江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（三）（解析版）

江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷(三)

(滿分：150分，考試時間：12()分鐘)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.若(。+4)(1一i)>0,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=是()

1+Z

A.正實(shí)數(shù)8.負(fù)實(shí)數(shù)C.純虛數(shù)D.虛數(shù)

2.已知集合4={%及=或二/},8={,卜=/},其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則Afl8=()

A.0B.[—2,+oo]C.[2,+oo]D.(0,2]

3.城鄉(xiāng)居民人均可支配收入是國民經(jīng)濟(jì)決策的重要依據(jù)，增長得越快，說明生活水平越高，消費(fèi)能力越強(qiáng),

某地區(qū)2010年至2019年城鄉(xiāng)居民人均可支配收入如圖所示，則下列說法中錯誤的是()

城鄉(xiāng)居民人均可支配收入/元

201020112012201320H201520162017201820)9年份

A.這些年該地區(qū)居民生活水平在逐步提高

B.該地區(qū)每一戶家庭的可支配收入每年都在增加

C.這些年該地區(qū)城鎮(zhèn)人均可支配收入與農(nóng)村人均可支配收入有顯著差異

D.這些年該地區(qū)城鎮(zhèn)人均可支配收入與農(nóng)村人均可支配收入的差距略有擴(kuò)大

4.若向量a=(1,1),b=(-4,0),c=4a+Z>,則|c|的最小值是()

A.2B.&C.2A/2D.4

5.在(6+▲)”的展開式中，第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則系數(shù)最大的有理項是()

X

A.第3項氏第4項。.第5項D第6項

6.已知函數(shù)/(幻滿足/(-%)=/(%)，且在(0,+oo)上單調(diào)遞減.若a=/(log023\b=/(log30.2),

c=/(0.23),則〃,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>h>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>h>a

7.車牌識別道閘系統(tǒng)是一個廣泛應(yīng)用的智能系統(tǒng)，先將機(jī)動車車牌號存儲在系統(tǒng)中，當(dāng)檢測的機(jī)動車車牌

號與系統(tǒng)中存儲的機(jī)動車車牌號一致時，道閘會自動打開，否則不打開，那么“機(jī)動車甲在車牌識別”是

“道閘自動打開”的()

A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.若直線匯+，=1(。〉0/>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則圓1+｝；2一2辦一2刀=0面積的最小值是()

ab

A.8萬B4〃C.27rD.無最小值

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全

部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.若函數(shù)/(x)=sin(3￥+°)3>>0,—萬的最小正周期為萬，其圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確

的有()

A.s=2,(p=3

JTLjr

B.函數(shù)/(x)圖象的對稱軸方程是x=丘+]-(%eZ)

C.函數(shù)/(x)的減區(qū)間是噌+%肛居+br](ZeZ)

7T

D.函數(shù)/(x)的圖象向右平移:個單位長度后得到函數(shù)y=sin2x的圖象

10.已知雙曲線±-±=1的左焦點(diǎn)為F,則下列結(jié)論中正確的有()

45

4

A.雙曲線C的準(zhǔn)線方程是x=±—

3

22

B.雙曲線C與雙曲線上--上=1有共同的漸近線

54

C.雙曲線C上到左焦點(diǎn)F距離為5的點(diǎn)有4個

D.過點(diǎn)P(4,V15)與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)的直線有兩條

11.如圖，在正方體ABC。-Age，中，E是棱A片的中點(diǎn)，P是線段4。(不含端點(diǎn))上的一個動點(diǎn),

那么在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，下列說法中正確的有()

A.存在某一位置，使得直線PE和直線8月相交

B.存在某一位置，使得BC//平面AEP

C.點(diǎn)4與點(diǎn)B,到平面PBE的距離總相等

D.三棱錐￡-PBE的體積不變

12.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足/'(幻+1>0,且/(x+1)為奇函數(shù)，那么下列結(jié)論

中正確的有()

A.函數(shù)/(幻的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對稱

B.對于任意的內(nèi)工々，不等式,(*)—/(/)>一1恒成立

C.曲線)，=.f(x)上存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處切線的傾斜角是45°

D.不等式f(x)+x>l的解集是(l,+oo)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若Q0,關(guān)于x的不等式權(quán)+920恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值是.

14.已知過拋物線C:y2=2〃x(p>0)的焦點(diǎn)F的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，線段AB的長為8,且

AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是.

15.干支紀(jì)年法是我國的一種傳統(tǒng)紀(jì)年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”.

天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.

地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥.

“十天干''以“甲”字開始，“十二地支"以"子"字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年，其相配順序為

甲子、乙丑、丙寅、…癸西、甲戌、乙亥、丙子、…癸未；甲申、乙西、丙成…、癸己、甲寅、乙卯、丙

辰…癸亥.如此配對，周而復(fù)始，循環(huán)使用.在上世紀(jì)中，除了1911年，

年也是辛亥年.

16.在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2g.PA±BC,三棱錐P-ABC外接球的半徑為后，則三棱錐P-ABC

外接球的體積是（2分），三棱錐P-ABC體積的最大值是（3分）.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在①!對意的"eN*恒成立，②ak是數(shù)歹ij｛〃｝中的項，③&>SN且SE<S/+2這

S[§2S3S"

三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.

問題：已知數(shù)列｛/｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，數(shù)列｛，｝是等比數(shù)列，且

q=3,仇=1,%+々=2,%+%=16,是否存在正整數(shù)3使得？若攵存在，求出女的最小值；若女不存

在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.（本小題滿分12分）

在平面凸四邊形ABCD中，AB±BD,AB：CD：BD=2：3：4.

jr

（1）若NBAC=—，求AABC的面積與AACD的面積之比；

4

7T

（2）若NCD8=—,,求cosNABC的值.

3

19.(本小題滿分12分)

如圖，在長方體ABC?！校珹6=2A4『點(diǎn)E在棱4片上，且A百=44后，點(diǎn)F在棱

上.

(1)求證：平面AEFL平面ABF；

(2)若BF與平面AA,"。所成的角為45°,求二面角F-AE-B的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾，目前脫貧攻

堅已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2.

用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)(單位：萬元),

繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在

山區(qū).

(1)完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超

過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).

超過1.5萬元不超過1.5萬元總計

平原地區(qū)

山區(qū)10

總計

附：V=?其中

k2.0763.8416.63510.828

0.1000.0500.0100.001

(2)根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，為了更好地落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，從2020年9月

到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取1戶作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣

長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

21.（本小題滿分12分）

過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線與橢圓交于點(diǎn)M,N,我們把線段MN稱為橢圓的通徑在平面直角

坐標(biāo)系xO），中，橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，通徑長為3,圓O以橢圓E的短軸為直徑，且

通徑被圓。截得的弦長為行.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓。的方程.

（2）設(shè)直線/：丁=41一1與橢圓￡交于人，B兩點(diǎn)，與圓。交于P,Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)%,使得P,Q

是線段AB的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

22.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=ln(x+I)-x.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

九2.1

(2)若數(shù)列｛%｝滿足q=2,4+]求證：當(dāng)〃wN*時，afl<4e,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

n

江蘇省南通學(xué)科基地2021屆高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（三）

（滿分：150分，考試時間：120分鐘）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.若（。+方）（1—i）>0,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=生必是（）

1+z

A.正實(shí)數(shù)負(fù)實(shí)數(shù)C.純虛數(shù)D.虛數(shù)

【答案】A

(a+6i)(l—i)(a4-6i)(l—i)

【解析】因為（。+〃所以z------2------>0-

2.已知集合4={%心=/4一》2},3={川,=八},其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則API8=（）

A.0B.[―2,+oo]C.[2,+oo]D.(0,2]

【答案】D

【解析】因為4一工2>0,所以A={z|-2&z{2}.因為函數(shù)）=-的值域為

（0,+8）,所以B={y|y>0},從而A03=（0，2].

3.城鄉(xiāng)居民人均可支配收入是國民經(jīng)濟(jì)決策的重要依據(jù)，增長得越快，說明生活水平越高，消費(fèi)能力越強(qiáng),

某地區(qū)2010年至2019年城鄉(xiāng)居民人均可支配收入如圖所示，則下列說法中錯誤的是（）

城鄉(xiāng)居民人均可支配收入/元

70000

60000

50000?城就

10000T-農(nóng)村

30000

20000

10000

0

2010201120122013201420152016201720182019年份

A.這些年該地區(qū)居民生活水平在逐步提高

B.該地區(qū)每一戶家庭的可支配收入每年都在增加

C.這些年該地區(qū)城鎮(zhèn)人均可支配收入與農(nóng)村人均可支配收入有顯著差異

D.這些年該地區(qū)城鎮(zhèn)人均可支配收入與農(nóng)村人均可支配收入的差距略有擴(kuò)大

【答案】B

【解析】人均可支配收入的增長并不是每一戶家庭可支配收入的增長,所以B錯誤.

4.若向量力=G4,0),c=2a+b,則|c|的最小值是()

A.2B.V2C.2V2D.4

【答案】C

【解析】因為a=(l,1),b=(—4,0),所以c=aG+b=(2一4,入)，從而|c|=

7(A-4)i+A2=/2A2-8A+16=/2(A-2)2+8，所以當(dāng)；I=2時，|c|取最小值2花.

5.在(6+工)”的展開式中，第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則系數(shù)最大的有理項是()

x

A.第3項B.第4項C.第5項。第6項

【答案】B

【解析】因為第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以a=C，得篦=7.因為通項

公式為Tr+i=G(、/7)7f(=)',所以第4項是系數(shù)最大的有理項.

6.已知函數(shù)/(X)滿足/(—x)=/(x),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.若。=/(log023),b=/(log30.2),

c=/(0.23),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】因為/(z)滿足/(一］)=/(工)，所以a=/(logo.23)=f(—log53)=

/(logs3),6=/(log35).g)^0.5=log5y5<log53<l,0V0.23Vo.21=0.2,所

以1。改5>10&3>0.23>0.又因為/(7)在(0,+8)上單調(diào)遞減.所以6Va〈c.

7.車牌識別道閘系統(tǒng)是一個廣泛應(yīng)用的智能系統(tǒng)，先將機(jī)動車車牌號存儲在系統(tǒng)中，當(dāng)檢測的機(jī)動車車牌

號與系統(tǒng)中存儲的機(jī)動車車牌號一致時，道閘會自動打開，否則不打開，那么“機(jī)動車甲在車牌識別”是

“道閘自動打開”的()

A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】依題意知當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)中存儲了機(jī)動車甲的車牌號，道閘會自動打開.機(jī)

動車甲的車牌號是否已存儲在系統(tǒng)中并不知道，所以不能推出道閘一定自動打開；而道

閘自動打開.卻不一定是機(jī)動車甲在車牌識別，也可能是機(jī)動車乙在車牌識別.因此，“機(jī)

動車甲在車牌識別”是“道間自動打開''的既不充分也不必要條件.

8.若直線±+2=l(a>0,b〉0)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則圓/+；/一2℃—2b=0面積的最小值是()

ab

A.8?B47C.2"D.無最小值

【答案】A

rv11

【解析】因為直線二+/=1經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，所以一+7=1，即

醒‘irr1/1abao

因為a>0,。>0,

所以"=。+^)2々.解得"24,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立.

由圓x2+*4y2一2az—2by=0得圓心坐標(biāo)為(a,半徑為/1+4，

所以圓的面積S=7t(a2+ft2)=n［(a+bY-2ab^=nL(ab)2-Zab\,

因此當(dāng)a，=4,即a=b=2時，圓的面積S取最小值87r.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全

部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.

9.若函數(shù)/(x)=sin(3￥+°)3>>0,—萬的最小正周期為萬，其圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確

的有()

A.co=2,(p=i

B.函數(shù)/(x)圖象的對稱軸方程是x=三■rr+看K7T/wZ)

Ji77r

C.函數(shù)/(X)的減區(qū)間是［五+而，五+kG*6Z)

7T

D.函數(shù)f(x)的圖象向右平移y個單位長度后得到函數(shù)3；=5畝21的圖象

【答案】ABC

【解析】因為T=^=冗?所以3=2?

因為直線1=子左側(cè)第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是名一4=去直線］=千右網(wǎng)第一個最低

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是9+￡=東

341Z

所以對稱軸方程是工="+飲AWZ).減區(qū)間是悟+時,蔣+垢］?0?故B和C正確.

IMitL141w.

將N=3y=l代入檢險可知少=手符合題意?故A正確.

要得到函數(shù)y=sin2x的圖象.應(yīng)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移￡個單位長度.故D錯誤.

n

22

10.已知雙曲線土-匕=1的左焦點(diǎn)為F,則下列結(jié)論中正確的有()

45

4

A.雙曲線C的準(zhǔn)線方程是元=±—

3

B.雙曲線C與雙曲線匕一二=1有共同的漸近線

54

C.雙曲線C上到左焦點(diǎn)F距離為5的點(diǎn)有4個

D.過點(diǎn)P(4,V15)與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)的直線有兩條

【答案】AB

【解析】對于A.由雙曲線C的方程知a=2"=而，c=3.所以F(-3,0),準(zhǔn)線

4

方程為z=故A正確.

v2J-2L

對于B,雙曲線C與雙曲線七―7=1的漸近線方程均為店1±2?=0.故B正瑜.

時于C.雙曲線C的左支上有兩個點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為5,右支上只有頂點(diǎn)到點(diǎn)F的距離

為5,故C錯誤.

對于D.點(diǎn)P在雙曲線C上.過點(diǎn)P與漸近線平行的直線與雙曲線C只有一個公共點(diǎn).

與雙曲線C相切的直線與雙曲線C也只有一個公共點(diǎn)，共3條.故D錯誤.

n.如圖，在正方體A6C?！?gG2中，E是棱a用的中點(diǎn)，p是線段4c(不含端點(diǎn))上的一個動點(diǎn),

那么在點(diǎn)p的運(yùn)動過程中，下列說法中正確的有。

A.存在某一位置，使得直線PE和直線B片相交

B.存在某一位置，使得BC//平面AEP

C.點(diǎn)4與點(diǎn)到平面PBE的距離總相等

D.三棱錐G-PBE的體積不變

【答案】BCD

【解析】對于A.假設(shè)存在.則B.BLE.P四點(diǎn)共面.而點(diǎn)P不在平面BbE內(nèi).錯誤.

對于B.因為BC〃平面AED.所以當(dāng)P是直線AC與平面AED的交點(diǎn)時就滿足要求.正確.

對于C.因為的中點(diǎn)E在平面PBE內(nèi).所以點(diǎn)A1與點(diǎn)&到平面P/3E的距離總相等.正確.

對于D.易證AC〃平面皮；E.所以點(diǎn)P到平面BCE的距離為定值.從而三棱錐

P-BGE的體積為定值.即三枝推C「PBE的體積為定值.正確.

12.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足/'(幻+1〉0,且/(x+1)為奇函數(shù)，那么下列結(jié)論

中正確的有()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(I,0)成中心對稱

B.對于任意的％聲x2,不等式八%)二/「2)>—恒成立

占一工2

C.曲線y=/(x)上存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處切線的傾斜角是45°

D.不等式/(x)+x>1的解集是(l,+oo)

【答案】ABD

【解析】對于A.由fCr+D為奇函數(shù)可得函數(shù)八工)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1.0)成中心對稱.正確.

對于B.令FCr)=f(H)+H,則F'Cr)=，(工)+1>0.從而FCr)為增函數(shù)，所以對于任

F5)T5)>0,可得，5)T5)>—1.正琉

意的JCIT^JCZ，

對于C,由/'Cr)+l>0知曲線上任意一點(diǎn)處切線的斜率均大于一1,但并不一

定取到所有大于一1的實(shí)數(shù),所以未必有點(diǎn)使得在該點(diǎn)的斜率為1,故C不一定成立.

對于D.由函數(shù)八工)的定義域為RJ(z+D為奇函數(shù).得八1)=0.令G(Z)=/(H)+H

一1.則G'(1r)=f'(H)+l>0,所以G(工)為增函數(shù).又因為G(1)=/(D+1—1=0,所以

G")>0的解集為(1.+8),即不等式f(z)+z>l的解集是(1.+8),正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.

13.若x>0,關(guān)于x的不等式/一改+920恒成立，則實(shí)數(shù)。的最大值是.

【答案】6

【解析】因為1>0.所以a+-9恒成立.因為.r++?2j.rX§=6.當(dāng)且僅當(dāng)

J=3時取等號.所以實(shí)數(shù)a的最大值是6.

14.已知過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，線段AB的長為8,且

AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是.

【答案】(1,0)

［解析］設(shè)Abi,yi),B(x2.r),則*,*2=3,即HI+HZ=6.因為AB=AF+

BF=（HI+^）+（S+9F+HI+/?=8,所以。=2,故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）.

15.干支紀(jì)年法是我國的一種傳統(tǒng)紀(jì)年方法，如1911年“辛亥革命”中的“辛亥”.

天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.

地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥.

“十天干”以“甲”字開始，“十二地支"以"子"字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年，其相配順序為

甲子、乙丑、丙寅、…癸西、甲戌、乙亥、丙子、…癸未；甲申、乙西、丙成…、癸己、甲寅、乙卯、丙

辰…癸亥.如此配對，周而復(fù)始，循環(huán)使用.在上世紀(jì)中，除了1911年，

年也是辛亥年.

【答案】1971

【解析】當(dāng)??十天干''使用6輪、“十二地支”使用5輪時.恰好是一個周期,共有60

個配對，所以1911年后再過60年,即1971年也是辛亥年.

16.在三棱錐P-ABC中，PA=BC=2j^.PA_LBC,三棱錐P-ABC外接球的半徑為后，則三棱錐P-ABC

外接球的體積是（2分），三棱錐P-ABC體積的最大值是（3分）.

【答案]8叁上；46.

【解析】由球的體積公式有乃尸=8西式

記三棱維P-ABC外接球的球心為O.

因為OP=QA=Q8=OC=H,PA=BC=273,

所以PA,BC的中點(diǎn)均在以O(shè)為球心、點(diǎn)為半徑的球面上，

從而異面直線PA,間的最大距離為2倍.

所以?的最大值是:xlgxZ&'X2聲）X2悟=4伍.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在①」■-<人對意的〃eN*恒成立，②ak是數(shù)列｛a｝中的項，③Sk>Si且Si<S,+2這

3]S2o33〃

三個條件中任選一個，補(bǔ)充到下面的問題中并作答.

問題：已知數(shù)列伍,｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，數(shù)列｛包｝是等比數(shù)列，且

q=3,打=1,。2+4=2,。3+4=16，是否存在正整數(shù)左，使得？若女存在，求出左的最小值；若人不存

在，請說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解析】記等差數(shù)列儲“｝的公差為d,d>0,等比數(shù)列｛6“｝的首項為名，公比為q.

因為。1=3,bs=biq'=1.

所以a?+d=3+d=2■即d+q=—1;①

心+8=3+24+仇q6=]6,即24+q2=13.②2分

q=5,q=-3

由①②得，（舍去）或w4分

d=-6d=2.

所以仇==、>從而b?=（一3尸一5

an=2〃+1.6分

選擇條件①:若Sx”=”(〃+2),則1一一L)，

A"'?L+"Z\w〃十

所以J~+++J-+…+*="ix[(1-§■)+(y-T)+(■§■—§-)+…+

oioz033“乙L'3，'L4，'35'

--務(wù))+(，--V3)]=4X(1+1--今一-3)..................8分

vi—1〃十1，〃十2，」L\Z〃十1〃十2，

111111QQ

因為中+中＞°?所以耳+￡+&+…''于是無'7'

所以A的最小正整數(shù)值為1.............................................10分

選擇條件②：因為人=2々+1是大于1的整數(shù).

要使數(shù)列出”｝中的某一項是須2々+1=（—3尸7,且〃為大于5的奇數(shù)，……8分

所以當(dāng)”=7時,可得々的最小正整數(shù)值為4..............................10分

_3+(2〃+1)

選擇條件③：因為5.=2X”=〃(〃+2),

所以S*+|-S￡=(6+D(A+3)-4(A+2)=2女+3..........................8分

從而對于任意的正整數(shù)￡.均有24+3>0.即S*<S*+i，

所以不存在6.使得S*>Sa+「故不存在滿足題意的.......................10分

18.（本小題滿分12分）

在平面凸四邊形ABCD中，AB1BD,AB：CD：BD=2：3：4.

TT

(1)若ZBAC=~,求4ABC的面積與AACD的面積之比；

4

TT

(2)若NCDB=—,,求cosNABC的值.

3

【解析】(1)由A8：CD：BD=2:3:4.設(shè)AB=2i,CD=3t,BD=4t(z>0).

在AABD中AB=2t,BD=4t,

所以AD=，(2f)2+(4i)2=Z氐、cos/BAD=空，sin/BAD=誓.........2分

0o

因為NBAC=S

4

TT“2757275>/2/Io

所以sinZDAC=sinZBADcos多一cos/BADsinX管一胃乂手=笑,

440ZbZ1U

..................................................................................................................................4分

c4XABXACXsinZBAC《X2fXACX坐

從而學(xué)-------------------------=--------------\=i.....................6分

…yXADXACXsinZDAC梟同XACX點(diǎn)

乙L10

(2)在ABCD中,NCDB=SBD=4z,CD=3t.

o

由余弦定理得BC2=(4/)2+(3Z)2-2X4/X3ZXCOS-^-=13/2,

0

所以BC=713z...........................................................................................................8分

由正弦定理得巫工=.與會.所以sin/CBD="磬,....................10分

KsinZ_CDL)26

smT

從而cos/ABC=cos(NCBD+])=-sinNCBD=--............................12分

19.(本小題滿分12分)

如圖，在長方體—中，A6=2A4j,點(diǎn)E在棱A片上，且,點(diǎn)F在棱為？

上.

(1)求證：平面AEFL平面48戶；

(2)若BF與平面所成的角為45°,求二面角F-AE-B的余弦值.

【解析】(1)證明：因為四棱柱ABCD-AtBiCtDt是長方體.所以四邊形

ABBiAi是矩形.

因為AIi=4A|E.AB=2AAi.所以AAi=2AIE.

在AABAi和^AjAE中，NA】AB=NEAiA=90°,AB=2AAt,AA}=2AtE,

所以△ABAiSAAiAE.從而NABAi=ZA,AE.

又因為NBA1A+/ABAi=90°,所以NBA|A+/A|AE=90°.即A|B，AE.2分

因為四棱柱ABCD-AIBCDI是長方體.所以AF，平面ABBA1.

又因為AEU平面ABB1A1.所以AiFJ_AE..........................................................4分

因為A|B_LAE,A,F±AE,A|BC|A|F=AI，AIB,A】FU平面A|BF.所以八七上平

面ABF.

又因為AEU平面AEF.所以平面AEFJ_平面AiBF............................................6分

(2)以直線AB為①軸?直線AD為y軸?直線AAi為z

軸?建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系................7分

令A(yù)B=4。?則A(0,0,0),B(4a.0,0),A1(0,0,2a),

E(a90.2a).

設(shè)F(0,t,2a所以正=(-4a,t,2a).

易知平面AA\D\D的一個法向量為AB=(4a,0,0),

所以|詬|=/20。2+八，|AB|=4a.BF?/W=-16a\

因為BF與平面AAi。。所成的角為45°,

所以AB)|=----=咚，

1|cos<BF.J\20a:2十嗎八x*2

解得，=26a,即F(0,2點(diǎn)a.2a).............................................................................9分

易知平面ABE的一個法向量為〃1=(0,1,0).

設(shè)平面AEF的一個法向量為〃2=Cr,y,z).

因為荏=(a,0,2a).AF=(0,2悟a?2a),

?AE=ar+2az=0,

所以《一-「

\n2?1A戶=2乃”+2az=0.

令之=倍?得上=一2再，多=一1,即〃產(chǎn)《一2后-b73)................................11分

又||=1,|n2|=4,n\?〃2=-1，

一11

所以cos<fi|?n>=7T77=—r.

21X44

因為二面角F-AE-B的平面角是鈍角.

所以二面角F-AE-B的余弦值為一.......................................12分

20.(本小題滿分12分)

2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾，目前脫貧攻

堅已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2.

用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)(單位：萬元),

繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在

山區(qū).

(1)完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超

過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).

超過1.5萬元不超過1.5萬元總計

平原地區(qū)

山區(qū)10

總計

....n(ad-bc):......

附了=(a+〃-+d)(a+r)S+d)?其中〃―+。+4

k2.0763.8416.63510.828

0.1000.0500.0100.001

(2)根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，為了更好地落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，從2020年9月

到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取1戶作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣

長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

【解析】(1)因為平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3:2,且采用分層抽樣.

所以樣本中平原地區(qū)家庭戶數(shù)是60.山區(qū)家庭戶數(shù)是40................................................1分

由頻率直方圖知家庭年收入超過1.5萬元戶數(shù)的頻率為(0.5+0.4+0.DX0.5=0.5,

所以家庭年收入超過1.5萬元的戶數(shù)為100X0.5=50.家庭年收入不超過1.5萬元的戶

數(shù)為100—50=50,.....................................................................................................................2分

從而

超過L5萬元不超過1.5萬元總計

平原地區(qū)402060

山區(qū)103040

總計5050100

........................................................................................................................................................3分

由2X2列聯(lián)表知a=40,6=20.c=10,d=30,〃=100,

100X(40X30—2OX1O)2

所以X2==16.7>10?828.4分

60X40X50X50

又因為P(Z2>10.828)=0.00b...........................................................................................5分

所以有99.9%的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān).....6分

（2）記“從2019年家庭年收入低于1.5萬元的家庭中選取1戶是山區(qū)家庭”為事件A.則

P（A）型=8

,505,

從2020年9月到12月,每月選1戶.所以共選4次，

從而X?B（4,日）,且X的可能取值為0,1,2,3,4,8分

則P（X=0）=信）'=蔑，

P（X=1）=CJX隹3,

（f）,x\5）f625

P（X=2）=C?X（y）\隹『=嗎

\5/625

1，216

P（X=3）=QX（f）X（f）=

625

P（X=4）=佶）'嚏,...10分

所以X的分布列如下:

X01234

169621621681

r

625625625625625

962162168112

于是E（X）=0X熟+1X卜2X卜3X4-4X12分

bZn6256256256255?

21.（本小題滿分12分）

過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線與橢圓交于點(diǎn)M,N,我們把線段MN稱為橢圓的通徑在平面直角

坐標(biāo)系xOy中，橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，通徑長為3,圓0以橢圓E的短軸為直徑，且

通徑被圓。截得的弦長為行.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓。的方程.

（2）設(shè)直線/：丁=4》一1與橢圓￡交于八，B兩點(diǎn)，與圓。交于P,Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)攵，使得P,Q

是線段AB的三等分點(diǎn)？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解桿？】（1）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.+*■=1（“>〃>。），焦距為2（"，則a2=b2

b?

將工=c代入桶B]E的方程得》=土].

b?

因為通徑長為3.所以2X-=3.......................................................................................2分

a

因為圓（）以橢圓E的短軸為直徑.

所以設(shè)圓（）的方程為I2+/=小.