三角形相似簡(jiǎn)單證明題

三角形相似簡(jiǎn)單證明題1、已知：如圖，DE∥BC，AF∶FB=AG∶GE。求證：ΔAFG∽ΔAED。證明：連接AG、DG，由題可得：AG∶GE=AF∶FB即AG×FB=AF×GE又因?yàn)镈E∥BC，所以有：∠AED=∠ACB，∠AFG=∠ABC因此，ΔAFG∽ΔAED（AA相似性質(zhì)）。2、已知：如圖，AB∥CD，AF=FB，CE=EB。求證：GC2=GF·GD。證明：連接GC、GD，由題可得：CE=EB，AF=FB因此，∠AFC=∠BEC，∠GDC=∠GCD又因?yàn)锳B∥CD，所以：∠AFC=∠GCD，∠BEC=∠GDC因此，ΔGDC∽ΔAFC，ΔGEC∽ΔBEC由相似比可得：GC2=GD×GF。3、已知：如圖，ΔABC中，∠ACB=90，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，EF⊥AB。求證：ΔCDF∽ΔECF。證明：連接CF，由題可得：EF⊥AB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)因此，EF∥CD，且EF=FD又因?yàn)椤螦CB=90，所以：∠ECF=∠ACB，∠CDF=∠ABC因此，ΔCDF∽ΔECF（AA相似性質(zhì)）。4、已知：如圖，ΔABC中，CE⊥AB，BF⊥AC。求證：ΔAEF∽ΔACB。證明：連接EF，由題可得：CE⊥AB，BF⊥AC因此，∠AEC=∠AFB，∠AFC=∠AEB又因?yàn)椤螦CB=90，所以：∠AEC=∠AFC，∠AFB=∠AEB因此，ΔAEF∽ΔACB（AA相似性質(zhì)）。5、已知：如圖，DE∥BC，AD=AF·AB。求證：ΔAEF∽ΔACD。證明：連接AE、FD，由題可得：AD=AF×AB即AD∶AB=AF∶AD又因?yàn)镈E∥BC，所以：∠AEF=∠ACD，∠EAF=∠DAC因此，ΔAEF∽ΔACD（AA相似性質(zhì)）。6、已知：如圖，ΔABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。求證：AB·BC=AC·CD。證明：連接BD，由題可得：∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC因此，∠CBD=∠ABD=∠C/2又因?yàn)椤螦BC=2∠C，所以：∠BAC=∠C，∠ACB=2∠C因此，∠ADG=∠ABD-∠C=∠C/2因此，∠DGC=∠C/2，∠GDC=∠C因此，ΔBDC∽ΔGAC由相似比可得：AB·BC=AC·CD。7、已知：如圖，CE是RtΔABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP。求證：CE2=ED·EP。證明：連接CD，由題可得：CE是RtΔABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP因此，∠ABG=∠ACD，∠BAG=∠CBD又因?yàn)椤螦CB=90，所以：∠ABG=∠ACD=∠BCE，∠BAG=∠CBD=∠CBE因此，ΔBCE∽ΔBAG由相似比可得：CE2=ED·EP。8、已知：如圖，ΔABC中，AD=DB，∠1=∠2。求證：ΔABC∽ΔEAD。證明：連接AE，由題可得：AD=DB，∠1=∠2因此，∠ABD=∠BAD又因?yàn)锳D=DB，所以：∠ADB=∠ABD因此，ΔABD為等腰三角形因此，∠AED=∠ABD=∠BAD因此，ΔABC∽ΔEAD（AA相似性質(zhì)）。9、已知：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：ΔDBE∽ΔABC。證明：連接BD，由題可得：∠1=∠2，∠3=∠4因此，∠ABD=∠BAD，∠CBD=∠CBA又因?yàn)椤?=∠2，所以：∠DBE=∠ABD=∠BAD，∠EBD=∠ABE因此，ΔDBE∽ΔABC（AA相似性質(zhì)）。10、如圖，∠B=90，AB=BE=EF=FC=1。求證：ΔAEF∽ΔCEA。證明：連接AC，由題可得：∠B=90，AB=BE=EF=FC=1因此，AE=√2，CE=2又因?yàn)椤螧=90，所以：∠AEF=∠CEA因此，ΔAEF∽ΔCEA（AA相似性質(zhì)）。11、如圖，在梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAD=90°，對(duì)角線BD⊥DC。（1）△ABD與△DCB相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）如果AD=4，BC=9，求BD的長(zhǎng)。（1）證明：連接AC，由題可得：AB⊥BC，∠BAD=90°，對(duì)角線BD⊥DC因此，∠ABD=∠DCB，∠ADB=∠BDC因此，ΔABD∽ΔDCB（AA相似性質(zhì)）。（2）由題可得：AD=4，BC=9因此，AB2+BD2=AD2，BC2+BD2=DC2解得BD=√65。12、已知：如圖，在△PAB中，∠APB=120°，M、N是AB上兩點(diǎn)，且△PMN是等邊三角形。求證：BM·PA=PN·BP。證明：連接PN，由題可得：∠APB=120°，△PMN是等邊三角形因此，∠MPN=∠MNP=30°，∠PBM=∠PNB=60°因此，△PBM∽△PNB由相似比可得：BM·PA=PN·BP。13、已知：如圖，四邊形ABCD中，CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD，DE⊥CD交AB于E，連結(jié)CE。求證：DE2=AE·CE。證明：連接BD，由題可得：CB⊥BA于B，DA⊥BA于A，BC=2AD因此，∠BAC=∠CBD，∠CDE=∠CBA又因?yàn)镃B⊥BA于B，所以：∠BAC=90°，∠CBD=90°因此，∠CDE=∠CBA=90°又因?yàn)锽C=2AD，所以：CD/AD=2，BC/AD=2√5因此，CD=2AD，BC=2√5AD因此，AE=AB-EB=AB-CD=AB-2AD因此，DE2=CE2-CD2=CE2-4AD2又因?yàn)锽C=2AD，所以：CE/AD=2√5，BC/AD=2√5因此，CE=2√5AD因此，DE2=AE·CE。14、如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F。（1）ΔABE與ΔADF相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的長(zhǎng)。（1）證明：連接AF，由題可得：E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于F因此，∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD因此，ΔABE∽ΔADF（AA相似性質(zhì)）。（2）由題可得：AB=6，AD=12，BE=8因此，AE=10，DE=√244又因?yàn)棣BE∽ΔADF，所以：AB/AD=BE/DF因此，DF=24/5。15、如圖：三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，是正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？證明：連接BD，由題可得：BC＝120mm，AD＝80mm因此，AB2+BD2=1202，AC2+CD2=802解得AB＝96mm，AC＝64mm，BD＝72mm，CD＝48mm因此，正方形零件的邊長(zhǎng)為72mm。16、如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，EF⊥AE。求證：AE＝AD×AF。證明：連接AF、BD，由題可得：E是CD的中點(diǎn)，EF⊥AE因此，AE＝2ED又因?yàn)檎叫蜛BCD，所以：AE2+ED2=AD2，AF2+FD2=AD2解得ED＝AF＝(AD/√10)因此，AE＝AD×AF。17、如圖，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠B，AC＝5，AB＝6。求AD的長(zhǎng)。證明：連接BD，由題可得：∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠B，AC＝5，AB＝6因此，∠ADB=90°，∠ABC=∠ADC=∠ACB=90°因此，ΔADB∽ΔABC由相似比可得：AD/AB=AB/AC因此，AD＝(AB2/A