江蘇省南通市南通中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線y2＝4x焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交其準線于點C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知兩變量x和y的一組觀測值如下表所示：x234y546如果兩變量線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則＝()A．－ B．－C． D．3．的展開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．804．若離散型隨機變量的分布如下：則的方差（）010.6A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．15．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對稱C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為7．已知函數(shù)，若是圖象的一條對稱軸的方程，則下列說法正確的是（）A．圖象的一個對稱中心 B．在上是減函數(shù)C．的圖象過點 D．的最大值是8．在長為的線段上任取一點現(xiàn)作一矩形,領(lǐng)邊長分別等于線段的長,則該矩形面積小于的概率為（）A． B． C． D．9．設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路,只從一面上山,而從任意一面下山的走法最多,應(yīng)A．從東邊上山 B．從西邊上山 C．從南邊上山 D．從北邊上山10．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．2512．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用數(shù)學(xué)歸納法證明，在第二步證明從到成立時，左邊增加的項數(shù)是_____項．14．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.15．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.16．已知點均在表面積為的球面上,其中平面,,則三棱錐的體積的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，:,:．（I）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，“或”為真命題，“且”為假命題，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知都是實數(shù)，，.（Ⅰ）若，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若對滿足條件的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.，當點在圓上運動時，（1）求點的軌跡的方程；（2）若，直線交曲線于、兩點（點、與點不重合），且滿足.為坐標原點，點滿足，證明直線過定點，并求直線的斜率的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，甲部門選出的員工記為A，乙部門選出的員工記為B，假設(shè)所有員工睡眠的時間相互獨立，求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．22．（10分）在直角梯形中，，，，為的中點，如圖1．將沿折到的位置，使，點在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及拋物線弦長公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【詳解】拋物線y2＝4x焦點F（1，0），準線方程l：x＝﹣1，準線l與x軸交于H點，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．2、D【解析】

先計算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【詳解】＝＝3，＝＝5，代入線性回歸方程可得5＝3＋，解之得＝.故選D【點睛】線性回歸直線必過樣本中心．3、C【解析】分析：寫出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，進而使用期望公式先求出數(shù)學(xué)期望，再代入方差公式求出方差．詳解：由題意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.1．故選：C．點睛：本題主要考查離散型隨機變量的分布和數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識，熟記期望、方差的公式是解題的關(guān)鍵．5、B【解析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．【點睛】本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對于A中，因為函數(shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯誤的；對于B中，因為，所以點與點關(guān)于直線對稱，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對稱，所以是錯誤的；對于C中，當時，，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對于D中，時，，所以是錯誤的，綜上可知，正確的為選項C，故選C．點睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運算是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應(yīng)用能力，以及推理與運算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．7、A【解析】

利用正弦函數(shù)對稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】∵是圖象的一條對稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對稱中心為，故A正確；由于的正負未知，所以不能判斷的單調(diào)性和最值，故B，D錯誤；，故C錯誤.故選A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．8、C【解析】試題分析：設(shè)AC=x，則0＜x＜12，若矩形面積為小于32，則x＞8或x＜4，從而利用幾何概型概率計算公式，所求概率為長度之比解：設(shè)AC=x，則BC=12-x，0＜x＜12若矩形面積S=x（12-x）＜32，則x＞8或x＜4,即將線段AB三等分，當C位于首段和尾段時，矩形面積小于32，故該矩形面積小于32cm2的概率為P==故選C考點：幾何概型點評：本題主要考查了幾何概型概率的意義及其計算方法，將此概率轉(zhuǎn)化為長度之比是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題9、D【解析】從東邊上山共種;從西邊上山共種;從南邊上山共種;從北邊上山共種;所以應(yīng)從北邊上山.故選D.10、D【解析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結(jié)果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設(shè)，則，，即，，故選D.點睛：本題考查題意的簡單性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸、等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11、C【解析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理計算得出答案【詳解】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C【點睛】本題考查分步計數(shù)原理，本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，看出完成一件事共有兩個環(huán)節(jié)，每一步各有幾種方法，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)等式時，考慮和時，等式左邊的項，再把時等式的左端減去時等式的左端，即可得到答案．【詳解】解：當時，等式左端，當時，等式左端，所以增加的項數(shù)為：即增加了項．故答案為：．【點睛】此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的問題，解答的關(guān)鍵是明白等式左邊項的特點，再把時等式的左端減去時等式的左端，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解析】

本題可以點把轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！驹斀狻浚蛞驗榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列所以【點睛】要注意一個遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。15、1【解析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐的體積的表達式，最后求函數(shù)的最大值.詳解：設(shè)球的半徑為R,所以設(shè)AB=x,則，由余弦定理得設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r,則所以PA=.所以三棱錐的體積=.當且僅當x=時取等.故答案為點睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問題，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象能力.(2)三元基本不等式：，當且僅當a=b=c>0時取等.(3)函數(shù)的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，一般是先求出函數(shù)的表達式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（Ⅱ）【解析】試題分析：（1），是的充分條件，是的子集，所以；（2）由題意可知一真一假，當時，，分別求出真假、假真時的取值范圍，最后去并集就可以．試題解析：（1），∵是的充分條件，∴是的子集，，∴的取值范圍是．（2）由題意可知一真一假，當時，，真假時，由；假真時，由或．所以實數(shù)的取值范圍是．考點：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性．18、（I）；（II）.【解析】試題分析：（1）化簡函數(shù)的解析式，由得或．求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題可得，由絕對值不等式可得的最小值為2，可得，再根據(jù)的解集，求得的解集.試題解析：（1），由得或解得或，故所求實數(shù)的取值范圍為．（2）由且，得，又∵，∴，∵的解集為，∴的解集為，∴所求實數(shù)的取值范圍為．點睛：本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，難度一般；常見的絕對值不等式的解法，法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.19、(1).(2).【解析】試題分析：（1）由相關(guān)點法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)條件結(jié)合韋達定理得到，，，進而求得范圍.解析：(1)設(shè)M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.即為N點的軌跡方程.(2)當直線垂直于軸時,由消去整理得,解得或,此時,直線的斜率為；當直線不垂直于軸時,設(shè),直線:(),由,消去整理得,依題意,即(*),且,,又,所以,所以,即,解得滿足(*),所以,故,故直線的斜率,當時,,此時；當時,,此時；綜上,直線的斜率的取值范圍為.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設(shè)平面BDE的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面BDP的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.21、(1)24人；(2)；(3)X的分布列見解析；數(shù)學(xué)期望為1【解析】

（1）分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù)．（2）基本事件總數(shù)n18，利用列舉法求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間包含的基本事件個數(shù)，由此能求出A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率．（3）X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【詳解】（1）由題意，得到分層抽樣共抽取：3+6+6＝15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，∴該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人．（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從