滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2 線段的垂直平分線 素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)15.2線段的垂直平分線素養(yǎng)提升練（含解析）第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形

15.2線段的垂直平分線

基礎(chǔ)過關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的作法

1.【新課標(biāo)例73變式】根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡,判定線段AD一定為△ABC的()

A.角平分線B.中線

C.高線D.以上都有可能

知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的性質(zhì)定理

2.【一題多變】【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,連接AE,若BC=8,EC=3,則AE的長是()

A.3B.4C.5D.6

[變式1]如圖,△ABC的邊BC的垂直平分線MN交AC于D,若△ADB的周長是10cm,AC=7cm,則AB=()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

[變式2]如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F,若AB=3,AC=5,BC=7,則△AEF的周長為()

A.5B.7C.10D.3

知識(shí)點(diǎn)3線段垂直平分線的判定定理

3.已知C、D是線段AB外的兩點(diǎn),AC=BC,AD=BD,點(diǎn)P在直線CD上,若AP=5,則BP的長為()

A.2.5B.5C.10D.25

4.如圖,已知AD平分∠BAC,且∠1=∠2.

(1)求證:直線AD垂直平分線段BC;

(2)若點(diǎn)P在直線AD上,求證:PB=PC.

知識(shí)點(diǎn)4三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

5.【教材變式·P130T1】某地政府為更好地服務(wù)農(nóng)民,將在村莊A、B、C之間的空地上新建一座倉庫P.已知村莊A、B、C恰好在三條公路的交點(diǎn)處,如圖,要求倉庫P到村莊A、B、C的距離相等,則倉庫P應(yīng)建在△ABC()

A.三條角平分線的交點(diǎn)處

B.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處

C.三條中線的交點(diǎn)處

D.三條高所在直線的交點(diǎn)處

能力提升全練

6.(2022湖北宜昌中考,6,★☆☆)如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心,大于BC長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N.作直線MN,交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,則△ABD的周長為()

A.25B.22

C.19D.18

7.(2023江蘇淮安中考,7,★☆☆)如圖,在△ABC中,AB邊的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,連接AE,若AE=4,EC=2,則BC的長是()

A.2B.4C.6D.8

8.(2022安徽淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中,4,★☆☆)如圖,直線DE是線段AC的垂直平分線,AE=5cm,△ABD的周長為16cm,則△ABC的周長為()

A.26cmB.21cm

C.28cmD.31cm

9.(2023安徽六安舒城聯(lián)考,12,★☆☆)如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接CF.若∠A=58°,∠ABD=22°,則∠ACF=°.

10.(2023浙江溫州中考,18,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AB邊上的一點(diǎn),過點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證:△BDE≌△CDF;

(2)當(dāng)AD⊥BC,AE=1,CF=2時(shí),求AC的長.

素養(yǎng)探究全練

11.【推理能力】如圖,在△ABC中,AB邊的垂直平分線l1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E,l1與l2相交于點(diǎn)O.△ADE的周長為6cm.

(1)求證:AD=BD,AE=CE;

(2)求BC的長;

(3)分別連接OA、OB、OC,若△OBC的周長為16cm,求OA的長.

12.【創(chuàng)新意識(shí)】OF是∠MON的平分線,點(diǎn)A在射線OM上,P,Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè),且PQ=OA,作線段OQ的垂直平分線,分別交直線OF,ON于點(diǎn)B,點(diǎn)C,連接AB,PB.

(1)如圖1,請(qǐng)指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí),線段AB,PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系若存在,請(qǐng)寫出證明過程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)全練

1.B由作圖痕跡可知,題圖中所作直線是線段BC的垂直平分線,∴D是線段BC的中點(diǎn),∴線段AD是△ABC的中線.故選B.

2.C∵BC=8,EC=3,∴BE=BC-EC=5.∵AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E,∴AE=BE=5.

[變式1]A∵M(jìn)N是BC的垂直平分線,∴DB=DC.∵△ADB的周長是10cm,∴AD+DB+AB=10cm,∴AD+DC+AB=10cm,∴AC+AB=10cm.∵AC=7cm,∴AB=10-7=3(cm).

[變式2]B∵EG是線段AB的垂直平分線,

∴EA=EB,同理,FA=FC,

∴△AEF的周長=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=7.

3.B∵C、D是線段AB外的兩點(diǎn),AC=BC,AD=BD,

∴直線CD是線段AB的垂直平分線.

∵點(diǎn)P在直線CD上,AP=5,∴BP=AP=5.

4.證明(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.

在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC,BD=CD.

∴點(diǎn)A,點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上,

∵兩點(diǎn)確定一條直線,

∴直線AD垂直平分線段BC.

(2)∵直線AD垂直平分線段BC,點(diǎn)P在直線AD上,∴PB=PC.

5.B∵倉庫P到村莊A、B的距離相等,∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.∵倉庫P到村莊A、C的距離相等,∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上,∴倉庫P應(yīng)建在△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處.

能力提升全練

6.C由題意可得,MN垂直平分BC,∴DB=DC.

∴△ABD的周長=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC.∵AB=7,AC=12,∴AB+AC=19,

∴△ABD的周長是19.

7.C∵直線DE是AB邊的垂直平分線,AE=4,∴EB=AE=4,∴BC=EB+EC=4+2=6.

8.A∵直線DE是線段AC的垂直平分線,

∴DA=DC,AC=2AE=10cm.

∵△ABD的周長為16cm,

∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=16cm,

∴△ABC的周長=AB+BC+AC=16+10=26(cm).

9.答案56

解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=22°,∴∠ABC=44°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠A=180°-44°-58°=78°.∵EF垂直平分BC,∴FB=FC,易證△BFE≌△CFE,∴∠FBC=∠FCB,∴∠FCB=22°,∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=78°-22°=56°.

10.解析(1)證明:∵CF∥AB,

∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.

∵AD是BC邊上的中線,

∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS).

(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,

∴AB=AE+BE=1+2=3,

∵AD⊥BC,BD=CD,

∴直線AD是線段BC的垂直平分線,∴AC=AB=3.

素養(yǎng)探究全練

11.解析(1)證明:∵AB邊的垂直平分線l1交BC邊于D,AC邊的垂直平分線l2交BC邊于E,∴AD=BD,AE=CE.

(2)∵△ADE的周長為6cm,∴AD+DE+AE=6cm,

∴BD+DE+CE=6cm,即BC=6cm.

(3)由題意可知,OA=OB,OA=OC,∴OA=OB=OC.

∵△OBC的周長為16cm,∴OB+OC+BC=16cm,

∵BC=6cm,∴OB=OC=5cm,∴OA=5cm.

12.解析(1)AB=PB.

理由:如圖,連接BQ.

∵BC垂直平分OQ,∴BO=BQ.又BC=BC,

∴Rt△OBC≌Rt△QBC(HL),

∴∠BOQ=∠BQO.

∵OF平分∠MON,∴∠AOB=∠BOQ,

∴∠AOB=∠BQO,