自動(dòng)控制原理胡壽松根軌跡法課件

4-1根軌跡法的基本概念4.1.1根軌跡

反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律就知道了。但是對(duì)于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個(gè)可變參數(shù)時(shí)，求根就更困難了。4-1根軌跡法的基本概念4.1.1根軌跡1

1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。在已知開環(huán)零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時(shí)，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點(diǎn)。

定義：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0

時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解2式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。Kg

=2K稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：舉例說明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0<K<

，閉環(huán)特征根在s平面上的移動(dòng)路徑及其特征。

Ks(0.5s+1)﹣+R(s)C(s)

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。Kg=2K稱為系統(tǒng)的開3

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s2+2s+Kg

=0

求得閉環(huán)特征根為：(1)Kg=0：s1=0,s2=

2,是根跡的起點(diǎn)(開環(huán)極點(diǎn)),用“

”表示。2

j

01(2)0<Kg<1：s1，s2均是負(fù)實(shí)數(shù)。Kg

s1

，s2

。

s1從坐標(biāo)原點(diǎn)開始沿負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)；s2從（

2，j0）點(diǎn)開始沿負(fù)實(shí)軸向右移動(dòng)。(3)

Kg=1：s1=s2=1，重根。閉環(huán)特征根s1，s2是Kg函數(shù)，

隨著Kg的改變而變化。(4)

Kg>1：Kg=0Kg=0Kg=1Kg

Kg

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s2+2s+Kg=4

根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)有如下的結(jié)論：（1）n階系統(tǒng)有n個(gè)根，根軌跡有n條分支；（2）每條分支的起點(diǎn)(Kg=0)位于開環(huán)極點(diǎn)處；（3）各分支的終點(diǎn)(Kg

)或?yàn)殚_環(huán)零點(diǎn)處或?yàn)闊o限點(diǎn)；（4）重根點(diǎn)，稱為分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1Kg

Kg

根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當(dāng)Kg從0

時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)對(duì)所有的Kg值都是穩(wěn)定的。根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點(diǎn)，可以推得n階系統(tǒng)，會(huì)有如5

如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入s右半平面，此時(shí)根跡與虛軸交點(diǎn)處的Kg值，成為臨界開環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于1型系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的Kg值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果給定系統(tǒng)對(duì)ess

有要求，則對(duì)Kg有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1Kg

Kg

如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入s右半平面，62

j

01Kg=0Kg=0Kg=1Kg

Kg

3.動(dòng)態(tài)性能由圖可見，當(dāng)0<Kg<1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)均位于負(fù)實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。

當(dāng)Kg=1時(shí)，閉環(huán)兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)Kg>1時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。2j01Kg=0Kg=0Kg=1Kg74.1.2根軌跡方程

研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)±+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:D(s)=1±

G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=±1若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式4.1.2根軌跡方程系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C8

式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，zi為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。上述方程又可寫為：

“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋，“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋。由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，由上式制約的s在s平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。根軌跡的幅值方程：式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，zi為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，9根軌跡的幅角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。（4-6）通常稱為180

根軌跡；（4-7）稱作0

根軌跡。

根據(jù)這兩個(gè)條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg值。幅角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，繪制根軌跡時(shí)，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。“-”號(hào)，對(duì)應(yīng)負(fù)反饋“+”號(hào)對(duì)應(yīng)正反饋根軌跡的幅角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。10

下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和幅角條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖示。p2p3

j

0p1z1s1

1

1

2

3

在s平面找一點(diǎn)s1

，畫出各開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量。

檢驗(yàn)s1是否滿足幅角條件：

(s1

z1)[(s1

p1)+(s1

p2)+(s1

p3)]=1

1

2

3=(2k+1)

？？

如果s1點(diǎn)滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點(diǎn)。尋找下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和幅角條件繪制11在s平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。

在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時(shí)可用幅角條件使其精確化，從而使整個(gè)根規(guī)跡的繪制過程大為簡(jiǎn)化。在s平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1點(diǎn)，將這些點(diǎn)連成光滑曲線124-2繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1繪制180o根軌跡的基本法則法則1

根軌跡的連續(xù)性

由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫出幾個(gè)特征點(diǎn)，描點(diǎn)連線即可畫出整個(gè)根軌跡。180o根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：

在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開環(huán)根軌跡增益Kg，這種根軌跡習(xí)慣上稱之為常規(guī)根軌跡。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法如下：4-2繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1繪制180o13法則2

根軌跡的對(duì)稱性

由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實(shí)軸上部的根軌跡，實(shí)軸下部的根軌跡可由對(duì)稱性繪出。法則3

根軌跡的條數(shù)n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個(gè)根。當(dāng)Kg從0

連續(xù)變化時(shí)，n個(gè)根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個(gè)數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。法則2根軌跡的對(duì)稱性由于閉環(huán)特征根是實(shí)數(shù)或者共14

j

0K=0K=0K

K

0j

0j

Kg

Kg

Kg

j0K=0K=0KK0j15

0

j

0

j

-1-2j10j0j-1-2j116法則4

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

根軌跡起始于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)，終止于系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)。根軌跡上Kg=0的點(diǎn)為起點(diǎn)，Kg

時(shí)的點(diǎn)為終點(diǎn)。1+G(s)H(s)=0證明：

當(dāng)Kg=0時(shí)，有

s=pj(j=1,2,…,n)

上式說明Kg=0時(shí)，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點(diǎn)。法則4根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)1+G(s)H(s)=17

當(dāng)Kg

時(shí)，有

s=zi(i=1,2,…,m)

所以根軌跡必終止于開環(huán)零點(diǎn)。在實(shí)際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中m

n，有m條根軌跡終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)處，另有n

m條根軌跡的終點(diǎn)將在無窮遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為有n

m

個(gè)無窮遠(yuǎn)處的開環(huán)零點(diǎn)。

將特征方程改寫為：當(dāng)Kg時(shí)，有將特征方程改寫為：18法則5

根軌跡的漸近線

根據(jù)法則4，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中m<n時(shí)，將有n

m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為

a，交點(diǎn)為

a的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,n

m1)法則5根軌跡的漸近線(k=0,1,…,n19法則6

實(shí)軸上的根軌跡分布

實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。“奇是偶不是”證明：設(shè)零、極點(diǎn)分布如圖示：p2p3

j

0p1z1s1

1

1=0

2

3

在實(shí)軸上取一測(cè)試點(diǎn)s1

。

由圖可見，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸s1點(diǎn)的向量幅角和為2

，復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)如此。因此在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。法則6實(shí)軸上的根軌跡分布p2p3j0p20

s1點(diǎn)左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角均為零，也不影響實(shí)軸上根軌跡的幅角條件。而s1點(diǎn)右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角為

。如果s1是根軌跡，則只有當(dāng)零極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足幅角條件：

j

i

=(2k+1)

即如果s1所在的區(qū)域?yàn)楦壽E，其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和必須為奇數(shù)。p2p3

j

0p1z1s1

1

1=0

2

3s1點(diǎn)左邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅21例4-1

設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)、漸近線及根軌跡在實(shí)軸上的分布。

解：開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=

1、p3=

5。系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個(gè)有限的開環(huán)極點(diǎn)，由于不存在有限的開環(huán)零點(diǎn)，當(dāng)Kg

時(shí)，沿著三條漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實(shí)軸上的交點(diǎn)例4-1設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡22

0

j

實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，

1)和(

5，

)的實(shí)軸段上。60

三條漸近線與正實(shí)軸上間的夾角：-20j實(shí)軸上的根軌跡分布在(0，1)和(523法則7根軌跡分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

兩條或兩條以上的根軌跡在s平面上相遇后立即分開的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn))。

0

j

z1j1Ap1p2Kg

Kg

Kg=0Kg=0法則7根軌跡分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)0jz1j1Ap24分離點(diǎn)的性質(zhì)：

1）分離點(diǎn)是系統(tǒng)閉環(huán)重根；

2）由于根軌跡是對(duì)稱的，所以分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)在復(fù)平面上；

3）實(shí)軸上相鄰兩個(gè)開環(huán)零（極）點(diǎn)之間（其中之一可為無窮零（極）點(diǎn)）若為根軌跡，則必有一個(gè)分離點(diǎn)；

4）在一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間若有根軌跡，該段無分離點(diǎn)或分離點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。

j

0分離點(diǎn)的性質(zhì)：4）在一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)極25

證明：根軌跡在s平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè)s=d處為分離點(diǎn)。確定分離點(diǎn)位置的方法（均需驗(yàn)證）：式中，zi、pj是系統(tǒng)的有限開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。

分離點(diǎn)上，根軌跡的切線與正實(shí)軸的夾角稱為根軌跡的分離角，用下式計(jì)算：k為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。法一：重根法（極值法）法二：公式法設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則d滿足如下公式：牢記！證明：根軌跡在s平面上相遇，說明閉環(huán)特征方26[證畢][證畢]27例4-2

求例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。

解：根據(jù)例4-1，系統(tǒng)實(shí)軸上的根軌跡段（

1，0），位于兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點(diǎn)。設(shè)分離點(diǎn)的坐標(biāo)為d，則3d2+12d+5=0

d1=

0.472d2=

3.53(不在根軌跡上，舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？)分離點(diǎn)上根軌跡的分離角為±90°。

0j

如果方程的階次高時(shí)，可用試探法確定分離點(diǎn)。d1=

0.472例4-2求例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。28

例4-3

已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：

0j

d=

2.5左=0.67右=0.4d=

2.01左=0.99右=99.49d=

2.25左=0.8右=3.11d=

2.47左=0.68右=0.65d=

2.47例4-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。29法則8根軌跡與虛軸交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點(diǎn)上的坐標(biāo)（包括閉環(huán)極點(diǎn)和臨界增益）可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。

方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。例4-5

求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：方法一：s3+6s2+5s+Kg=0令s=jω，則

(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0法則8根軌跡與虛軸交點(diǎn)方法一：s330

ω3+5ω=0

6ω2+Kg=0Kg=0(起點(diǎn)，舍去)，Kg=30方法二：s3+6s2+5s+Kg=0勞斯表為s315s26Kgs1(30

Kg)/6s0Kg

當(dāng)Kg=30時(shí)，s1行全零，勞斯表第一列不變號(hào)，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：

6s2+Kg=0(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0ω3+5ω=06ω2+31

0

j

d=

0.472

Kg=30Kg

Kg

Kg

j2.24Kg=300jd=0.472Kg=30K32法則9

根軌跡的出射角與入射角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為出射角(起始角)，用

根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸方向的夾角，稱為入射角(終止角)，用

表示；求出這些角度可按如下關(guān)系表示。

證明：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)px,x+1

。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點(diǎn)px的根軌跡上取一點(diǎn)s1

?！唉屑恿闳ビ鄻O”“π加極去余零”法則9根軌跡的出射角與入射角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切33pxPx+1

j

0s1

由于s1無限接近px，因此，除px外，所有其它開環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量幅角，都可以用它們到px的向量幅角來代替，而px到s1點(diǎn)的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點(diǎn)必滿足幅角條件，應(yīng)有移項(xiàng)后，立即得到法則中的公式。

[證畢]pxPx+1j0s1由于s134

0

j

-1-2j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：例4-4

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為起始角與終止角

1

2

3

1

3

2=180

+

1+

2+

3

1

2

3=180

+56.5

+19

+59

108.5

37

90=790j-1-2j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。例4-35

0

j

-1-2j1=180

117

90

+153

+63.5

+119

+121

=149.50j-1-2j1=18011736試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)

p1=0、p2,3=

1±j

漸近線：

3條

0

j

例4-6設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。0j例4-6設(shè)負(fù)反37

根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

s3+2s2+2s+Kg=0

勞斯表s312s22Kgs1(4

Kg)/2s0Kg

令s1系數(shù)為0，得Kg=4代入輔助方程2s2+Kg=0

實(shí)軸上根軌跡：(

，0)，即整個(gè)負(fù)實(shí)軸。出射角：根軌跡與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s338繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。

0

j

12Kg

Kg

Kg

j1.414Kg=4-45°繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。0j12Kg39法則10閉環(huán)極點(diǎn)的和與積繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時(shí)，可利用該法則。若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即n

m

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。證明：式中(韋達(dá)定理)法則10閉環(huán)極點(diǎn)的和與積式中(韋達(dá)定理)40根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若n

m

2，則

利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對(duì)需要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，靠近虛軸或原點(diǎn)附件的根軌跡對(duì)分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制。[證畢]

-a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)或開環(huán)極點(diǎn)的重心。表明當(dāng)Kg變化時(shí)，一些根增大時(shí)，另一些必然減小；即一些根軌跡右行，一些必然左行，重心保持不變。

1）根的分量之和是一個(gè)與Kg無關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若nm2，則41試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。

解：例4-7

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫成零極點(diǎn)表達(dá)式試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。例4-7設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函42

0

j

-1-2j1d=

0.59(舍去)

d=

3.41

結(jié)論：由兩個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)K從0

時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分。d0j-1-2j1d=0.59(舍去)43

0

j

-1-4-2

j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：

例4-8

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：

a=

2

a=45,135分離點(diǎn)：d=

2

d=

2j2.45與虛軸交點(diǎn)：Kg=260s=j3.160j-1-4-2j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根444.2.20

根軌跡的基本法則此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為

D(s)=1

G(s)H(s)=0或此時(shí)的根軌跡稱為0

根軌跡。4.2.20根軌跡的基本法則此時(shí)研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)45根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅值方程：繪制0

根軌跡的基本法則如下：法則1

根軌跡的連續(xù)性同180

根軌跡。法則2

根軌跡的對(duì)稱性同180

根軌跡。法則3

根軌跡的條數(shù)同180

根軌跡。法則4根軌跡的起點(diǎn)(Kg=0)和終點(diǎn)(Kg

)

同180

根軌跡。

顯然0

根軌跡的幅值方程與180

根軌跡的完全相同，只是幅角相差一個(gè)π，因此只要把180

根軌跡法則中，與幅角相關(guān)的項(xiàng)進(jìn)行修正，即可獲得繪制0

根軌跡的基本法則。根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅值方程：繪制0根軌跡的基本法則46法則5

根軌跡的漸近線。當(dāng)開環(huán)傳函中m<n時(shí)，有n

m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為

a，交點(diǎn)為

a的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,n

m1)法則6實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡?！芭际瞧娌皇恰狈▌t5根軌跡的漸近線。(k=0,1,…,n47法則7根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)同180

根軌跡。法則8根軌跡與虛軸交點(diǎn)的確定方法同180

根軌。但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0

若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)

=

0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。法則7根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)同180根軌跡。法則848法則10閉環(huán)極點(diǎn)的和與積

若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即n

m

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。

1）根的分量之和是一個(gè)與Kg無關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。法則9

根軌跡的出射角與入射角“0加零去余極”“0加極去余零”法則10閉環(huán)極點(diǎn)的和與積法則9根軌跡的出射角與入射49例4－5設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡。解：按0

根軌跡的法則繪制。有2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：-2，-4；1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-1。m=1,n=2

根據(jù)法則1和2：根軌跡是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的連續(xù)曲線。根據(jù)法則3和4：根軌跡有2條分支，起始于2個(gè)極點(diǎn)，1條終止于開環(huán)零點(diǎn)，1條終止于無窮遠(yuǎn)處。根據(jù)法則5，根軌跡有1條漸近線。例4－5設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡。解：按50

0

j

-1-2Aj1.414-4d2d1根據(jù)法則6和7，實(shí)軸上的根軌跡為存在2個(gè)分離點(diǎn)，由下式求得分離角＝±90°根據(jù)法則8，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)0j-1-2Aj1.414-4d2d1根據(jù)法則651

0

j

-1-2Aj1.414-4d2d1

根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡如圖所示，箭頭為kg增大的方向。0j-1-2Aj1.414-4d2d1根524.2.3參變量系統(tǒng)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=GH(s,X)X為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=1±G(s)H(s)=1±GH(s,X)=0可整理為

式中，GH

’(s)為等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為常規(guī)根軌跡或0

根軌跡。4.2.3參變量系統(tǒng)的根軌跡式中，GH’(s)53例4-9

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3

+s2+0.25s+0.25a=0于是，等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為把a(bǔ)視為根跡增益，可繪制出a變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。例4-9已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制參數(shù)a54

0

j

0.51漸近線：σa=

1/3

a=π/3，5π/3，π。根軌跡與虛軸的交點(diǎn):a=1s=

j/2a

j0.5a

=1分離點(diǎn)：

d1=

1/6,d2=

1/2。a

0j0.51漸近線：根軌跡與虛軸的交點(diǎn):a55試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。

解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)都在s平面右半部具有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z=1。所以，系統(tǒng)均屬非最小相位系統(tǒng)。4.2.4非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

在s平面右半部具有開環(huán)零點(diǎn)和（或）極點(diǎn)的反饋系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。繪制方法同最小相位系統(tǒng)，但必須將開環(huán)傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后才能確定按180

根軌跡還是0

根軌跡的法則繪制。例4-10設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)56其根軌跡方程為可按180o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)(2)，其閉環(huán)特征方程為此時(shí)按0o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對(duì)系統(tǒng)(1)，其閉環(huán)特征方程為其根軌跡方程為可按180o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。574-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法4.3.1閉環(huán)零點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)的確定

只要求出系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)，就知道系統(tǒng)的響應(yīng)，就可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的性能分析。

1.由開環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)考查圖4-6所示的反饋控制系統(tǒng)。設(shè)

首先繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進(jìn)行系統(tǒng)綜合或校正。本節(jié)只討論在根軌跡分析中應(yīng)注意的問題。4-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法4.3.1閉環(huán)零點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)58zi、pj、KGg分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。zk、pl、KHg分別是系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為zi、pj、KGg分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)、59

比較上兩式，即有如下結(jié)論：

1)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由其前向通道G(s)的零點(diǎn)(m1個(gè))和其反饋通道H(s)的極點(diǎn)(n2個(gè))兩部分組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1,閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。

2)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其前向通道的根軌跡增益。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開環(huán)根軌跡增益。

設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益分別為zj、si和KΦg，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為比較上兩式，即有如下結(jié)論：設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)602.應(yīng)用試探法確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)

根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)，沒有固定的規(guī)律求出閉環(huán)極點(diǎn)，在某一確定的Kg下的閉環(huán)極點(diǎn)，可以由幅值方程試探確定：在根軌跡上取一試探s1

代入已知增益下的幅值方程，成立則是，得到幾個(gè)后，可以根據(jù)法則10求出另外一些。過程中可以根據(jù)特征點(diǎn)確定搜索范圍。比較麻煩，精度受限制，往往需借助于MATLAB等仿真工具。

例4－8P1722.應(yīng)用試探法確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)614.3.2.閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響

只要利用根軌跡得到閉環(huán)系統(tǒng)在某一確定的Kg下的零極點(diǎn)，就可以寫出此時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，就可以對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。

下面以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為例，考查閉環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。

設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中，zj，si和KΦg分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。于是單位階躍作用下系統(tǒng)輸出的相函數(shù)為：4.3.2.閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響式中，62經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

上式表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由Ai、si決定，即與系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布有關(guān)。分析上述各式，閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律如下：經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為上式表明，系63

（1）穩(wěn)定性：根據(jù)si分布左右平面（存在3條及以上的漸近線，是什么情形？）（2）運(yùn)動(dòng)形態(tài)：根據(jù)si是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)（單調(diào)、衰減振蕩）（3）平穩(wěn)性：阻尼比大（阻尼角?。?.707

（4）快速性：遠(yuǎn)離虛軸，或存在閉環(huán)偶極子

4.3.3利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

例4－9P174試?yán)L制如下幾種情況下Kg從零連續(xù)變化到無窮大時(shí)系統(tǒng)的根軌跡：（1）b→∞,a為有限量；（2）b>a；（3）b=a

（4）b<a;（5）b=0，a為有限量。三.開環(huán)零極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響

決定形狀，若不如意，改造之

1.開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例4-8設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）穩(wěn)定性：根據(jù)si分布左右平面（存在3條及以上的漸近線64解：（1）b→∞,a為有限量時(shí)，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡始終位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。

0

j

aa/3解：（1）b→∞,a為有限量時(shí)，起始于坐標(biāo)原65

（2）b>a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0

j

a(ba)/2

0

j

b（2）b>a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸66

（3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和z=-b構(gòu)成開環(huán)偶極子。

j

0

j

b=-a（3）b=a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡為與67

（4）b<a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。0

j

a(ba)/2

0

j

b（4）b<a時(shí)，起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸68

（5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

j

0

j

-a-a/2（5）b=0，a為有限量時(shí)，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點(diǎn)69

從上例可以看出，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。（4）開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)重合或相近時(shí)，二者構(gòu)成開環(huán)偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的不利影響。

2.開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實(shí)軸上根軌跡的分布。從上例可以看出，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)對(duì)系70

（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。

3.開環(huán)偶極子對(duì)根軌跡的影響開環(huán)偶極子(零極點(diǎn)重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對(duì)根軌跡的影響為：（1）開環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；（2）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點(diǎn)的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點(diǎn)開環(huán)比例系數(shù)的值；（3）合理配置偶極子中的開環(huán)零極點(diǎn)，可以在不影響動(dòng)態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及夾角71P126，式3-111；p153,式4-2增加一對(duì)離原點(diǎn)很近的零極點(diǎn)構(gòu)成開環(huán)偶極子，則若取zc=-0.1,pc=-0.01,則Kc=10K。不影響動(dòng)態(tài)性