【?？級狠S題】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（人教版）反比例函數(shù)K的三種考法（解析版）

反比例函數(shù)K的三種考法類型一、求K值例1．如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象上，若∠BCD＝60°，則的值是（

）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】A【詳解】解：連接、，∵四邊形是菱形，∴．∵菱形的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上，∴與、與關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴、經(jīng)過點(diǎn)，∴．∵，∴．作軸于，軸于，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．例2.如圖，放置含30°的直角三角板，使點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在雙曲線y=上，且AB⊥y軸，BC的延長線交x軸于點(diǎn)D，若S△ACD=3．則k=（

）A．3 B．3 C．6 D．9【答案】C【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為．軸，，，，，，，．，，，，，．故選：C．【變式訓(xùn)練1】如圖，函數(shù)的圖象過矩形OBCD一邊的中點(diǎn)，且圖象過矩形OAPE的頂點(diǎn)P，若陰影部分面積為6，則k的值為______．【答案】6【詳解】解：設(shè)函數(shù)圖象過BC的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則C（m，），∴S陰影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，∴k=6；若函數(shù)圖象過CD的中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則C（2m，），∴S陰影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，∴k=6．綜上，k的值為6．故答案為：6．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)，分別在函數(shù)與的圖象上，線段的中點(diǎn)在軸上．若的面積為，則的值是______．【答案】4【詳解】解：如圖，作軸于，軸于，設(shè)，則，，線段的中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，，，，，，，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B，C在軸上，，延長交軸于點(diǎn)，連接，若的面積等于，則的值為______．【答案】6【詳解】解：如圖，連接AO，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，∵AC=AB，AE⊥BC，∴，∵，∴，∴，∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：6．【變式訓(xùn)練4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC，OA分別在x軸，y軸的正半軸上，雙曲線（x＞0）分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，連接EF．若△BEF的面積為5，則k的值是_____．【答案】20【詳解】解：∵四邊形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為AB、BC邊的中點(diǎn)，∴E（a，b），F(xiàn)（a，b），∵E、F在反比例函數(shù)的圖象上，∴ab＝k，∵S△BEF＝5，∴×a×b＝5，即ab＝5，∴ab＝40，∴k＝ab＝20．故答案為：20．【變式訓(xùn)練5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)（，k為常數(shù)）的圖像上兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限），線段交x軸于點(diǎn)C，若，的面積分別為：和，則______________．【答案】12【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示：∵，，∴，設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-2m，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為：，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，，則，，∵，，∴，∴，即，整理得：，則，∴，解得：．故答案為：12．【變式訓(xùn)練6】如圖，直角坐標(biāo)系中，矩形的對角線的中點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)，若平分，的面積為6，則的值為_____________．【答案】4【詳解】如圖，連接BD，OF，過點(diǎn)A作AN⊥OE于N，過點(diǎn)F作FM⊥OE于M．∵AN∥FM，為的中點(diǎn)，，∴MN=ME，∴FM=AN，∵A，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴S△AON=S△FOM=k，∴?ON?AN=?OM?FM，∴ON=OM，∴ON=MN=EM，∴ME=OE，∴S△FME=S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD=∠EAD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，∴AE∥BD，∴S△ADE=S△AOE，∴S△AOE=6，∵AF=EF，∴S△EOF=S△AOE=3，∴S△FME=S△EOF=1，∴S△FOM=S△FOE-S△FME=2=k，∴k=4．故答案為：4．類型二、求面積例1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，頂點(diǎn)D在y軸正半軸上如圖，若反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與CD交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，CM=2DM，連接OM，ON，MN，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，∵點(diǎn)M、N是反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)，∴，∴，設(shè)點(diǎn)M（t，），則C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，），∴=CM?CN=?2t?（-）=；=（ME+BN）?BE=（+）?2t=，∴．故選：C．例2．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，連接OA、OB．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．若，則的值為(

)A．1 B． C．2 D．4【答案】B【詳解】作BG丄x軸于G點(diǎn)，設(shè)A(m，)，B(n，)，由y=-x+b知，直線AB與x軸夾角為45o，∴∠BCG=45o，∴∠CBG=45o，∴GB=CB=∵AE丄x軸，∴OE=m，∵A、B兩點(diǎn)都在上，由k的幾何意義可知，S△AOE=S△BOG=，∵S△OAF+S四邊形EFBC=4，即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，由軸，BG丄x軸，得AE∥BG，∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，∴，∴，得，，∵m＞0，∴，故選B．例3．如圖，四邊形OABC為平行四邊形，A在x軸上，且∠AOC＝60°，反比例函數(shù)（k＞0）在第一象限內(nèi)過點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)E．若E為AB的中點(diǎn)，且S△OCE＝8，則OC的長為（）A．8 B．4 C． D．【答案】D【詳解】過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴OC=AB，，∴∠EAF=∠AOC=60°，∵在Rt△COD中，∠DOC=60°，∴∠DCO=30°，設(shè)OD=t，∴CD=，OC=AB=2t，∵在Rt△EAF中，∠EAF=60°，AE=AB=t，∴AF=t，EF=AF=，∵點(diǎn)C與點(diǎn)E都在反比例函數(shù)的圖像上，∴OD×CD=OF×EF，∴，∴OA=OF-EF=2t-t=t，∵平行四邊形OABC的面積為，∴，，解得，（負(fù)值舍去），∴OC=2t=，故選：D．【變式訓(xùn)練1】如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，AE為∠BAC的平分線，過點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為E，連接DE，OE，若，則△ADE的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】B【詳解】解：連接OE，CE，過點(diǎn)A作AF⊥x軸，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥AF，∵過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，∴A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴O是AB的中點(diǎn)，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，設(shè)點(diǎn)A（m，），∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝S△ADG，∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝×4+（DH+AF）×FH+S△HDC＝×4+××2m+××2m＝8，∵AD＝2DC，∴△ADE的面積為，故選：B．【變式訓(xùn)練2】如圖平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過菱形對角線的交點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵四邊形OBCD是菱形，∴OA＝AC，∵C（8，4），∴A（4，2），把點(diǎn)A（4，2）代入，反比例函數(shù)y＝（x＞0）得，，解得k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，設(shè)OB＝x，則BC＝x，BN＝8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，解得：x＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（5，0），設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+b，直線BC過點(diǎn)B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣，聯(lián)立方程組得，解得：或，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（6，），作FH⊥x軸于H，連接OF，∴S△OBF＝OB?FH＝×5×＝，故選：A．【變式訓(xùn)練3】如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)與的圖象上，點(diǎn)、在軸上，，分別交軸于點(diǎn)、F，則陰影部分的面積為（

）A．3 B．5 C．6 D．9【答案】B【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，），a＞0．則OD＝a，OE＝．∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣．∴OC＝．∴BE＝．∵AB∥CD，∴，∴＝．∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．∴＝1．＝4．∴S陰影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．故選：B．【變式訓(xùn)練4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則的面積是______________．【答案】【詳解】解：延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，，，，在平行四邊形中，，，故答案為：6．【變式訓(xùn)練5】如圖，點(diǎn)M在函數(shù)（x＞0）的圖像上，過點(diǎn)M分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，連接OB、OC，則△OBC的面積為_________．【答案】2.1【詳解】延長MB、MC，分別交y軸、x軸于點(diǎn)E、D，∵M(jìn)B∥x軸，MC∥y軸，∴MB⊥y軸，MC⊥x軸，∴∠MEO=∠MDO=90°，∵∠EOD=90°，∴四邊形EODM是矩形，設(shè)，則，，∴=2.1．故答案為：2.1．【變式訓(xùn)練6】如圖，分別位于反比例函數(shù)，在第一象限圖象上的兩點(diǎn)A、B，與原點(diǎn)O在同一直線上，且．過點(diǎn)A作x軸的平行線交的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則的面積為________．【答案】8【詳解】作AE，BF分別垂直于x軸，垂足為E，F(xiàn)，∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF，∴＝＝＝.由點(diǎn)A在函數(shù)y＝的圖象上，設(shè)A的坐標(biāo)是，∴＝＝，＝＝，∴OF＝3m，BF＝，即B的坐標(biāo)是.又點(diǎn)B在y＝的圖象上，∴＝，解得k＝9，則反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式是y＝.∵A，B，又已知過A作x軸的平行線交y＝的圖象于點(diǎn)C，∴C的縱坐標(biāo)是.把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐標(biāo)是，∴AC＝9m－m＝8m.∴S△ABC＝×8m×＝8，故答案為：8【變式訓(xùn)練7】如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為2，4，6，8，…分別過這些點(diǎn)作軸與軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為，則_______，_______（用含的代數(shù)式表示，為正整數(shù)）．【答案】

7.5

【詳解】解：∵在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)P1，它的橫坐標(biāo)為2，∴當(dāng)x=2時，y=5，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，5）．由題意，可知點(diǎn)P2、P3、P4坐標(biāo)分別為：（4，），（6，），（8，），∵圖中所構(gòu)成的陰影部分的總面積正好是從點(diǎn)P1向x軸、y軸引垂線構(gòu)成的長方形面積減去最下方的長方形的面積，∴陰影部分的面積和S1+S2+S3=2×5-2×=7.5．∴S1+S2+S3+…+Sn=故答案為7.5，．類型三、求點(diǎn)的坐標(biāo)例1．如圖，平行四邊形的項(xiàng)點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在對角線上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．已知平行四邊形的面積是6，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵點(diǎn)D（2，1）在反比例函數(shù)上，∴k=2×1=2，∴反比例函數(shù)解析式為：，設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為y=mx，∵點(diǎn)D（2，1）在對角線OB上，∴2m=1，即，∴OB的解析式為：,∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，），∵四邊形OABC為平行四邊形，∴BCOA，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，將y=代入，解得：x=，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（，），∴BC=，∵平行四邊形OABC的面積是6，∴（）×=6，解得：a=1或a=-1（舍去），∴，，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為：，故選：B．例2．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，連接OA、OB．過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．若，則的值為(

)A．1 B． C．2 D．4【答案】B【詳解】作BG丄x軸于G點(diǎn)，設(shè)A(m，)，B(n，)，由y=-x+b知，直線AB與x軸夾角為45o，∴∠BCG=45o，∴∠CBG=45o，∴GB=CB=∵AE丄x軸，∴OE=m，∵A、B兩點(diǎn)都在上，由k的幾何意義可知S△AOE=S△BOG=，∵S△OAF+S四邊形EFBC=4，即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，由軸，BG丄x軸，得AE∥BG，∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，∴，∴，得，，∵m＞0，∴，故選B．例3．如圖，點(diǎn)A，D分別在函數(shù)和的圖象上，點(diǎn)B，C在x軸上，若四邊形為正方形，點(diǎn)D在第一象限，則D的坐標(biāo)是__________．【答案】(，4)【詳解】如圖，設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)P，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知:，∴．∵，∴，∴．將代入，得，解得：，∴D(，4)．【變式訓(xùn)練1】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)的圖象與AB，BC分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，若矩形對角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，且EDOB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_______．【答案】(2，4)【詳解】解：連接OE，∵反比例函數(shù)的圖象與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，∴，設(shè)D(m，n)∵矩形對角線的交點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，∴mn=，n=，∵矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸上，∴B(2m，2n)，∴A=2n，AB=2m，∴，∴AE=，∴BE，E(，)，∴OA=，∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，在RtAOE中，，∴整理得∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，故答案為：(2，4)．【變式訓(xùn)練2】如圖，點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B，C在函數(shù)的圖像上，若AC∥y軸，AB∥x軸，且AB＝AC，則BC＝________．【答案】【詳解】解：延長CA、BA交坐標(biāo)軸于F、E，作CD⊥y軸于D，BG⊥x軸于G，設(shè)A（m，n），∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B、C在函數(shù)的圖像上，AC∥y軸，AB∥x軸，∴S四邊形CDOF=S四邊形BEOG=18，mn=12，∴S四邊形AEDC=S四邊形ABGF，∴AC?m=AB?n，∵AB=AC，∴m=n，∴n?n=12，∴，∴，∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點(diǎn)，則k的值為_____，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為_____．【答案】

##

【詳解】解：如圖所示，連接OB交MN于Q，由折疊的性質(zhì)可得MO=MB，OQ=OB，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴∠