2023年廣東省陽江市陽春市中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列說法中，正確的是()

A.與互為倒數(shù)B.與互為相反數(shù)C.的相反數(shù)是D.的絕對值是

2.我們雖然把地球稱為“水球”，但可利用淡水資源匱乏．我國淡水總量僅約為億米，用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)為()

A.億米B.億米

C.億米D.億米

3.若，則的余角的大小是()

A.B.C.D.

4.在一個不透明的盒子中，裝有質(zhì)地、大小一樣的白色乒乓球個，黃色乒乓球個，隨機(jī)摸出一個球，摸到黃色乒乓球的概率是()

A.B.C.D.

5.下列命題是真命題的是()

A.B.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

C.等弧所對的圓周角相等D.正多邊形都是中心對稱圖形

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則的值為()

A.B.C.D.

7.九章算術(shù)是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，天到北海；大雁從北海起飛，天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過天相遇，根據(jù)題意可列方程為()

A.B.C.D.

8.若一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，則值可能是()

A.B.C.D.

9.已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為()

A.B.C.D.

10.如圖，在菱形中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖所示，則的長為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.計算：______．

12.分解因式：______．

13.如圖，在中，，點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，連接，如果，，那么的長是______

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的斜邊軸于點(diǎn)，直角頂點(diǎn)在軸上，雙曲線經(jīng)過邊的中點(diǎn)，若，則．

15.如圖，在矩形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，則的周長最小值為______．

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.本小題分

解不等式組：．

17.本小題分

如圖，在平行四邊形中，是它的一條對角線．

尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，不寫作法，保留作圖痕跡；

連接，若，求的度數(shù)．

18.本小題分

某工廠進(jìn)行廠長選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“合格”，“不合格”．

本次抽查總?cè)藬?shù)為______，“合格”人數(shù)的百分比為______；

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

扇形統(tǒng)計圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為______；

在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為______．

19.本小題分

遵義市開展信息技術(shù)與教學(xué)深度融合的“精準(zhǔn)化教學(xué)”，某實驗學(xué)校計劃購買，兩種型號教學(xué)設(shè)備，已知型設(shè)備價格比型設(shè)備價格每臺高，用元購買型設(shè)備的數(shù)量比用元購買型設(shè)備的數(shù)量多臺．

求，型設(shè)備單價分別是多少元；

該校計劃購買兩種設(shè)備共臺，要求型設(shè)備數(shù)量不少于型設(shè)備數(shù)量的設(shè)購買臺型設(shè)備，購買總費(fèi)用為元，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少購買費(fèi)用．

20.本小題分

如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且．

求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；

在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的面積是面積的倍？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

請結(jié)合圖形，直接寫出不等式的解集．

21.本小題分

如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)．

求證：是的切線；

延長和交于點(diǎn)，若，求的值．

22.本小題分

如圖，已知為正方形對角線上一點(diǎn)，連接，，是延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

求證：；

判斷的形狀并說明理由；

若為的中點(diǎn)，且，求的長．

23.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．

填空：______，______；

點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，

連接、，設(shè)直線交線段于點(diǎn)，求的最大值；

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，是否存在點(diǎn)，使得中的，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、與互為相反數(shù)，故此選項不符合題意；

B、與互為倒數(shù)，故此選項不符合題意；

C、的相反數(shù)是，故此選項符合題意；

D、的絕對值是，故此選項不符合題意；

故選：．

根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義分別進(jìn)行判斷即可．

此題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義，掌握：只有符號不同的兩個數(shù)叫互為相反數(shù)，的相反數(shù)是；乘積是的兩個數(shù)叫互為倒數(shù)，沒有倒數(shù)；正數(shù)的絕對值是它本身，的絕對值是，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．

2.【答案】

【解析】解：億米億米，

故選：．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)

此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．

3.【答案】

【解析】解：，

的余角為：，

故選：．

根據(jù)互余兩角之和為計算即可．

本題考查的是余角的定義，如果兩個角的和等于，就說這兩個角互為余角．

4.【答案】

【解析】解：隨機(jī)摸出一個球共有種等可能結(jié)果，其中摸到黃色乒乓球的有種，

隨機(jī)摸出一個球，摸到黃色乒乓球的概率為，

故選：．

隨機(jī)摸出一個球共有種等可能結(jié)果，其中摸到黃色乒乓球的有種，再根據(jù)概率公式求解即可．

本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．

5.【答案】

【解析】解：，

選項A不符合題意；

三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，

選項B符合題意；

在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等，

選項C不符合題意；

邊長為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，

選項D不符合題意．

故選：．

根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡方法，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，圓周角定理和應(yīng)用，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)和應(yīng)用，以及中心對稱圖形的特征和判斷方法，逐項判斷即可．

此題主要考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，解答此題的關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

6.【答案】

【解析】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，

，，

，

故選：．

由中心對稱的性質(zhì)可求，的值，即可求解．

本題考查了中心對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是．

7.【答案】

【解析】解：設(shè)經(jīng)過天相遇，

根據(jù)題意得：，

，

故選：．

設(shè)總路程為，野鴨每天飛，大雁每天飛，當(dāng)相遇的時候，根據(jù)野鴨的路程大雁的路程總路程即可得出答案．

本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，本題的本質(zhì)是相遇問題，根據(jù)等量關(guān)系：野鴨的路程大雁的路程總路程列出方程是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：一次函數(shù)的函數(shù)值隨著的增大而減小，

，

解得．

所以的值可以是，

故選：．

根據(jù)比例系數(shù)小于時，一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小列出不等式求解即可．

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，在一次函數(shù)中，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。?/p>

9.【答案】

【解析】解：關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，

，，

，

，，

，

原式

．

故選：．

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，的值，代入代數(shù)式求值即可．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握，是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：在菱形中，，

為等邊三角形，

設(shè)，由圖可知，的面積為，

的面積，

解得：，

故選：．

根據(jù)圖和圖判定三角形為等邊三角形，它的面積為解答即可．

本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：原式

．

故答案為：．

直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案為：．

先提取公因式，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．

本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

13.【答案】

【解析】解：點(diǎn)，分別是，邊上的中點(diǎn)，

是的中位線，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：．

根據(jù)三角形中位線定理可得的長，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得的長，進(jìn)一步即可求出的長．

本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，

等腰直角三角形的斜邊軸于點(diǎn)，

，

，

，，

是的中點(diǎn)，

，

．

故答案為：．

如圖，過點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，得點(diǎn)和的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得結(jié)論．

本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：如圖，在上截取，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

四邊形是矩形，

，

，

四邊形是矩形，

，

，，，

，

平分，，

、關(guān)于對稱，

，

，

，

的周長的最小值為，

故答案為：．

如圖，在上截取，使得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)利用勾股定理求出，，證明，可得結(jié)論．

本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

16.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為．

【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而可得答案．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：如圖所示，

如圖，

垂直平分，，

，

，

是的外角，

．

【解析】利用線段垂直平分線的作法進(jìn)行作圖即可；

由垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，再由三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，基本作圖，三角形外角的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法，線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：，；

補(bǔ)全圖形如下：

；

【解析】

【分析】

此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

由優(yōu)秀人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，根據(jù)百分比之和為可得合格人數(shù)所占百分比；

總?cè)藬?shù)乘以不合格人數(shù)所占百分比求出其人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；

用乘以樣本中“不合格人數(shù)”所占百分比即可得出答案；

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．

【解答】

解：本次抽查的總?cè)藬?shù)為人，

“合格”人數(shù)的百分比為，

故答案為：，；

人，

補(bǔ)全圖形如下：

扇形統(tǒng)計圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為，

故答案為：；

列表如下：

甲乙丙

甲乙，甲丙，甲

乙甲，乙丙，乙

丙甲，丙乙，丙

由表知，共有種等可能結(jié)果，其中剛好抽中甲乙兩人的有種結(jié)果，

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為．

故答案為：．

19.【答案】解：設(shè)每臺型設(shè)備的價格為萬元，則每臺型號設(shè)備的價格為萬元，

根據(jù)題意得，，

解得：．

經(jīng)檢驗，是原方程的解．

，

每臺型設(shè)備的價格為元，則每臺型號設(shè)備的價格為元．

設(shè)購買臺型設(shè)備，則購買臺型設(shè)備，

，

由實際意義可知，，

且為整數(shù)，

，

隨的增大而增大，

當(dāng)時，的最小值為元．

，且最少購買費(fèi)用為元．

【解析】設(shè)每臺型設(shè)備的價格為元，則每臺型號設(shè)備的價格為元，根據(jù)“用元購買型設(shè)備的數(shù)量比用元購買型設(shè)備的數(shù)量多臺”建立方程，解方程即可．

根據(jù)總費(fèi)用購買型設(shè)備的費(fèi)用購買型設(shè)備的費(fèi)用，可得出與的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)兩種設(shè)備的數(shù)量關(guān)系得出的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．

本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：如圖，連接，

軸，

，

，

，

反比例函數(shù)的關(guān)系式為，

當(dāng)時，即，

解得，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，

，

即，

一次函數(shù)的關(guān)系式為，

答：反比例函數(shù)的關(guān)系式為，一次函數(shù)的關(guān)系式為；

方程組的解為，，

點(diǎn)，

點(diǎn)，

如圖，設(shè)點(diǎn)，

直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

當(dāng)?shù)拿娣e是面積的倍時，

即，

，

解得或，

點(diǎn)或；

由于一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)點(diǎn)，

不等式的解集為或．

【解析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可求出的值，確定反比例函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入確定一次函數(shù)關(guān)系式；

求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形面積公式列方程求解即可；

根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)以及函數(shù)的增減性得出答案．

本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，一次函數(shù)、反比例函數(shù)與不等式的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法，理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)與不等式的關(guān)系是正確解答的前提．

21.【答案】證明：如圖，連接，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

是的半徑，

是的切線；

解：，，

設(shè)，則，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

又，

∽，

，

，

．

【解析】如圖，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，等量代換得到，根據(jù)平行線的判定定理得到，由平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解．

此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點(diǎn)有：平行線的判定和性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，切線的判定，三角函數(shù)定義以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．掌握切線的判定和相似三角形的性質(zhì)和判定是解本題