同濟版大一高數(shù)第十一章第二節(jié)對坐標(biāo)曲線積分課件

高等數(shù)學(xué)第二十一講1高等數(shù)學(xué)第二十一講1第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲線積分第十一章2第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在xoy平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”常力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.3一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.引例:變力沿曲線所1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F沿則用有向線段上任取一點在41)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有3)“近似和”4)“取極限”(其中

為n個小弧段的最大長度)53)“近似和”4)“取極限”(其中為n個小弧段的2.定義.設(shè)L為xoy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作62.定義.設(shè)L為xoy平面內(nèi)從A到B的一條有向若

為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,7若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y1).存在條件：2).組合形式81).存在條件：2).組合形式83.性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!93.性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有思想方法：統(tǒng)一變量化為定積分,積分限由起點到終點。利用變量代入法可得上式左邊＝右邊證明：10二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有11特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有1例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點的一段.12例1.計算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為或取L的方程為則則13例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0).解:(2)取L的方程為則14例2.計算其中L為(1)半徑為a圓心在原點的例3：計算：其中L為折線OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).解：15例3：計算：其中L為折線OABO,O(0,0)例4.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程16例4.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取的例5.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線C的參數(shù)方程;(2)計算曲線積分解:(1)17例5.設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox軸正向看去為逆時針方向(2)令利用“偶倍奇零”18(2)令利用“偶倍奇零”18例6.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿

移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點所作的功.其中

為19例6.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點由沿移動到解:(1)(2)三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系20三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)的類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令21類似地,在空間曲線上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令21例122例122例2.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周23例2.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周23二者夾角為

例3.設(shè)曲線段L的長度為s,證明連續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上24二者夾角為例3.設(shè)曲線段L的長度為s,證明連續(xù),1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)251.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(3.計算?對有向光滑弧?對有向光滑弧263.計算?對有向光滑弧?對有向光滑弧264.兩類曲線積分的聯(lián)系?對空間有向光滑弧

:274.兩類曲線積分的聯(lián)系?對空間有向光滑弧:27點O的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個質(zhì)點在處受恒指向原點,沿橢圓此質(zhì)點由點沿逆時針移動到提示:(解見P139例5)F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與