彈性體振動(dòng)課件

第7章彈性體振動(dòng)第7章彈性體振動(dòng)當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)不能簡(jiǎn)化為有限個(gè)獨(dú)立廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，就必須按照連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行分析。有些物理現(xiàn)象，只能用連續(xù)系統(tǒng)的模型才能清晰地描述。離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)特征是用常微分方程來(lái)描述;而連續(xù)系統(tǒng)則必須用偏微分方程來(lái)描述。7.1引言7.1引言當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)不能簡(jiǎn)化為有限個(gè)獨(dú)立廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方同一振動(dòng)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)兩種數(shù)學(xué)模型，連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可從相應(yīng)的離散系統(tǒng)當(dāng)自由度無(wú)限增多時(shí)的極限過(guò)程得到。多自由度系統(tǒng)線性振動(dòng)的一些重要性質(zhì)和分析方法，可以推廣到連續(xù)系統(tǒng)中。7.1引言同一振動(dòng)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)兩種數(shù)學(xué)模7.2弦的振動(dòng)設(shè)弦長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為r，軸向拉力為T(mén)，以變形前弦的方向?yàn)閤軸，橫向撓度u(x,t)設(shè)為小量。對(duì)于長(zhǎng)度為dx的微元體有7.2弦的振動(dòng)TTu7.2弦的振動(dòng)設(shè)弦長(zhǎng)度為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為r，軸微振動(dòng)時(shí)并有7.2弦的振動(dòng)微振動(dòng)時(shí)并有7.2弦的振動(dòng)則令弦的振動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)上稱為一維波動(dòng)方程。7.2弦的振動(dòng)則方程變?yōu)閯t令弦的振動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)上稱為一維波動(dòng)方程。7.7.4桿的縱向振動(dòng)7.4桿的縱向振動(dòng)假設(shè)彈性桿在振動(dòng)過(guò)程中桿的橫截面保持為平面，并沿桿的軸線作平移運(yùn)動(dòng)，忽略軸向應(yīng)力所引起的橫向位移對(duì)縱向振動(dòng)的影響。設(shè)桿長(zhǎng)為l，軸向坐標(biāo)x，坐標(biāo)原點(diǎn)取在桿的左端。桿的軸向剛度為EA，質(zhì)量密度為r，軸向干擾力密度為f，軸向位移為u，軸向內(nèi)力為p，它們均依賴于坐標(biāo)x。7.4桿的縱向振動(dòng)7.4桿的縱向振動(dòng)假設(shè)彈性桿pr在x處取微段dx，畫(huà)出該微段的分離體圖，則運(yùn)動(dòng)方程為即7.4桿的縱向振動(dòng)pr在x處取微段dx，畫(huà)出該微段的分離體圖，則運(yùn)動(dòng)方應(yīng)用材料力學(xué)中軸向力與軸向變形的關(guān)系式得到桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程（0<x<l）7.4桿的縱向振動(dòng)應(yīng)用材料力學(xué)中軸向力與軸向變形的關(guān)系式得到桿的縱向若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由振動(dòng)方程對(duì)于等截面、均質(zhì)桿(均勻桿)，E、A均不依賴于x，自由振動(dòng)方程簡(jiǎn)化為7.4桿的縱向振動(dòng)若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由振動(dòng)方程其中

c的量綱與速度的量綱相同。顯然上述方程也是一維波動(dòng)方程，c是縱波的傳播速率，它等于聲波以桿的材料為介質(zhì)的傳播速率。7.4桿的縱向振動(dòng)其中c的量綱與速度的量綱相同。7.4桿的縱向7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)假設(shè)振動(dòng)過(guò)程中每一橫截面繞截面形心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度q作為廣義坐標(biāo)，橫截面保持為平面，橫截面上每一點(diǎn)的位移由q唯一確定，扭轉(zhuǎn)角q是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)假設(shè)振動(dòng)過(guò)程中每一橫截面繞截面在坐標(biāo)x處截取微段dx，橫截面上的扭矩為T(mén)，單位長(zhǎng)度的圓軸對(duì)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。微段的自由振動(dòng)方程即7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在坐標(biāo)x處截取微段dx，橫截面上的扭矩為T(mén)，單位長(zhǎng)度代入得設(shè)G為桿的剪切彈性模量，Jp為橫截面對(duì)扭轉(zhuǎn)中心的極慣性矩，r為體積密度。扭矩T與扭轉(zhuǎn)角q的關(guān)系可從材料力學(xué)中得到7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)注意到代入得設(shè)G為桿的剪切彈性模量，Jp為橫截面對(duì)扭轉(zhuǎn)中心當(dāng)GJp為常量時(shí)，方程可寫(xiě)成（0<x<l）其中上述方程也為一維波動(dòng)方程，c是扭轉(zhuǎn)波的傳播速率。7.5軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)當(dāng)GJp為常量時(shí)，方程可寫(xiě)成（0<x<l）其中上述方多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)，振動(dòng)形態(tài)(各廣義位移的相對(duì)大小)不依賴于時(shí)間，各廣義位移均隨時(shí)間同步變化，同時(shí)通過(guò)平衡位置，同時(shí)達(dá)到最大值。對(duì)于連續(xù)體的波動(dòng)方程，也假設(shè)具有同樣的特征，因此可假設(shè)系統(tǒng)具有分離變量形式的解：7.3時(shí)間與空間變量的分離7.3時(shí)間與空間變量的分離多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)，振動(dòng)形態(tài)(各廣義位移的代入自由振動(dòng)的波動(dòng)方程（以桿振動(dòng)為例）即可得到7.3時(shí)間與空間變量的分離代入自由振動(dòng)的波動(dòng)方程（以桿振動(dòng)為例）即可得到7.3時(shí)間與上式右端只依賴于空間變量x，而左端僅依賴于時(shí)間t。因此，令等式兩邊均等于同一常數(shù)，記作－w2，并假設(shè)為均勻桿，則得到下面兩個(gè)獨(dú)立方程：7.3時(shí)間與空間變量的分離上式右端只依賴于空間變量x，而左端僅依賴于時(shí)間t。兩個(gè)方程的解為這里：F(x)稱為系統(tǒng)的固有振型，w為固有頻率。式中積分常數(shù)A與B的比值及固有頻率由邊界條件確定，而常數(shù)C和D則由初始條件確定。固有振型F(x)有一個(gè)常數(shù)因子不能確定，這和多自由度系統(tǒng)的情形一樣。7.3時(shí)間與空間變量的分離兩個(gè)方程的解為這里：F(x)稱為系統(tǒng)的固有振型，w固有振型和固有頻率固有振型和固有頻率一維波動(dòng)方程必須與指定的邊界條件及初始條件一起才能構(gòu)成定解問(wèn)題。和多自由度一樣首先需要確定固有頻率和振型。以桿的縱向振動(dòng)為例，給出常見(jiàn)的幾種邊界條件。（1）兩端固定：兩端的軸向位移均等于零，邊界條件為固有振型和固有頻率固有振型和固有頻率一維波動(dòng)方程必（2）兩端自由：兩端的軸向力均等于零，邊界條件為（3）左端固定，右端彈簧：右端的軸向力等于彈簧力，邊界條件為固有振型和固有頻率（2）兩端自由：兩端的軸向力均等于零，邊界條件為（3）左端固（4）左端固定，右端集中質(zhì)量m：右端的軸向力等于慣性力，邊界條件為

還可以具有其他的邊界條件。

通過(guò)邊界條件就可以確定它們所描述的系統(tǒng)的固有頻率與固有振型。固有振型和固有頻率（4）左端固定，右端集中質(zhì)量m：右端的軸向力等于慣性力，邊界

【例l】求長(zhǎng)為l的均勻桿兩端固定時(shí)的縱向振動(dòng)固有頻率與固有振型。

解:兩端固定桿的邊界條件為

u(0,t)=u(l,t)=0即F(0)=F(l)=0代入特征解得固有振型和固有頻率【例l】求長(zhǎng)為l的均勻桿兩端固定時(shí)的縱向振動(dòng)固有A不能等于0,因此必須滿足此式稱為頻率方程。由此可以解得系統(tǒng)無(wú)窮多個(gè)可數(shù)的固有頻率與wi對(duì)應(yīng)的固有振型為固有振型和固有頻率A不能等于0,因此必須滿足此式稱為頻率方程。由此可從固有振型的表達(dá)式可以看出，在的點(diǎn)上F(i)(x)=0。系統(tǒng)作固有振動(dòng)時(shí)，這些點(diǎn)是不動(dòng)的，這樣的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。第i階固有振動(dòng)具有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)，這是帶有普遍性的規(guī)律。固有振型和固有頻率從固有振型的表達(dá)式可以看出，在的點(diǎn)上F(i)(x)

【例2】左端固定，右端自由的均勻桿長(zhǎng)度為l，在自由端帶有集中質(zhì)量M，求該系統(tǒng)縱向振動(dòng)的固有頻率與固有振型。

解:左端固定端桿的邊界條件為u(0,t)=0，即F(0)=0，得B＝0而右端的軸向力等于集中質(zhì)量的慣性力，邊界條件為利用固有振型和固有頻率【例2】左端固定，右端自由的均勻桿長(zhǎng)度為l，在自由得關(guān)于固有振型的邊界條件代入特征解及B＝0，得頻率方程其中固有振型和固有頻率得關(guān)于固有振型的邊界條件代入特征解及B＝0，得頻率方程其中固頻率方程xtanx

＝h是超越方程，其解必須用數(shù)值方法或查表得到。當(dāng)依次計(jì)算出正根xi(i＝1,2,…)后，即可計(jì)算出固有頻率和相應(yīng)的固有振型:固有振型和固有頻率頻率方程xtanx＝h是超越方程，其解必須討論：（1）M<<rAl時(shí)，頻率方程變?yōu)楦鶠楣逃蓄l率與相應(yīng)的固有振型為這就是左瑞固定右端自由的均勻桿在自由端不帶集中質(zhì)量時(shí)的固有頻率與固有振型。固有振型和固有頻率討論：根為固有頻率與相應(yīng)的固有振型為這就是左瑞固定（2）M>>rAl時(shí)，h很小，x也很小，頻率方程變?yōu)楣逃蓄l率為這表明：若不計(jì)桿的質(zhì)量，可視為一個(gè)無(wú)質(zhì)量的，剛度為EA/l的彈簧，連接質(zhì)量為M的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)。固有振型和固有頻率（2）M>>rAl時(shí)，h很小，x也很小，頻率方程變?yōu)楣逃蓄l率

T7-8一桿右端固定，左端附有一集中質(zhì)量M，在M上受到彈性系數(shù)為k的彈簧和阻尼系數(shù)為c的粘性阻尼約束，試寫(xiě)出桿縱向振動(dòng)的邊界條件。

解:右端固定，桿的邊界條件為u(l,t)=0，即F(l)=0；而左端的軸向力等于集中質(zhì)量的慣性力+彈性力+阻尼力，則邊界條件為固有振型和固有頻率T7-8一桿右端固定，左端附有一集中質(zhì)量M，在得邊界條件利用

作業(yè)：T7-3固有振型和固有頻率得邊界條件利用作業(yè)：T7-3固有振型和固有頻率振型函數(shù)的正交性一維波動(dòng)方程

振型函數(shù)的正交性和離散系統(tǒng)類似，一維波動(dòng)方程的振型函數(shù)也有正交性。以桿的振動(dòng)為例，第i，j階振型函數(shù)滿足振型函數(shù)的正交性一維波動(dòng)方程

振型函數(shù)的正交性和離振型函數(shù)的正交性分別用Fj，F(xiàn)i左乘上式兩端，并積分振型函數(shù)的正交性分別用Fj，F(xiàn)i左乘上式兩端，并積振型函數(shù)的正交性考慮桿端為固定或自由的情況，此時(shí)兩式相減得：即：i＝j(luò)時(shí)：振型函數(shù)的正交性考慮桿端為固定或自由的情況，此時(shí)兩式相減得：振型函數(shù)的正交性利用前面的式子知?jiǎng)t：i＝j(luò)時(shí)：振型函數(shù)的正交性利用前面的式子知?jiǎng)t：i＝j(luò)時(shí)：一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解1.振型疊加法和離散系統(tǒng)類似，一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解也用振型疊加法2.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）對(duì)振型函數(shù)按下式條件正則化一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解1.振型疊加法一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解3.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開(kāi)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解3.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：【例7-4-1】左端固定，右端自由的均勻桿，在自由端作用一軸向拉力P。在時(shí)間t=0時(shí)，突然將P力卸除，試求系統(tǒng)對(duì)此初始條件的響應(yīng)。解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解【例7-4-1】左端固定，右端自由的均勻桿，在自由端作（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci求得所以一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（2）由正規(guī)化條件（3）初始條件。按題意，t＝0時(shí)的位移為桿在軸向力P作用下產(chǎn)生的靜位移，初始速度為零，因此變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（3）初始條件。按題意，t＝0時(shí)的位移為桿在軸向力P作用下產(chǎn)（4）主坐標(biāo)下的響應(yīng)（5）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解作業(yè)：7-20（4）主坐標(biāo)下的響應(yīng)（5）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解4.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)（1）分布干擾力設(shè)干擾力密度為f(x,t),前面已經(jīng)得到桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程將分離變量解代入上式得（0<x<l）一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解4.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)將分離變一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解用Fj乘上式并積分，利用正交性得一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解用Fj乘上式并積分，利用正交性得一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解若對(duì)Fi標(biāo)準(zhǔn)化，則Mi＝1，即得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得響應(yīng)為一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解若對(duì)Fi標(biāo)準(zhǔn)化，則Mi＝一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（2）集中荷載設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時(shí)可以用d函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dxd(x-x1),方程變?yōu)轫憫?yīng)為一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（2）集中荷載響應(yīng)為【例】左端固定，右端自由的均勻桿，突然受到強(qiáng)度為F0的均布荷載作用，求響應(yīng)。解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解【例】左端固定，右端自由的均勻桿，突然受到強(qiáng)度為F0（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci求得所以一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（2）由正規(guī)化條件（3）計(jì)算響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解（3）計(jì)算響應(yīng)一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解則一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解則一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解【例】左端固定，右端自由的均勻桿，在自由端受到大小為F0的集中荷載作用，求響應(yīng)。解：利用前面的結(jié)果，帶公式求解一維波動(dòng)方程的響應(yīng)求解作業(yè)：7-7【例】左端固定，右端自由的均勻桿，在自由端受到大小為7.6梁的橫向振動(dòng)7.6梁的橫向振動(dòng)僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動(dòng)。這種振動(dòng)只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)。運(yùn)動(dòng)微分方程(P203)在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時(shí)的軸線重合。假設(shè)梁在振動(dòng)過(guò)程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向。7.6梁的橫向振動(dòng)7.6梁的橫向振動(dòng)僅討論梁在設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，彎曲剛度為EI，質(zhì)量密度為r，f表示作用在單位長(zhǎng)度梁上的橫向干擾力。EI、r、f均是坐標(biāo)x的函數(shù)。7.6梁的橫向振動(dòng)u設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，彎曲剛度為EI，質(zhì)量密度為r，f取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號(hào)的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動(dòng)方程為：7.6梁的橫向振動(dòng)取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號(hào)即利用材料力學(xué)中的關(guān)系7.6梁的橫向振動(dòng)得到梁的彎曲振動(dòng)方程即利用材料力學(xué)中的關(guān)系7.6梁的橫向振動(dòng)得到梁的彎曲振動(dòng)方邊界條件(P204)和一維波動(dòng)方程一樣，要使彎曲振動(dòng)微分方程成為定解問(wèn)題，必需給出邊界條件和初始條件。梁的每一端必須給出兩個(gè)邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即7.6梁的橫向振動(dòng)邊界條件(P204)和一維波動(dòng)方程一樣，要使彎曲振（2）簡(jiǎn)支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出。7.6梁的橫向振動(dòng)（2）簡(jiǎn)支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0梁彎曲自由振動(dòng)的解(P204)令振動(dòng)方程中的干擾力為0，得到7.6梁的橫向振動(dòng)對(duì)于均勻梁，振動(dòng)方程為其中梁彎曲自由振動(dòng)的解(P204)令振動(dòng)方程中的干擾力為0，得到假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫(xiě)為7.6梁的橫向振動(dòng)假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫(xiě)為7.6梁的橫則有7.6梁的橫向振動(dòng)其中（稱為特征方程）則有7.6梁的橫向振動(dòng)其中（稱為特征方程）方程的通解為7.6梁的橫向振動(dòng)由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個(gè)邊界條件只能確定四個(gè)積分常數(shù)之間的比值。方程的通解為7.6梁的橫向振動(dòng)由特征方程，利【P2057.6.1】求簡(jiǎn)支梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。

解：邊界條件為撓度和彎矩為0代入特征方程的解以及7.6梁的橫向振動(dòng)【P2057.6.1】求簡(jiǎn)支梁彎曲振動(dòng)的固有頻率得到以及則則以及頻率方程由此解得7.6梁的橫向振動(dòng)得到以及則則以及頻率方程由此解得7.6梁的橫向振動(dòng)所以固有頻率振型為第i階振型有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即7.6梁的橫向振動(dòng)所以固有頻率振型為第i階振型有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐【P2067.6.2】求兩端固定梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。

解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0代入特征方程的解得到7.6梁的橫向振動(dòng)以及【P2067.6.2】求兩端固定梁彎曲振動(dòng)的固有頻化簡(jiǎn)后得到頻率方程求得7.6梁的橫向振動(dòng)求出b后得到固有頻率化簡(jiǎn)后得到頻率方程求得7.6梁的橫向振動(dòng)求出b后得到固有頻振型為7.6梁的橫向振動(dòng)振型為7.6梁的橫向振動(dòng)【例】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的均勻梁彎曲振動(dòng)的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為07.6梁的橫向振動(dòng)【例】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的均勻梁彎右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力代入特征方程的解以及7.6梁的橫向振動(dòng)右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力代入特征方程的解以及將邊界條件代入得到求得7.6梁的橫向振動(dòng)將邊界條件代入得到求得7.6梁的橫向振動(dòng)進(jìn)一步化簡(jiǎn)后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為7.6梁的橫向振動(dòng)進(jìn)一步化簡(jiǎn)后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為7.6梁討論：（1）k＝0時(shí)，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無(wú)窮大時(shí)，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭ǎ叶撕?jiǎn)支的情況。7.6梁的橫向振動(dòng)討論：即為懸臂梁的情況。（2）k趨于無(wú)窮大時(shí)，頻率方程變?yōu)榛颉绢}7-28】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：作業(yè)：7-297.6梁的橫向振動(dòng)【題7-28】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：7.7剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及軸向力

對(duì)梁振動(dòng)的影響（略）

7.8振型函數(shù)的正交性7.8振型函數(shù)的正交性和一維波動(dòng)方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足7.7剪切變形、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及軸向力

對(duì)梁振動(dòng)的影響（略）

7用Fj左乘上式兩端，并積分7.8振型函數(shù)的正交性用Fj左乘上式兩端，并積分7.8振型函數(shù)的正交性考慮邊界條件為簡(jiǎn)支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對(duì)第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：7.8振型函數(shù)的正交性考慮邊界條件為簡(jiǎn)支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)上兩式相減得則7.8振型函數(shù)的正交性i＝j(luò)時(shí)上兩式相減得則7.8振型函數(shù)的正交性i＝j(luò)時(shí)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)和一維波動(dòng)方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）對(duì)振型函數(shù)按下式條件正則化7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的2.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開(kāi)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)2.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開(kāi)7.9梁在激勵(lì)力用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)7.9物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)響應(yīng)求解步驟：7.9梁在激勵(lì)力作用下的響【例】長(zhǎng)為l的均勻簡(jiǎn)支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對(duì)此初始條件的響應(yīng)。解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例】長(zhǎng)為l的均勻簡(jiǎn)支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微求得所以7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（3）初始條件。按題意求得所以7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（3）初始條件。按題變換到主坐標(biāo)下7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)變換到主坐標(biāo)下7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（4）響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（4）響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)3.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)（1）分布干擾力設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵(lì)受迫振動(dòng)響應(yīng)推動(dòng)方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)利用杜哈美積分得3.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)利用杜哈總響應(yīng)為7.9梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)（2）集中力設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時(shí)可以用d函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dxd(x-x