數(shù)學建模-投籃問題課件

問題的提出

在激烈的籃球比賽中，提高投籃命中率對于獲勝無疑起著決定作用，而出手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個關(guān)鍵因素。這里討論比賽中最簡單、但對于勝負也常常是很重要的一種投籃方式--------罰球我們建立數(shù)學模型研究以下數(shù)學問題：1)先不考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中框心的條件。對不同的出手高度h和出手速度v，確定出手角度和籃框的入射角度；

問題的提出在激烈的籃球12)考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中框心且球入框的條件。檢查上面得到的出手角度和籃框的入射角度是否符合這個條件；3）為了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(這里暫不考慮偏左或偏右)。討論保證球入框的條件下，出手角度允許的最大偏差，和出手速度允許的最大偏差；

2)考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中2模型假設1、假設求出手后不考慮自身的旋轉(zhuǎn)2、不考慮籃球碰籃板或籃框入框3、不考慮空氣阻力對籃球的影響時

模型假設3符號設定

d籃球直徑D籃框直徑L罰球點和籃框中心的水平距離H籃框中心的高度h籃球運動員的出手高度v籃球運動員投籃出手速度按照標準尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm.符號設定d籃球直徑4問題的分析與模型的建立

1、問題1）的分析與模型的建立：不考慮籃球和籃框的大小的簡單情況，相當于將球視為質(zhì)點（球心）的斜拋運動。將坐標原點定在球心P，列出x(水平)方向和y（豎直）方向的運動方程，就可以得到球心的運動軌跡，于是球心命中框心的條件可以表示為出手角度與出手速度、出手高度之間的關(guān)系，以及籃框的入射角度與出手角度，由此可對不同的出手速度，出手高度，計算出手角度和入射角度。問題的分析與模型的建立

1、問題1）的分析與模型的建立：5罰球點投籃示意圖voPHhL罰球點投籃示意圖voPHhL6

由于不考慮籃球和籃筐的大小,不考慮空氣阻力的影響,從未出手時的球心p為坐標愿點,x軸為水平方向,y軸為豎直方向,籃球在t=0時以出手速度v和出手角度投出,可視為質(zhì)點(球心)的斜拋運動,其運動方程是我們熟知的(1)由于不考慮籃球和籃筐的大小,不考慮空氣阻力的7其中g(shù)是重力加速度.由此可得球心運動軌跡為如下拋物線(2)以x=L,y=H-h代入（2）式,就得到球心命中框心的條件（3）可以看出,給定出手速度v和出手高度h,有兩個出手角度a滿足這個條件

其中g(shù)是重力加速度.由此可得球心運動軌跡為如下拋物線8而（3）式有解的前提為(4)可對v求解得(5)于是對于一定的高度h,使(5)式等號成立的為最小出手速度,它是h的減函數(shù).由(3)式計算出的兩個出手角度記作、,且設>,可以看出,是h和v的增函數(shù).而（3）式有解的前提為9球入籃筐時的入射角度可從下式得到(6)這里的導數(shù)由(2)式計算代入后可得(7)于是對應于、,有、.設>.球入籃筐時的入射角度可從下式得到102、問題2)的分析與模型的建立：考慮籃球和籃框的大小時，如圖，籃球的直徑d,籃框的直徑D。顯然，即使球心命中球框，若入射角太小，球會碰o到框的近側(cè)A，不能入框。由ADB圖不難得出應滿足的球心應命中框心且球入框的條件。2、問題2)的分析與模型的建立：11(8)將d=24.6cm,D=45.0cm代入得>33.1度。前面計算結(jié)果中不滿足這個條件的，當然應該去掉。數(shù)學建模-投籃問題ppt課件123、問題3）的分析與模型的建立：球入框時，球心可以偏離框心，偏前（圖Q1）的最大距離為圖中的,可以從入射角算出.根據(jù)和球心軌跡中xAB與的關(guān)系,能夠得到D出手角度允許的最大偏差.出手速度v允許的最大偏差可以類似的處理.3、問題3）的分析與模型的建立：13由圖看出,球入筐時球心可以偏前(偏后與偏前一樣)的最大距離為（9）為了得到出手角度允許的最大偏差,可以在(3)式中以代替重新計算,但是由于中包含,從而也包含所以這種方法不能解析的求出.由圖看出,球入筐時球心可以偏前(偏后與偏前一樣)的最14如果從(2)式出發(fā)并將y=H-h代入,可得

（10）對求導并令x=L,就有

（11）如果從(2)式出發(fā)并將y=H-h代入,可得15用近似代替左邊的導數(shù),即可得到出手角度的偏差與的如下關(guān)系

（12）由和已經(jīng)得到的也容易計算相對偏差.用近似代替左邊的導數(shù),即可得到出手角度的16類似的,(10)式對v求導并令x=L,可得到出手速度允許的最大偏差

(13)由(12),(13)式v的相對偏差為

(14)類似的,(10)式對v求導并令x=L,可得到出手17模型的求解及結(jié)果分析問題1)、2）的結(jié)果與分析：1.對不同出手高度的最小出手速度和對應的出手角度使(5)式等號成立的v為最小出手速度,在這個速度下由(3)式可得相應的出手角度為(15)取出手高度h=1.8~2.1(m),計算結(jié)果見下表模型的求解及結(jié)果分析問題1)、2）的結(jié)果與分析：18對不同出手高度的最小出手速度和相應的出手角度H(m)Vmin(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344對不同出手高度的最小出手速度和相應的出手角度H(m19由此得出，對應與最小出手速度是最小出手角度,他們均隨著出手高度的增加而略有減小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.對不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度對出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m),由(3)式計算出手角度、，由（7）式計算入射角度、，結(jié)果見下表2.

由此得出，對應與最小出手速度是最小出手角度,20對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度（vm/s）(hm)8.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.3472對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度（vm/s）(h21根據(jù)前面計算，應大于33.1度才能保證球入框，這里的均小于33.1度,不滿足(8)式的條件,所以在考慮籃球和籃框大小的實際情況下,出手角度只能是.可以發(fā)現(xiàn)，速度一定時,出手高度越大,出手角度應越大,但是隨著速度的增加,高度對出手角度的影響變小,這種影響在1度左右;出手高度一定時,速度越大,出手角度也應越大,速度的影響在7~9度.。根據(jù)前面計算，應大于33.1度才能保證球22模型3)的結(jié)果與分析：分析出手角度和出手速度的最大偏差。利用（12）式和上面的，計算出手角度最大偏差和，再利用（13）、（14）式計算出手速度的最大偏差和，只將h=1.8,2.0(m)的結(jié)果列入下表中。模型3)的結(jié)果與分析：23出手角度和出手速度最大偏差h(m)a(度)V(m/s)1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.7100-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243出手角度和出手速度最大偏差h(m)a(度)V(m/s)1.824總的看來,允許偏差都相當小.進一步分析可知,速度越大,角度的允許偏差越小,而速度的允許偏差越大,且對角度的要求比對速度的要求嚴格;出手速度一定時,高度越大,雖然也是角度的允許偏差越小,速度的允許偏差越大,但這時對角度和速度的要求都相對較低.總的看來,允許偏差都相當小.進一步分析可知25模型的進一步討論當考慮空氣阻力的影響時，出手角度有什么變化。考慮水平方向的阻力時,應該用微分方程求解球心的運動軌跡,由于阻力很小,可作適當簡化.然后與前面類似的作各種計算.假設