電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中最優(yōu)乘子法的三種方法比較

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中最優(yōu)乘子法的三種方法比較

0不收斂的情況下牛頓法趨勢(shì)計(jì)算是能源循環(huán)系統(tǒng)的基本計(jì)算。牛頓—拉夫遜方法(以下簡(jiǎn)稱牛頓法)對(duì)電力系統(tǒng)良性條件下的潮流計(jì)算十分有效,但是對(duì)于一些病態(tài)系統(tǒng)(重負(fù)荷系統(tǒng)、具有梳子放射結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)以及具有臨近多根運(yùn)行條件的系統(tǒng)等)在計(jì)算的過程中往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算不收斂的情況。導(dǎo)致這種情況發(fā)生的原因有兩種:一是該潮流問題本身無解(對(duì)于給定的運(yùn)行條件);二是潮流問題有解但是由于所采用的算法本身不夠完善無法找到該解。普通牛頓法潮流計(jì)算無法正確判斷不收斂時(shí)系統(tǒng)是否確實(shí)無解。最優(yōu)乘子牛頓法能夠處理病態(tài)系統(tǒng)并判斷潮流方程是否有解。它已經(jīng)被廣泛用于電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定評(píng)估與控制中最優(yōu)乘子法的數(shù)學(xué)本質(zhì)是用求解一個(gè)由潮流方程構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)的最小值來代替直接求解潮流方程。從原理上保證了計(jì)算過程不會(huì)數(shù)值發(fā)散。如果在給定運(yùn)行條件下原方程有解,則目標(biāo)函數(shù)值最終為0;如果對(duì)于某個(gè)運(yùn)行條件,原方程無解,則目標(biāo)函數(shù)最終收斂于一個(gè)非零的正數(shù)上。由目標(biāo)函數(shù)值可以判別潮流方程是否有解。當(dāng)前為廣泛應(yīng)用的最優(yōu)乘子法有三種。分別是日本學(xué)者Iwamoto等人提出的直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子牛頓法1三種最優(yōu)大乘方法的描述設(shè)系統(tǒng)共有n個(gè)節(jié)點(diǎn),將潮流方程記為如下形式:式中:f式中:J(x)為潮流方程的雅可比矩陣,μ1.1直角坐標(biāo)是最佳的坐標(biāo)法Iwamoto提出的直角坐標(biāo)下的最優(yōu)乘子法中,構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù):由此求1.2構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)及經(jīng)驗(yàn)初始值Dommel等人提出的極坐標(biāo)下阻尼牛頓法中,構(gòu)造了如下目標(biāo)函數(shù):用一個(gè)二次函數(shù)Φ(μ)近似表示(6):式中:Φ通過對(duì)(7)求最小值可以得出:此外,Dommel給出了經(jīng)驗(yàn)初始值?λ1.3極坐標(biāo)下的牛頓法王憲榮等提出的極坐標(biāo)下的準(zhǔn)最優(yōu)乘子法,其基本思想與Iwamoto提出的直角坐標(biāo)下的最優(yōu)乘子法類似,目標(biāo)函數(shù)方程同(4)。所不同的是二者的坐標(biāo)系。另外,文[6]給出了極坐標(biāo)下潮流方程泰勒展開式二次以上部分的求法,f(x)在x處的泰勒展開式為:式中:T(x)為f(x)泰勒展開式二次及以上部分余項(xiàng)。當(dāng)?x由普通牛頓法計(jì)算出來后,此時(shí)f(x)+J?x=0,結(jié)合(10)可得:T(x)=f(x+?x),由此可方便地由普通牛頓法計(jì)算出T(x)。在求出二階及以上余項(xiàng)后,其余的求法可按照直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法的過程迭代步驟計(jì)算出。2極限坐標(biāo)系下最優(yōu)乘子法的收斂速度三種方法都是在普通牛頓法的基礎(chǔ)上略加修改,所增加的計(jì)算步驟均比較少,算法實(shí)現(xiàn)比較容易,實(shí)際運(yùn)用都比較方便。直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法最大的優(yōu)點(diǎn)是潮流方程為二次方程,迭代過程中不匹配函數(shù)的泰勒展開式中三次及以上項(xiàng)均為零,因此潮流方程為精確的等式。相比于極坐標(biāo)系下的潮流方程,這是一特有的優(yōu)勢(shì)。但是,該方法也有其缺點(diǎn)。采用直角坐標(biāo)系,潮流方程在PV節(jié)點(diǎn)上有額外的電壓約束方程,而這額外的電壓約束方程在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候會(huì)給計(jì)算帶來麻煩為了能夠加速直角坐標(biāo)系下最優(yōu)乘子法的收斂速度,文[8]和文[9]中提出了一些解決辦法:按照比例縮放電壓約束方程和不采用很小的最優(yōu)乘子。但是這兩種方法都有其明顯的缺點(diǎn),并不能從根本上解決問題。按比例縮放電壓約束方程的比例因子很難確定出一個(gè)合適的值阻尼牛頓法和極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法都是基于極坐標(biāo)系。與直角坐標(biāo)系相比,極坐標(biāo)系下的潮流方程充分體現(xiàn)了電力系統(tǒng)有功與電壓相角、無功與電壓幅值強(qiáng)相關(guān)的物理特性,因而有著很好的線性化特性。方程線性化的好壞對(duì)最優(yōu)乘子計(jì)算的收斂速度有很重要的影響,在線性化不好時(shí),使用最優(yōu)乘子來進(jìn)行計(jì)算對(duì)加快收斂速度效果甚微,甚至有可能會(huì)降低方程的收斂速度阻尼牛頓法中的?λ值得注意的是,在潮流計(jì)算中發(fā)電機(jī)無功約束的處理是一個(gè)重要環(huán)節(jié)。目前廣泛采用的方法是在迭代中采用一個(gè)啟發(fā)式的PV-PQ節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)換邏輯來處理。因此,評(píng)價(jià)一種最優(yōu)乘子法的性能,必須討論它對(duì)該約束處理方法的適應(yīng)性。在阻尼牛頓法的計(jì)算過程中,PV-PQ節(jié)點(diǎn)類型相互轉(zhuǎn)化會(huì)給計(jì)算帶來很大麻煩。如(8)所示,迭代計(jì)算時(shí),當(dāng)前步最優(yōu)乘子的計(jì)算依賴上一步的計(jì)算過程,而在發(fā)生PV-PQ節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化后,系統(tǒng)的模型已經(jīng)發(fā)生變化,此時(shí)再利用一個(gè)上一步計(jì)算過程中的值是不合理的,會(huì)對(duì)整個(gè)計(jì)算產(chǎn)生很大的影響。在計(jì)算過程中如果有較多的PV-PQ節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)化,則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算過程發(fā)散的情況。然而,極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法和直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法在每次迭代中計(jì)算最優(yōu)乘子時(shí),與上一步的計(jì)算過程無關(guān),只是繼承了上一步的計(jì)算結(jié)果x3考慮節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)換的情形采用上述三種最優(yōu)乘子潮流算法對(duì)IEEE57、118標(biāo)準(zhǔn)算例以及北美3199、6739節(jié)點(diǎn)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算,來比較它們的性能。由于它們都僅僅對(duì)普通牛頓法做了少量的修改,每次迭代的計(jì)算時(shí)間都相差不多,因此,可以通過比較迭代次數(shù)來判斷計(jì)算速度。為了全面比較算法,在IEEE57、118系統(tǒng)中,分別通過對(duì)#57、#118號(hào)節(jié)點(diǎn)不斷增加負(fù)荷來使系統(tǒng)逐漸呈現(xiàn)病態(tài)。增加負(fù)荷的有功無功之比為2:1,各計(jì)算1000個(gè)情形。而在3199、6739節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中,對(duì)所有N-1支路開斷故障進(jìn)行了潮流計(jì)算。計(jì)算所有的不匹配函數(shù)時(shí),判斷是否收斂均要求精確到10為簡(jiǎn)潔起見,本文各圖表中做如下簡(jiǎn)稱。方法1:直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法;方法2:極坐標(biāo)下阻尼牛頓法;方法3:極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法。表1~4分別給出了正常系統(tǒng)(有潮流解)、病態(tài)系統(tǒng)(無潮流解)在不考慮和考慮發(fā)電機(jī)無功約束時(shí)的計(jì)算結(jié)果比較。由表1、3中可以看出,當(dāng)不考慮發(fā)電機(jī)無功約束時(shí),極坐標(biāo)系下的兩種方法的迭代次數(shù)相對(duì)少一些。這在以往比較最優(yōu)乘子法的論文中也可以看到類似的結(jié)論在電壓穩(wěn)定評(píng)估中,發(fā)電機(jī)無功約束必須考慮。如果不考慮節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)換而對(duì)各種最優(yōu)乘子法進(jìn)行比較,顯然是不合理的。因此本文在表2、4中記錄了在考慮節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)換的情形下三種最優(yōu)乘子法的迭代次數(shù)。從表2、4中可看出,當(dāng)計(jì)算過程中考慮發(fā)電機(jī)的無功約束時(shí),極坐標(biāo)下的兩種方法并沒有如表1、3中那樣體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)。甚至在一些系統(tǒng)中,直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法平均收斂次數(shù)要少于極坐標(biāo)系下的兩種最優(yōu)乘子法。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生有其必然原因。由第2節(jié)對(duì)直角坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)系下最優(yōu)乘子法特點(diǎn)的分析可知,它們各有其固有的優(yōu)缺點(diǎn),很難定量地分析哪種特點(diǎn)對(duì)收斂速度的影響較大。雖然在不考慮發(fā)電機(jī)無功約束條件時(shí),極坐標(biāo)下的最優(yōu)乘子法收斂最快。但是,當(dāng)潮流計(jì)算的過程中引入發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)類型轉(zhuǎn)換邏輯時(shí),此時(shí)潮流計(jì)算的前提條件已經(jīng)發(fā)生了變化,此時(shí)收斂速度的變化也就不足為奇了。同時(shí),在計(jì)算的過程中可以發(fā)現(xiàn),在對(duì)一個(gè)系統(tǒng)不斷增加負(fù)荷,使其病態(tài)程度逐漸嚴(yán)重的過程中,隨著所增加負(fù)荷的不同,三種最優(yōu)乘子法在不同的范圍內(nèi)呈現(xiàn)出不同的收斂速度。如在IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中,不考慮PV-PQ轉(zhuǎn)換邏輯,當(dāng)對(duì)#118節(jié)點(diǎn)增加的負(fù)荷有功量由0MW至643.2MW的過程中,極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法的收斂速度要優(yōu)于其他兩種方法,繼續(xù)對(duì)#118節(jié)點(diǎn)增加負(fù)荷,當(dāng)增加的有功負(fù)荷由659.2MW至784.8MW的過程中,極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法收斂速度卻差于其他的兩種方法。這也從另一方面說明了最優(yōu)乘子法性能的優(yōu)劣是有一定的相對(duì)性和適用范圍的。阻尼牛頓法總的迭代次數(shù)比直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法要少,但是其在某些情況下是不收斂的。僅在IEEEE118系統(tǒng)中就有4個(gè)算例是不收斂的。不收斂表現(xiàn)為不匹配函數(shù)的值是任意變化的,均為很大的值。所算出來的值沒有任何參考意義。造成這種現(xiàn)象可能有兩種原因:1.PV-PQ轉(zhuǎn)化造成的;2.?λ由表1~4中可以看出,總的來說,極坐標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法總的迭代次數(shù)比較少。注意到,文獻(xiàn)[10]也提出了類似的思想和計(jì)算方法。在計(jì)算不匹配函數(shù)的時(shí)候,為了方便比較,將阻尼牛頓法中不匹配函數(shù)改為原不匹配函數(shù)的平方,使其與其它兩種方法中不匹配函數(shù)形式上取得一致。計(jì)算出三種方法的不匹配函數(shù)隨負(fù)荷的變化關(guān)系基本相同。圖1、2分別給出了IEEE57、118這兩個(gè)系統(tǒng)中不匹配函數(shù)與負(fù)荷之間的關(guān)系曲線。由圖1、2可以發(fā)現(xiàn),三種方法計(jì)算出的不匹配函數(shù)值并不一定隨負(fù)荷的增大而單調(diào)增加。文[11]中提出不匹配函數(shù)值的大小可作為潮流方程不可解程度的評(píng)估指標(biāo),此時(shí)并不能很好地適用。這是由于在潮流計(jì)算的過程中會(huì)發(fā)生PV-PQ轉(zhuǎn)化,而這改變了潮流方程的構(gòu)成。IEEE57系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)目少,圖1中不匹配函數(shù)值基本隨負(fù)荷的增大而增加;而IEEE118系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)目較大,圖2中不匹配函數(shù)值變化呈現(xiàn)出非線性現(xiàn)象。在潮流計(jì)算中不考慮發(fā)電機(jī)無功限制時(shí),三種方法計(jì)算出的不匹配函數(shù)值都嚴(yán)格隨負(fù)荷的增大而單調(diào)增加。因此,可以認(rèn)為考慮發(fā)電機(jī)無功約束造成了不匹配函數(shù)值的大小不能嚴(yán)格地作為潮流方程不可解程度的評(píng)估指標(biāo)。4標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)乘子法本文采用Iwamoto等人提出的直角坐標(biāo)最優(yōu)乘子法、Dommel等人提出的極坐