形DEFG,面積為*.

2

考點：二次函數(shù)綜合題.

3.(1)56-2x；(2)小娟的說法正確；理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)BC的長二三邊的總長54米-AB-CD+門的寬度，列式可得；

(2)根據(jù)矩形面積=長乂寬列出函數(shù)關系式，配方可得面積最大情況.

試題解析：(1)設AB=x米，可得BC=54-2x+2=56-2x；

(2)小娟的說法正確；

矩形面積S=x(56-2x)=-2(x-14),+392,

,.'56-2x>0,

/.x<28,

.'.0<x<28,

???當x=14時，S取最大值，

此時x=#56-2x,

?.?面積最大的不是正方形.

考點：二次函數(shù)的應用.

4.(1)、y=-x2-x-3；(2)、—；(3)、(0,2百)或(0,-2百)

44

【解析】

試題分析：(1)、將A、B、C三點的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;

(2)、首先設H(x,y),求出S與x的函數(shù)關系式，然后利用求最值的方法求出最值；(3)、

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根據(jù)函數(shù)解析式求出頂點G的坐標，求出AM的長度，得到MG=MA,以點M為圓心，MG為半

徑的圓過點A、B,與y軸交于點a、Q；,連結(jié)QG、Q,AXQ,M,根據(jù)同弧所對的圓周角等于

圓心角的一半得出NA01G=45。，然后分情況求出點Q的坐標.

試題解析：⑴、二次函數(shù)過三點A(6,0)B(-2,0)C(0,-3)

設丁=+”"-3，則有0=4a-26-3且0=36。+66-3,a=^,h=-\,

122

y--X-x-3

,4

(2)、設H(x,y),,S=；OCx+|丁|=；X3x+；X6(-y)

3(\、3339

=—x—3—x2—x—3-—x—x2+3x+9--x2H—x+9

2(4J2442

當X=—2=3,s有最大值，S=4aC~b2=—

2a4a4.

(3)、?.?歹=」——'—3頂點G坐標為(2,-4)對稱軸與x軸交于點M

一4

AM=-AB——(6+2)=4.>MG=MA

以點M為圓心，MG為半徑的圓過點A、B,與y軸交于點Q,、Q2,連結(jié)Q,G、Q,A、Q,M

???同弧所對的圓周角等于圓心角的一半

ZAQ,G=-ZAMG=-x90。=45°

122

RtZXQQM中,.-0M=2Q,M=4Q.O=V42-22=273/.Q,(0,273)

由對稱性可知：Q2(0,-273)若點Q在線段Q@之間時，如圖，延長AQ交。M于點P,

ZAPG=ZAQ1G=45"，且NAQG>NAPGZAQG>45°

.??點Q不在線段0102之間

若點Q在線段QG之外時，同理可得，NAQG<45°,

，點Q不在線段Q,02之外

綜上所述，點Q的坐