如何理解FFT中時間窗與RBW的關(guān)系

如何理解FFT中時間窗與RBW的關(guān)系作為一種常用的頻譜分析工具，快速傅里葉變換(FFT)實(shí)現(xiàn)了時域到頻域的轉(zhuǎn)換，是數(shù)字信號分析中最常用的基本功能之一。FFT頻譜分析是否與傳統(tǒng)的掃頻式頻譜儀類似，也具有分辨率帶寬(RBW)的概念？如果具有RBW，那么FFT的RBW又與什么因素有關(guān)呢？這將是本文要重點(diǎn)給大家介紹的內(nèi)容。眾所周知，F(xiàn)FT變換是在一定假設(shè)下完成的，即認(rèn)為被處理的信號是周期性的。圖1給出了一正弦波信號的采集樣點(diǎn)波形，如果對Frame1作FFT運(yùn)算，則會對其進(jìn)行周期擴(kuò)展。顯然，在周期擴(kuò)展的時候，造成了樣點(diǎn)的不連續(xù)，樣點(diǎn)不連續(xù)等同于相位不連續(xù)，相當(dāng)于引入了相位調(diào)制，這將導(dǎo)致產(chǎn)生額外的頻率成分，該現(xiàn)象稱為頻譜泄露。文章“如何理解FFT中的頻譜泄露效應(yīng)”中已經(jīng)對頻譜泄露效應(yīng)的機(jī)理做了比較深入的推導(dǎo)，此處不再贅述。圖1.周期擴(kuò)展引起樣點(diǎn)的不連續(xù)頻譜泄露產(chǎn)生了原本信號中并不包含的頻率成分，具有諸多危害：首先頻率測不準(zhǔn)了，通常決定信號頻率都是選取幅度最高的譜線，但是幅度最高譜線往往并不是載波，因此造成頻率測試結(jié)果存在比較明顯的偏移，這是調(diào)相的影響；其次測得的頻譜幅度變小了，本來只有一根譜線，發(fā)生頻譜泄露后產(chǎn)生眾多譜線，但是信號總功率是一定的，因此測得的信號幅度一定會減??；另外，頻譜泄露會擾亂測試，尤其在觀測小信號時，較強(qiáng)的頻譜泄露成分可能淹沒比較微弱的信號。如何避免或者降低頻譜泄露呢？這就需要使用下文介紹的時間窗(Window)技術(shù)。如果能夠消除樣點(diǎn)不連續(xù)，就可以消除頻譜泄露。為了實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，需要引入時間窗(Window)，時間窗包含的樣點(diǎn)數(shù)目與信號相同，而且兩端的樣點(diǎn)值通常為0。在FFT之前，時間窗與波形相乘，周期擴(kuò)展后可以保證樣點(diǎn)的連續(xù)性。圖2以KaiserWindow為例，給出了時間窗波形、原始波形以及加了時間窗之后的波形。由圖可知，引入時間窗后，在周期擴(kuò)展后并不會造成相位不連續(xù)，從而消除頻譜泄露效應(yīng)。值得一提的是，頻譜泄露是無法完全消除的，雖然引入合適的時間窗使得周期擴(kuò)展后相位連續(xù)，但是又等效形成了特殊的射頻脈沖信號，所以還會產(chǎn)生一些新的頻率成分，只是這些頻率成分非常微弱。換句話說，時間窗只能盡量抑制頻譜泄露，而無法完全消除！圖2.引入時間窗以改善頻譜泄露效應(yīng)在FFT應(yīng)用中，時間窗就相當(dāng)于一個濾波器，不同的時間窗具有不同的頻響特性，比如不同的邊帶抑制和矩形因子等，相應(yīng)的幅度測試精度也不同。雖然與傳統(tǒng)的掃頻式頻譜儀不同，但是基于FFT的頻譜分析中依然有RBW的概念，RBW就是指時間窗對應(yīng)的幅頻響應(yīng)的3dB帶寬，時間窗寬度及類型就決定了RBW的大小。RBW稱為分辨率帶寬，決定了頻譜分析中對多個頻率的分辨能力，RBW越小，分辨率越高。RBW與時間窗寬度(即WindowTime)成反比，但即使時間窗寬度相同，不同的時間窗類型對應(yīng)的RBW也不同，存在一個因子k，并滿足如下關(guān)系：下面以矩形時間窗為例，討論一下RBW與時間窗寬度具體有什么關(guān)系呢？矩形窗的雙邊帶頻譜為Sa(ω)函數(shù)，如圖3所示，假設(shè)窗口時間為T，則在頻率為

±N*2π/T

(N為非零正整數(shù))處均為零點(diǎn)。矩形窗的雙邊帶頻譜可以寫為如下表達(dá)式：對于圖3所示的頻譜，相對峰值電平下降3dB的頻點(diǎn)位于何處？從電壓的角度講，下降3dB的頻點(diǎn)處，幅值降為峰值的√2/2。圖3.矩形窗的頻譜特性(雙邊帶頻譜)簡便起見，利用圖4所示的圖解法，令sin(x)/x=√2/2，則x≈1.39。經(jīng)計算ω=2.78/T，f=ω/2π≈0.443/T。因此，圖3所示的頻譜中，3dB帶寬為：圖4.x=1.39處，幅值下降3dB如前所述，F(xiàn)FT過程中會進(jìn)行周期擴(kuò)展，因此FFT是將信號當(dāng)作一個周期信號來對待的。FFT得到的頻點(diǎn)也是離散的，這些離散的頻點(diǎn)稱為freq.bin，兩個相鄰bin之間的頻間距為周期擴(kuò)展后總時長的倒數(shù)。bin間距決定了頻率分辨率，bin間距越小，頻率分辨率越高。假設(shè)進(jìn)行了N次周期擴(kuò)展，則bin間距為類似于掃頻式頻譜分析，F(xiàn)FT頻譜分析中也有RBW的概念，盡管不存在IFfilter。在FFT頻譜分析中，RBW決定于時間窗幅頻特性的3dB帶寬。不同的時間窗類型，具有不同的RBW表達(dá)式。對于矩形窗，RBW為從上式可以看出，矩形窗的RBW并不等于bin間距，而往往是大于bin間距。頻譜分析應(yīng)用中通常提及RBW，但RBW與bin間距存在如下關(guān)系式中k為常系數(shù)，取決于時間窗的類型。常見的時間窗類型包括：Kaiser、Rectangular、Hamming、Hanning、Blackman-Harris、Flat-Top等。下圖給出了不同時間窗類型對應(yīng)的k因子大小。不同的時間窗，頻譜泄露、幅度測試精度及RBW均不同，測試時應(yīng)該根據(jù)待測信號的特點(diǎn)進(jìn)行選擇。圖5.不同時間窗類型對應(yīng)的k因子不同小結(jié)本文重點(diǎn)描述了FFT頻譜分析中的RBW由來，雖然不像掃頻式頻譜儀那樣具有IFfilter，但是FFT頻譜分析中依然存在RBW的概念。文中以矩形時間窗為例，通過數(shù)學(xué)