材料力學(xué)第七章課件3

1§7-6強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強度極限)總可通過拉伸試驗和壓縮試驗加以測定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強度(剪切強度)可以通過例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗來測定。（拉壓）（正應(yīng)力強度條件）（剪切）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強度條件）（彎曲）1§7-6強度理論及其相當(dāng)應(yīng)力材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下2如何建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件？解決這一問題的思路

難點之一：應(yīng)力狀態(tài)的多樣性難點之二：實驗的復(fù)雜性與不可能性不可能逐一通過試驗建立失效準(zhǔn)則；（1）利用簡單拉伸實驗結(jié)果作為許用應(yīng)力；（2）從某個失效形式出發(fā)尋找失效原因；（3）從失效原因?qū)С鰪姸扔嬎愎健?如何建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件？解決這一問題的思路難點3材料的強度破壞有兩種類型；

Ⅰ.

在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；

Ⅱ.

產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強度理論按上述兩種破壞類型分為Ⅰ.研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論；Ⅱ.研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。強度理論--利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗測得的強度來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強度。3材料的強度破壞有兩種類型；工程中常用的強度理論按上述兩種破4強度理論關(guān)于斷裂的理論關(guān)于屈服的理論最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)變理論最大切應(yīng)力理論畸變能密度理論4強度理論關(guān)于斷裂的理論關(guān)于屈服的理論最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)5(1)最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)受鑄鐵等材料單向拉伸時斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點處三個主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力s1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗中測定的極限應(yīng)力su時就發(fā)生斷裂?？梢姡谝粡姸壤碚撽P(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為而相應(yīng)的強度條件則是其中，[s]為對應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，[s]＝su/n，而n為安全因數(shù)。5(1)最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)6局限性：（1）沒有考慮另外二個主應(yīng)力的影響；（2）無法應(yīng)用于沒有拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)；（3）無法解釋塑性材料的破壞；（4）無法解釋三向均壓時，既不屈服、也不破壞的現(xiàn)象。實驗表明：該理論對于大部分脆性材料受拉應(yīng)力作用，結(jié)果與實驗相符合，如鑄鐵受拉伸、扭轉(zhuǎn)。6局限性：（1）沒有考慮另外二個主應(yīng)力的影響；實驗表明：該理7

(2)最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)從大理石等材料單軸壓縮時在伸長線應(yīng)變最大的橫向發(fā)生斷裂來判斷，第二強度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點處的最大伸長線應(yīng)變e1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗、單軸壓縮試驗或其它試驗中發(fā)生脆性斷裂時與斷裂面垂直的極限伸長應(yīng)變eu時就會發(fā)生斷裂?？梢姡诙姸壤碚撽P(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為7(2)最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)從大理石8對應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應(yīng)變eu，如果是由單軸拉伸試驗測定的(例如對鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由單軸壓縮試驗測定的(例如對石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的試驗中測定的(低碳鋼在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下才會未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗中發(fā)生脆性斷裂時的三個主應(yīng)力均有聯(lián)系。8對應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應(yīng)變eu，9亦即而相應(yīng)的強度條件為

如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性斷裂情況下測定的，則第二強度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：9亦即而相應(yīng)的強度條件為如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆10局限性：（1）第一強度理論不能解釋的問題，未能解決；（2）在二向或三向受拉時，似乎比單向拉伸時更安全，但實驗證明并非如此。由于該理論只與少數(shù)材料相符，已經(jīng)很少采用。實驗表明：該理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。10局限性：（1）第一強度理論不能解釋的問題，未能解決；似乎11

(3)最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)低碳鋼在單軸拉伸而屈服時出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面(45?

斜截面)。據(jù)此，第三強度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下當(dāng)一點處的最大切應(yīng)力tmax達(dá)到該材料在試驗中屈服時最大切應(yīng)力的極限值tu時就發(fā)生屈服。第三強度理論的屈服判據(jù)為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss，從而有tu＝ss/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為即11(3)最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)低碳鋼在12實驗表明：該理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋，并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。局限性：（1）未考慮σ2

的影響，試驗證實最大影響達(dá)15%（2）不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象（3）不適用于脆性材料的破壞12實驗表明：該理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到局限性：（13于是，第四強度理論的屈服判據(jù)為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss的材料，注意到試驗中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為故屈服判據(jù)可寫為

(4)形狀改變能密度理論(第四強度理論)注意到三向等值壓縮時材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點處的形狀改變能密度vd達(dá)到極限值vdu所致。13于是，第四強度理論的屈服判據(jù)為對于由單軸拉伸試驗可測定屈14此式中，s1、s2、s3是構(gòu)成危險點處的三個主應(yīng)力，相應(yīng)的強度條件則為

這個理論比第三強度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗結(jié)果，但在工程實踐中多半采用計算較為簡便的第三強度理論。亦即14此式中，s1、s2、s3是構(gòu)成危險點處的三個主應(yīng)力，相應(yīng)15(5)強度理論的相當(dāng)應(yīng)力

上述四個強度理論所建立的強度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：式中，sr是根據(jù)不同強度理論以危險點處主應(yīng)力表達(dá)的一個值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強度條件s≤[s]中的拉應(yīng)力s，通常稱sr為相當(dāng)應(yīng)力。表7-1示出了前述四個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。15(5)強度理論的相當(dāng)應(yīng)力上述四個強度理論所建立16相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強度理論名稱及類型

第一類強度理論(脆性斷裂的理論)第二類強度理論(塑性屈服的理論)第一強度理論──最大拉應(yīng)力理論第二強度理論──最大伸長線應(yīng)變理論第三強度理論──最大切應(yīng)力理論第四強度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個強度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式16相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強度理論名稱及類型第一類強度理論(脆17§7-8各種強度理論的應(yīng)用

前述各種強度理論是根據(jù)下列條件下材料強度破壞的情況作出的假設(shè)，它們也是應(yīng)用這些強度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。

需要注意同一種材料其強度破壞的類型與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。17§7-8各種強度理論的應(yīng)用前述各種強度理論是根18

帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會發(fā)生脆性斷裂。18帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材19

圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。19圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時20純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下許用應(yīng)力的推算純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下

低碳鋼一類的塑性材料，純剪切和單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生塑性的屈服，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力[s]按第三或第四強度理論推算許用切應(yīng)力[t]。按第三強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為可見亦即20純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下許用應(yīng)力的推算純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下21按第四強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為可見

在大部分鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中就是按[t]=0.577[s]然后取整數(shù)來確定低碳鋼的許用切應(yīng)力的。例如規(guī)定[s]＝170MPa，而[t]＝100MPa。亦即21按第四強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為可見22

鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉(zhuǎn))和單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生脆性斷裂，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力[st]按第一或第二強度理論推算許用切應(yīng)力[t]。按第一強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為可見22鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉(zhuǎn))和單向拉伸23按第二強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為因鑄鐵的泊松比n≈0.25，于是有可見亦即23按第二強度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件為因鑄鐵的泊松24選用強度理論時要注意：1、破壞原因與破壞形式的一致性，理論計算與試驗結(jié)果要接近，一般：第一（第二）強度理論適用于脆性材料（拉斷）第三、第四強度理論適用于塑性材料（屈服、剪斷）2、材料的破壞形式與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，也與速度、溫度有關(guān).同一種材料在不同情況下，破壞形式不同,強度理論也應(yīng)不同.例如：24選用強度理論時要注意：1、破壞原因與破壞形式的一致性，理25鑄鐵單向受拉時，脆性拉斷第一、第二強度理論鑄鐵三向均壓時，產(chǎn)生屈服破壞第三、第四強度理論3、如果考慮材料存在內(nèi)在缺陷如裂紋，須利用斷裂力學(xué)中的脆性斷裂準(zhǔn)則進(jìn)行計算。低碳鋼單向受拉時，產(chǎn)生塑性變形第一、第二強度理論低碳鋼三向均拉時，產(chǎn)生斷裂破壞第三、第四強度理論25鑄鐵單向受拉時，脆性拉斷第一、第二鑄鐵三向均壓時，產(chǎn)生屈26

試校核圖a所示焊接工字梁的強度。已知：梁的橫截面對于中性軸z的慣性矩為

Iz=88×106mm4；半個橫截面對于中性軸z的靜矩為S*z,max=338×103mm3；梁的材料為Q235鋼，其許用應(yīng)力為[s]＝170MPa，[t]＝100MPa。y例題7-526試校核圖a所示焊接工字梁的強度。已知：梁的27

由FS和M圖可見，C偏左截面為危險截面，其應(yīng)力分布如圖d所示，smax在橫截面的上、下邊緣處，tmax在中性軸處，a點處的sa、ta也比較大，且該點處于平面應(yīng)力狀態(tài)。該梁應(yīng)當(dāng)進(jìn)行正應(yīng)力校核、切應(yīng)力校核，還應(yīng)對a點用強度理論進(jìn)行校核。(b)(c)yza(e)sasmaxtmaxta(d)(a)例題7-527由FS和M圖可見，C偏左截面為危險截面，其應(yīng)力分281.

按正應(yīng)力強度條件校核

彎矩圖如圖c所示，可知最大彎矩為Mmax＝80kN·m。最大正應(yīng)力為故該梁滿足正應(yīng)力強度條件。(c)例題7-5281.按正應(yīng)力強度條件校核彎矩圖如圖c所示，可知最292.

按切應(yīng)力強度條件校核此梁的剪力圖如圖b，最大剪力為FS,max=200kN。梁的所有橫截面上切應(yīng)力的最大值在AC段各橫截面上的中性軸處：它小于許用切應(yīng)力[t],滿足切應(yīng)力強度條件。(b)例題7-5292.按切應(yīng)力強度條件校核此梁的剪力圖如圖b，最大剪力303.用強度理論校核a點的強度a點的單元體如圖f所示，a點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為sataa(f)y例題7-5303.用強度理論校核a點的強度sataa(f)y例題7-31

由于梁的材料Q235鋼為塑性材料，故用第三或第四強度理論校核a點的強度。

所以a點的強度也是安全的。例題7-531由于梁的材料Q235鋼為塑性材料，故用第三或第四321.在腹板和翼的交界處是有應(yīng)力集中的，按上述方法對a點進(jìn)行強度校核只是一種實用計算方法。對工字型鋼不需要對腹板和翼緣交界處的點用強度理論進(jìn)行強度校核。因為該處有圓弧過度，增加了該處截面的厚度。例題7-5sataa(f)y321.在腹板和翼的交界處是有應(yīng)力集中的，按上述方332.圖示平面應(yīng)力狀態(tài)為工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力分別為將它們分別代入sr3=s1-s3及后，得在解題時，可直接引用以上兩式，而不必推導(dǎo)。例題7-5332.圖示平面應(yīng)力狀態(tài)為工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)34

圖示兩端密封的圓筒形薄壁壓力容器，內(nèi)壓力的壓強為p。試按第四強度理論寫出圓筒內(nèi)壁的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。例題7-634圖示兩端密封的圓筒形薄壁壓力容器，內(nèi)壓力的壓強為35圖示受內(nèi)壓力作用得圓筒形薄壁容器，由于兩端得內(nèi)壓力作用使圓筒產(chǎn)生軸向拉伸，所以其橫截面上有均勻分布的拉應(yīng)力s'；由于徑向內(nèi)壓力的作用使圓筒的周長增加，因此其徑向截面上有均勻分布的拉應(yīng)力s''；由于徑向內(nèi)壓力為軸對稱荷載，所以徑向截面上無切應(yīng)力，圓筒外壁上任一點的單元體如圖所示。s''s'a例題7-635圖示受內(nèi)壓力作用得圓筒s''s'a例題7-6361.

求圓筒橫截面上的正應(yīng)力s'

根據(jù)圓筒本身及其受力的對稱性，圓筒產(chǎn)生軸向拉伸變形，于是得圓筒橫截面上的正應(yīng)力為式中，為端部分布內(nèi)壓力的合力，其方向沿圓筒的軸線。例題7-6解:361.求圓筒橫截面上的正應(yīng)力s'根據(jù)圓筒本身及37

在單位長度圓筒上以縱截面取的分離體如圖所示。根據(jù)該分離體及與之對應(yīng)的下半部的對稱性可以判定圓筒徑向截面上無切應(yīng)力。2.求圓筒徑向截面徑向上的正應(yīng)力s''

圖中所示徑向截面上的法向力FN由正應(yīng)力s

構(gòu)成，即

FN＝s

×d×1。D例題7-637在單位長度圓筒上以縱截面取的分離體如圖所示。根據(jù)38

作用于圖示分離體內(nèi)壁上的分布壓力

p的合力在y軸上的投影為Fp，它們的關(guān)系曾在例題2-3中導(dǎo)出，

Fp＝pD。于是由平衡方程亦即得出圓筒縱截面上的正應(yīng)力：D例題7-638作用于圖示分離體內(nèi)壁上的分布壓力p的393.

圓筒內(nèi)壁上沿半徑方向的正應(yīng)力為D例題7-6393.圓筒內(nèi)壁上沿半徑方向的正應(yīng)力為D例題7-6404.圓筒內(nèi)壁上各點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，它們都是主應(yīng)力，且

由于p與

(pD/2d)和

(pD/4d)相比很小，故可認(rèn)為s3＝0。例題7-6404.圓筒內(nèi)壁上各點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示415.

按第四強度理論寫出的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式為例題7-6415.按第四強度理論寫出的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式為例題7-642練習(xí)1已知鑄鐵構(gòu)件上危險點的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許用應(yīng)力[

t]=30MPa。試校核該點的強度?！窘狻渴紫雀鶕?jù)材料和應(yīng)力狀態(tài)確定破壞形式，選擇強度理論。

r1=max=1

[

t]脆性斷裂，最大拉應(yīng)力理論101123單位：MPa其次確定主應(yīng)力42練習(xí)1已知鑄鐵構(gòu)件上危險點的應(yīng)力狀態(tài)。鑄鐵拉伸許用應(yīng)力43結(jié)論：該點的強度足夠。101123單位：MPa43結(jié)論：該點的強度足夠。101123單位：MPa44練習(xí)2圖示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN/m，許用應(yīng)力[σ]=120MPa。試對梁的強度作全面校核。BDF1m1mF2mCA2mEq12615300zy944練習(xí)2圖示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN45BDF1m1mF2mCA2mEq【解】（1）求支座反力（2）作剪力圖、彎矩圖（3）確定危險截面危險截面可能是C左或D右

FAFB7558520FS（kN）756520M（kNm）45BDF1m1mF2mCA2mEq【解】（1）求支座反力（4612615300zy9（4）確定幾何性