廣東省歷年高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案2005年-2012年

2005年高考數(shù)學(xué)(廣東卷)試題及答案

本試卷分第1卷(選擇題)和第II卷(非選擇)題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡

上.用2B鉛筆將答題卡試卷類型(A)填涂在答題R上.在答題卡右上角的“試室號”和“座

位號”欄填寫試室號、座位號，并用2B鉛筆將相應(yīng)的試室號、座位號信息點(diǎn)涂黑.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷匕

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域

內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A)P(B)

第I卷(選擇題，共50分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

?項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合/={xllxK2},N={xlx2—3x=0},則MCN=()

A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}

beR,i是虛數(shù)單位

5

A.0B.2C.-D.5

2

)vx+3

3.lim----=()

-9

1

A,--B.0C.一D.-

663

1的正三A/C

4.已知高為3的直棱柱ABC-A-B'C的底面是邊長為

角形(如圖1所示)，則三棱錐B'—ABC的體積為()A;

11

A.-B.-

42

C百D百

64

如圖1

22

5.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓二+匕=1的離心率為—,則m=()

2m2

r-382

A.yl3B.—C.—D.一

233

6.函數(shù)+i是減函數(shù)的區(qū)間為()

A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(-oo,0)D.(0,2)

7.給出下列關(guān)于互不相同的直線機(jī)、/、〃和平面a、8的四個命題：

①若ua,/ca=A,點(diǎn)A任〃?,則/與機(jī)不共面；

②若加、/是異面直線，/〃月一〃"L_L〃?,則〃_La；

③若IIIa,m//p,a〃/7,則/〃加；

④若Iuajnua,lcm=點(diǎn)、A,////3,m〃(3,則a//(3.

其中為假命題的是

A.①B.②C.③D.@

8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6),骰

子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X、Y,則10g2xy=l的概率為()

1511

A.-B.——C.—D.-

636122

9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.現(xiàn)將

y=g(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移1個單位，所得的圖象是由

兩條線段組成的折線(如圖2所示)，則函數(shù)/(x)的表達(dá)式為()

2x+2,-1<x<0

A./(x)=<x

-+2,0<x<2

12

2x—2,—1VxW0

B./(x)=<r

——2,0<x<2

2

2x-2,1<x<2

C.x

-+l,2<x<4

2如圖2

2x-6,1<x<2

D./(吁

——3,2<xK4

,2

10.已知數(shù)列｛乙｝滿足％=五,％“=，*“_1+%“_2)，”=3,4」”.若1加Z=2,則占=()

22I

3

A.-B.3C.4D.5

2

第II卷(非選擇題共100分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11.函數(shù)/(x)=.1的定義域是___________________.

Jl-e*

12.已知向量。=(2,3),3=(x,6),月&//則x=.

13.3n(xcos。+1)5的展開式中代的系數(shù)與(X+-)4的展開式中d的系數(shù)相等，則cos。=

14.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n23),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同

一點(diǎn).若用/(〃)表示這n條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則/(4)=；當(dāng)n>4時，

/(〃)=.(用n表示)

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分12分)

化簡/(x)=cos*；+2x)+cos(61—1兀_2x)+2V3sin(y+2x)(xwR,kwZ),

并求函數(shù)/(x)的值域和最小正周期.

16.(本小題滿分14分)

如圖3所示，在四面體P—ABC中，已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2734.F

是線段PB上一點(diǎn)，CT7="取，點(diǎn)E在線段AB上，且EF_LPB.

17

(I)證明：PB_L平面CEF；P"

(II)求二面角B—CE—F的大小.

17.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=f上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動點(diǎn)A、B滿足

AO_LBO(如圖4所示).、1

(I)求AAOB的重心G(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡\

方程；

(II)AAOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；\\廣)

若不存在，請說明理由.//

X

如圖4

18.(本小題滿分12分)

箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為s:t.現(xiàn)從箱中

每次任意取出一個球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續(xù)

從箱中任意取出一個球，但取球的次數(shù)最多不超過n次，以E表示取球結(jié)束時已取到白球的

次數(shù).

(I)求&的分布列；

(II)求&的數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(—oo,+oo)上滿足/(2—x)=/(2+x),/(7-x)=/(7+x),且在閉區(qū)

間［0,7］±,只有/?⑴=〃3)=0.

(I)試判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性；

(H)試求方程/(x)=0在閉區(qū)間［-2005,2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

20.(本小題滿分14分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2,寬為1,AB、AD邊分別在x軸、y

軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖5所示).將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DCt.

(I)若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程；

(II)求折痕的長的最大值.

----------------------------------------&C

O7A)'

如圖5

2005年高考數(shù)學(xué)（廣東卷）試題及答案

參考答案

一、選擇題

IB2D3A4D5B6D7C8C9A10B

二、填空題

5/21

ll.{xlx<0}12.413.±—14.5,-(n-2)(n+l)

三、解答題

15.解：/(%)=cos(2&)+(+2x)+cos(2&4-y-2x)4-26sin(y+2x)

=2cos(y+2x)+2Gsin(y+2x)=4cos2x

函數(shù)f(x)的值域?yàn)椤?;

27r

函數(shù)f(x)的周期T=——=乃；

co

16.(D證明：VPA2+AC2=36+64=100=FC2

.?.△PAC是以NPAC為直角的直角三角形，同理可證

△PAB是以NPAB為直角的直角三角形，APCB是以/PCB為直角的直角三角形.

故PA_L平面ABC

又,:S”BC=；lACHBCl=|xl0x6=30

而工IPBIICT1=Lx2/=30=S?Bc

2217

故CF_LPB,又已知EF1PB

.*.PB_L平面CEF

(II)由(I)知PB_LCE,PA_L平面ABC

.?.AB是PB在平面ABC上的射影，故AB_LCE

在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交ABFFl,貝ijFF1_L平面ABC,

EFl是EF在平面ABC上的射影，...EFLEC

故/FEB是二面角B—CE—F的平面角.

tanNFEB=cotNPBA=-=—=-

AP63

二面角B—CE—F的大小為arctan-

3

犬」|+々

3

17.解：⑴設(shè)AAOB的重心為G(x,y),A(Xi,yD,B(X2,y2)惻<...(1)

3

VOA1OB???COA?《OB=7,即%々+%力=T,....(2)

又點(diǎn)A,B在拋物線上，有M=x；，為=x；,代入(2)化簡得x/2=—1

222

；?3=月；)2=g(x；+M)=；[(X]+x2)-2X,X2]=1X(3X)+|=3X+|

2

所以重心為G的軌跡方程為y=3/+-

'3

(n)§刖。8=；IOAII081=；+y；)(x；+y；)=|&X；+x；y；+x〈y；+),：尺

由(I)得S1M)B=~Jx；+尤；+2>—,衛(wèi)+2=—j2j(-l)^+2=—x2=1

當(dāng)且僅當(dāng)xf=x；即X]=-x2=-1時，等號成立.

所以AAOB的面積存在最小值，存在時求最小值1；

18.解：⑴&的可能取值為：0,l,2,...,n

&的分布列為

012n-1n

St?S「T

sstt"

p2(s+?i

s+t(s+t)O+于)3(s+f)“

(II)J的數(shù)學(xué)希望為

n

Sst+2乂二st~'t

砧=0x+lx+…+(〃-1)x+〃x--------...(1)

s+r(S+f)2G+f)(s+f尸(S+f)“

2

tcst2s/(〃-2)sf"T(〃-l)sf"nt"''

----Eg=-------7-+------------r+...+-----------------r—+-----------------+----------------

s+t(s+f)2(s+f-(s+f)'i(s+f)'r(s+f)'*r

(1)一⑵得

tt"(〃一1)，

卜,----___________________________1__________

SS(S+f)"T(S+f)"T(s+f)"

由嚴(yán)—)=嚴(yán))—)

.解:=/(4—x)=/(14—x)

191/(7—x)=/(7+x)[f(x)=/(14—x)

="x)=/(x+10),

又"3)=0,而/(7)H0,

=>/(-3)=/(7)^0

二>/(-3)53),—/⑶

故函數(shù)y=/(x)是非奇非偶函數(shù);

“2—x)=/(2+x)n〃x)=/(4-x)

(II)由/(7—x)=/(7+x)=’n/(4—x)=/(14_x)

J(x)=/(14—x)

=>f(x)=/(x+10)

又/(3)=/⑴=0n〃l)=/(1)=算-7)=/(-9=0)

故f(x)在［0,10］和［-10,0］上.均有有兩個解，

從而可知函數(shù)y=/(x)在［0,2005］上有402個解，在［-2005.0］上有400個解，

所以函數(shù)y=/(x)在［-2005,2005］上有802個解.

20.解⑴(1)當(dāng)女=0時，此時A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=1

(2)當(dāng)女工0時，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(aJ)

所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有&/=一1,1人=一1=>4=—女

a

故G點(diǎn)坐標(biāo)為G(—上,1).

k|

從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)(線段OG的中點(diǎn))為M［-一,-)

22

2

折痕所在的直線方程y—］1=Mx+3k),即丁=米+己k-+］k

由(1)(2)得折痕所在的直線方程為：

J女2卜

k=0時，y=—；%H0時y=AxH---------1—

-222

(ID(1)當(dāng)時,折痕的長為2;

22

k+1k+1

(2)當(dāng)時，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N(0,-----),P(--------,0)

22k

y=pNJ(』+(-S)=H

22k4k2

13()2+1)2.21.4.2_(左2+［)3.弘

，---------------------------------

令y/=0解得k=-J:?P%=—<2

216

所以折痕的長度的最大值2.

2006年高考數(shù)學(xué)廣東卷（理科）

第一部分選擇題（共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

3x2

1、函數(shù)/（幻=亍0+1虱3》+1）的定義域是

S-x

A.（一g,+8）B.C.（H）

D.(-00,--)

2、若復(fù)數(shù)z滿足方程Z?+2=0,則z?=

A.+2>/2B.-2V2C.-2y/2iD.+2.V2/

3、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

D.j=(^)x,xeR

K.y--x3,xeRB.y=sinx,xe：RC.y-x,xeR

4、如圖1所示，。是AABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量而=

—1——?1—

A.-BC+-BAB.-BC--BA

22

—?1——■1—

C.BC——BAD.BC+-BA

22

5、給出以下四個命題：

①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交

線平行，

②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面

③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行，

④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

其中真命題的個數(shù)是

A.4B.3C.2D.1

6、已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為

A.5B.4C.3D.2

7、函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=/T(x)的圖像與y軸交于點(diǎn)

尸(0,2)(如圖2所示)，則方程/(x)=0在[1,4]上的根是x=

A.4B.3C.2D.1

8、已知雙曲線3x2-丁=9,則雙曲線右支上的點(diǎn)尸到右焦點(diǎn)的

距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于

A.41B./2C.2D.4

3

x>0

V>0

9、在約束條件《‘一下當(dāng)34x45時，目標(biāo)函數(shù)Z=3x+2y

.y+2x44

的最大值的變化范圍是

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

10、對于任意的兩個實(shí)數(shù)對(。,/?)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),

當(dāng)且僅當(dāng)a=c力=d；運(yùn)算“③”為：

(a,b)?(c,d)-(ac-bd,bc+ad')；運(yùn)算"十"為:(a,b)?(c,d)-(a+c,b+d),設(shè)

若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1⑵十(p,q)=

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

第二部分非選擇題(共100分)

二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.

12、棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_____.

13、在(x-K)”的展開式中，d的系數(shù)為_______.

x

14、在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三

棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個

圖4

球；笫2,3,4,…堆最底層(第一層)分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球

自然壘放在下一層之上，第”堆第〃層就放一個乒乓球，以/(〃)表示第〃堆的乒乓球總數(shù)，則

/(3)=；/(n)=(答案用”表示).

三解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15、(本題14分)已知函數(shù)/(%)=sinx+sin(x+y),x6R.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)的的最大值和最小值；

(HI)若/(</)=?,求sin2a的值.

16、(本題12分)某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布如下：

X0678910

P00.20.30.30.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為二

(I)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率

(II)求g的分布列

(III)求J的數(shù)學(xué)期望

17、(本題14分)如圖5所示，4八OE分別世0、

Q的直徑，AO與兩圓所在的平面均垂直，

AD=S.BC是。的直徑，

AB=AC=6,OE//AD.

(I)求二面角B-AD-F的大??；

(H)求直線8。與EF所成的角.

18、(本題14分)設(shè)函數(shù)/(》)=-/+3、+2分別在%、々處取得極小值、極大值.xoy平面上點(diǎn)

A、8的坐標(biāo)分別為(再)/(再)、(工，該平面上動點(diǎn)尸滿足，點(diǎn)。是點(diǎn)P關(guān)

于直線y=2(x-4)的對稱點(diǎn).求

(D求點(diǎn)A、8的坐標(biāo)；

(II)求動點(diǎn)。的軌跡方程.

19、(本題14分)已知公比為qg<q<1)的無窮等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)的和為9,無窮等比數(shù)列忖｝

Q1

各項(xiàng)的和為之.

5

⑴求數(shù)列｛勺｝的首項(xiàng).和公比q；

(H)對給定的以憶=1,2,3,…,〃)，設(shè)T⑹是首項(xiàng)為《，公差為2q—1的等差數(shù)列，求T⑵的前

10項(xiàng)之和；

(IID設(shè)片為數(shù)列T">的第，項(xiàng)，S“=&+A+…+2，求S“，并求正整數(shù)m｛m>1),lim工匚

m

n

存在且不等于零.

(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)〃18時該無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)

20、(本題12分)A是定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)#(x)組成的集合：①對任意的

xe[l,2],都有以2x)e(l,2)；②存在常數(shù)L(0<L<1),使得對任意的占了?曰1,2],都有

I(pQx、)-<p(2x2)l<Z,Ix,-x,I.

⑴設(shè)e(2x)=+x,xe[2,4],證明：<p(x)eA

(II)設(shè)9(x)eA,如果存在/e(l,2),使得%=9(2%),那么這樣的.是唯一的；

(III)設(shè)火x)e4,任取士€(1⑵,令X“T=C(2X“)，〃=1,2,…，證明：給定正整數(shù)4,對

任意的正整數(shù)p,成立不等式I玉”-X.K臺I々-玉1

參考答案

第一部分選擇題(50分)

3x2

1、函數(shù)/(x)亍三+lg(3x+l)的定義域是

A/1-X

A.(一；,+8)B.(一;()C?(K

D.s,—7

[1—x>01

1、解:由<=>---<x<l,故選B.

3x+l>03

2、若復(fù)數(shù)z滿足方程3+2=0,貝Uz3=

A.±2-72B.-2V2C.-2V2iD.±2V2i

2、由z2+2=0nz=+y/2in=+2y[2.i,故選D.

3、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

A.y=-x,xeRB.y=sinx,xG/?C.y=x,xeRD.

y=(g)x,xeR

3、B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域

內(nèi)不是奇函數(shù)，是減函數(shù)；故選A.

4、如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量CO=

—,)—?—?)—

A.-BC+-BAB.-BC——BA

22

—■1—*—,1—,

C.BC——BAD.BC+-BA

22

而=而+前=-麗+,豆，故選A.

4、

2

5、給出以下四個命題

①如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交,那么這條直線和交

線平行；

②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面;

③如果兩條直線都平行于一個平面,那么這兩條直線互相平行；

④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么些兩個平面互相垂直.

其中真命題的個數(shù)是

A.4B.3C.2D.1

5、①②④正確，故選B.

6、已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是y-

4

B.4C.3

=>d=3,

圖2

7、函數(shù)〉=/（幻的反函數(shù)^=/7。）的圖象與丫軸交于點(diǎn)/＞（0,2）（如圖2所示），則

方程/（x）=O的根是x=

B.3C.2

7、/（幻=0的根是》=2,故選C

8、已知雙曲線3》2一y2=9,則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之

比等于

A.yp2

22

8、依題意可知a^y[3,c^Ja+b=V3+9=273,e=-=^-=2,故選C.

9、在約束條件VF,當(dāng)3Ks<5時,

x+y<5

y+2x<4

目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是

圖3

A.[6,15JB.[7,15]C.[6,8]D.[7,8J

x+y=sx=4-s

9、由《'交點(diǎn)為A(0,2),8(4—s,2s—4),C(0,s),C'(0,4),

y+2x=4[y=2s-4

(1)當(dāng)34s<4時可行域是四邊形OABC,此時，7?z48

(2)當(dāng)44s45時可行域是△OAC'此時，Zmax=8

故選D.

10、對于任意的兩個實(shí)數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“(8)”

為：(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad),運(yùn)算"十”為：(a,b)十(c,d)=(a+c]+d),

設(shè).p,qeR,若

(1,2)?(p,q)=(5,0)則(1,2)十(p,q)=

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

p-2a=5Ip=1

10、由(1,2)0(p,q)=(5,0)得:“八0/.

2p+q=()[q=-2

所以(1,2)十(p,q)=(1,2)?(1,-2)=(2,0),故選B.

第二部分非選擇題(100分)

二、填空題

11、

「/41、「11

11、lim（-------------）=lim-----=—

x->-24-x22+xx->-22-x4

12、若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

12、d-3-\/3=>R=3"=S=4成2=27萬

2

13、在（X—2）的展開式中，x5的系數(shù)為

13、%]=C；4'（-2）i~=（-2pn2-ll=5nr=8

X

所以尤5的系數(shù)為（_2）1~弓1尸=（一2）3點(diǎn)=—1320

14、在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三

圖4

棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個乒乓球；第2、3、4、…堆最底層(第一層)分

別按圖4所示方式固定擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層

就放一個乒乓球，以/(〃)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則/(3)=；/(〃)=(答案

用n表示).

..八,z."(〃+l)(〃+2)

14、/(3)=10)/(〃)=-----------

O

三、解答題

15、(本小題滿分14分)

JI

已知函數(shù)/(x)=sinx4-sin(x+y),xGR

(I)求/(x)的最小正周期;

(II)求了。)的最大值和最小值；

3

(III)若f(a)=一,求sin2a的值.

4

15解：/(x)=sinx4-sin(x+—)=sin%+cosx=41sin(x+—)

24

(I)/(x)的最小正周期為T=牛=2乃；

(ID/*)的最大值為、歷和最小值-J5；

337

(111)因?yàn)?(a)=—,即sina+cosa-----①=>2sinacosa=----,即

4416

.c7

sm2a-----

16

16、(本小題滿分12分)

某運(yùn)動員射擊?次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:

X0-678910

Y00.20.30.30.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為￡

(I)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率;

(【【)求§分布歹IJ;

(Ill)求g的數(shù)學(xué)希望.

16解：(I)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率為P(7)=02x0.2=0.04；

(IDJ的可能取值為7、8、9、10

p(g=7)=0.04P(^=8)=2x0.2x0.3+0.32=0.21

PC=9)=2x0.2x0.3+2x0.3x0.3+0.32=0.39

P(&=10)=2x0.2x0.2+2x0.3x0.2+2x0.3x0.2+0.22=0.36

g分布列為

478910

P0.040.210.390.36

(III)J的數(shù)學(xué)希望為EJ=7X0.04+8x0.21+9x0.39+10x0.36=9.07.

17、(本小題滿分14分)

如圖5所示，AF、DE分別是。0、。01的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂

直，AD=8,BC是。0的直徑，AB=AC=6,0E//AD.

(I)求二面角B—AD—F的大??；

(H)求直線BD與EF所成的角.

17、解：(I)：AD與兩圓所在的平面均垂直，

.-.AD±AB,AD1AF,故/BAD是二面角B—AD—F的平面角,

依題意可知，ABCD是正方形，所以NBAD=45°.

即二面角B—AD—F的大小為45°；

(H)以0為原點(diǎn)，BC、AF、0E所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則0(0,

0,0),A(0,-342,0),B(3A/2,0,0),D(0,-342,8),E(0,0,8),F(0,3叵,

0)

所以，筋=(-372-372,8),~FE=(0-372,8)

麗.標(biāo)0+18+64廊

cos<BD,EF>=

IBDIIF￡lVi00xV8210

設(shè)異面直線BD與EF所成角為a,則cosa=1cos<BD,EF>\=

loy

直線BD與EF所成的角為arccos^—

10

18、(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=-1+3x+2分別在X1、叼處取得極小值、極大值.xoy平面上點(diǎn)A、B的

坐標(biāo)分別為(%1,))、(x2,f(x2)),該平面上動點(diǎn)P滿足"?麗=4,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直

線y=2(尤一4)的對稱點(diǎn).求(I)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(H)動點(diǎn)Q的軌跡方程

18解：(I)令/'。)=(一_?+3%+2)'=-3/+3=0解得％=1或》=一1

當(dāng)x<-l時，/'(x)<0,當(dāng)一1<X<1時，/(x)>0，當(dāng)x〉l時，/'(x)<0

所以，函數(shù)在x=-l處取得極小值，在x=\取得極大值，故

X1=-1,X2=1,/(-1)=0,/(1)=4

所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(T,0),B(l,4).

(II)設(shè)p(〃z,n),Q(x,y),PA?PB=(-1—?(1-m,4-n)-m2-1+/?2-4n=4

kpQ=—工，所以上二巳=_,，又PQ的中點(diǎn)在y=2(x—4)上，所以"?=2(衛(wèi)2一41

2x-m22I2J

消去機(jī)，〃得(X-8)2+(y+2)2=9

19、(本小題滿分14分)

已知公比為q(O<q<l)的無窮等比數(shù)列｛?！埃黜?xiàng)的和為9,無窮等比數(shù)列僅2“｝各項(xiàng)的和為

81

T,

(I)求數(shù)列｛冊｝的首項(xiàng)為和公比q；

(H)對給定的左(％=1,2,3,…,〃)，設(shè)7⑹是首項(xiàng)為傲,公差為2%-1的等差數(shù)列.求數(shù)列

T㈤的前10項(xiàng)之和;

(HD設(shè)4為數(shù)列T⑴的第i項(xiàng)，S”=瓦+%+???+",求S“，并求正整數(shù)機(jī)(機(jī)>1),使得

lim」存在且不等于零.

M—><?m

(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)〃Too時該無窮數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)

.

~9%=3

1-(

19解：(I)依題意可知，〈81<7=|

a

「13

(|)，所以數(shù)列T⑵的的首項(xiàng)為6=與=2,公差

(II)由(I)知，an=3x

d=2%-1=3,

S=10x2+—xl0x9x3==155,即數(shù)列T⑵的前10項(xiàng)之和為155.

i1o02

-(i—l)=3(2i—?-(I),

(III)瓦=%+(i-1*2%-1)=⑵--

S,=45-(18"+27gJ-當(dāng)J,.Sn4518n+27f2Y?(/z-l)

-3mgn〃'n,nUJ2nm

S1S

當(dāng)m=2時、lim—當(dāng)m>2時、lirn———0,所以m-2

nm

〃―>8及"'2~?8n

20、(本小題滿分12分)

A是由定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)0(x)組成的集合：①對任意xe[l,2],都有

<p(2x)e(1,2)；②存在常數(shù)L(O<L<1),使得對任意的為產(chǎn)2e[1,2],都有

I尹(2jq)—(p(lx2)l<LI%]-x2I

(I)設(shè)°(x)=A/1+X,XG[2,4]，證明：夕(x)eA

(II)設(shè)(p(x)eA,如果存在x0e(1,2),使得x0=9(2%),那么這樣的x0是唯一的;

OH)設(shè)夕(x)€A,任取即G(1,2),令x”+|=0(2x“),〃=l,2,…，證明:給定正整數(shù)k,對任意的

正整數(shù)P,成立不等式Ix-x1<----\x-xI

k+lk\—L2}

解：對任意xG[1,2],°(2x)=V1+2x,xG[1,2],V3<(p(2x)<追，1<打<粥<2,所

以e(2x)w(l,2)

對任意的XpX2G[1,2]，

2

I(p(2x.)-(p(2x)1=1x,-x\,=-------，

?-9-y(l+2xj+/1+2/11+.)+#(1+》2)-

3<y(l+2xj+3/(1+2X,X1+X2)+^(1+X2),所以

2

0<,~————一“、二

lj(l+2x,)*+V(1+2X])(1+尤2)+#(1+i2)

22

<-,令―、/:―，/比=L，O<L<1，

3y(l+2xj+#(1+2X/1+X2)+W+X2)

I°(2X])-(p(2x2)l<LI%!-x2I

所以9(x)GA

反證法:設(shè)存在兩個腐G(1,2),x0wx］使得.=*(2%o)，無［=0(2xj)則

由I0(2x())—0(2項(xiàng))，)隆乙IA；。一x。/I,得Ix。一天/KLIX。一/'I,所以L21,

矛盾，故結(jié)論成立。

k3-％|=忸(2%2)-夕(2尤1)|<l\x2-x\,所以<“+1_“4L"T|x2-xj

M+0-Xk1=|(x*+p-Z+pT)+(x*+p_|-x*+0-2)+…(乙+1-xj40IX2-X|I

+X—X1—X+

-\Xk+p-Xk+p-lI|A+p-lXk+p-zl+",|*+1~Xk\~|x2—X||+L'|-^2l|'"

L—L

2007年廣東卷數(shù)學(xué)(理科)

參考公式：錐體的體積公式丫=’5隊(duì)其中S是錐體的底面積，力是錐體的高.

3

如果事件4B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件48相互獨(dú)立，那么P(4B)=P(A)P(B).

八Zx*一〃*.

用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,b=-----------,a=