七年級數(shù)學上冊專題28 和線段有關(guān)的計算（解析版）

/專題28和線段有關(guān)的計算1．已知：如圖1，是定長線段上一定點，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示在線段上，在線段上）（1）若，當點、運動了，求的值．（2）若點、運動時，總有，直接填空：．（3）在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的值．【解答】解：（1）當點、運動了時，，，，；（2）設運動時間為，則，，，，又，，即，，，，故答案為：；（3）當點在線段上時，如圖，，，，即．當點在線段的延長線上時，如圖，，，即．綜上所述或．2．已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)，（1）若，，線段在線段上移動，①如圖1，當為中點時，求的長；②當點是線段的三等分點時，求的長；（2）若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則或．【解答】解：（1），，，，①為中點，，，，；②點是線段的三等分點，，當點靠近點時，，，；當點靠近點時，，；（2）當點在線段之間時，如圖，設，則，，，，設，，，，，，，，；當點在點的左側(cè)，如圖，設，則，設，，，，，，，，，，，當點在線段上及點在點右側(cè)時，無解，綜上所述的值為或．另一解法：可設，則，，，以為原點，以的方向為正方向建立數(shù)軸，則表示0，表示4，表示6，如圖，設表示的數(shù)為，則表示，可得，，，，，①當或時，上式可化為：，解得，則；②時，上式化為：，解得：，則；③時，上式化為：，解得：（舍去）．綜上所述的值為或．故答案為：或．3．已知點在線段上，，點，在直線上，點在點的左側(cè)．（1）若，，線段在線段上移動．①如圖1，當為中點時，求的長；②點（異于，，點）在線段上，，，求的長；（2）若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求的值．【解答】解：（1），，，，①為中點，，，，；②如圖1，當點在點的右側(cè)時，，，，；當點在點的左側(cè)時，，，，，；綜上所述，的長為或；（2）當點在線段之間時，如圖3，設，則，，，，設，，，，，，，，，；當點在點的左側(cè)，如圖4，設，則，設，，，，，，，，，，點在點右側(cè)，及點在點右側(cè)，無解，不符合題意；當是在右側(cè)，在左側(cè)時，如圖5，設，則，，，，設，，，，（不合題意），當點在線段上及點在點右側(cè)時，無解，當在的右側(cè)，其他情況不存在，舍去．綜上所述的值為或．4．已知：如圖1，點是線段上一定點，，、兩點分別從、同時出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示在線段上，在線段上）（1）若，當點、運動了，此時，；（直接填空）（2）當點、運動了，求的值；（3）若點、運動時，總有，則（填空）；（4）在（3）的條件下，是直線上一點，且，求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意知，，，，，，，，故答案為：，；（2）當點、運動了時，，，，，，；（3）根據(jù)、的運動速度知：，，，即，，，，故答案為：；（4）①當點在線段上時，如圖1，，又，，，；②當點在線段的延長線上時，如圖2，，又，，；綜上所述或1．5．如圖，已知是線段上一點，，，兩點從，同時出發(fā)，分別以每秒2厘米，每秒1厘米的速度沿方向運動，當點到達終點時，點也停止運動，設（厘米），點，的運動時間為（秒．（1）用含和的代數(shù)式表示線段的長度；（2）當時，，求線段的長；（3）當時，求的值．【解答】解：（1），，，，；（2），，，，當時，解得，；（3），，，，，，，．6．已知：如圖1，是定長線段上一定點，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示在線段上，在線段上）（1）若，當點、運動了，求的值．（2）若點、運動時，總有，直接填空：．（3）在（2）的條件下，是直線上一點，且，求的值．【解答】解：（1）當點、運動了時，，，，．（2）設運動時間為，則，，，，又，，即，，，故答案為：．（3）當點在線段上時，如圖，又，，即．當點在線段的延長線上時，如圖，又，即．綜上所述7．如果一點在由兩條公共端點的線段組成的一條折線上且把這條折線分成長度相等的兩部分，這點叫做這條折線的“折中點”．如果點是折線的“折中點”，請解答以下問題：（1）已知，．當時，點在線段上；當時，點與重合；當時，點在線段上；（2）若為線段中點，，，求的長度．【解答】解：（1）已知，．當時，點在線段上；當時，點與重合；當時，點在線段上．故答案為：，，；（2）點在線段上，為線段中點，，，，，，；點在線段上，為線段中點，，，，，，．8．如圖，是線段上一動點，沿以的速度往返運動1次，是線段的中點，，設點運動時間為秒．（1）當時，①4．②求線段的長度．（2）①點沿點運動時，；②點沿點運動時，．（用含的代數(shù)式表示的長）（3）在運動過程中，若中點為，則的長是否變化，若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【解答】解：（1）當時，①；②，由是線段的中點，得；（2）①點沿點運動時，；②點沿點運動時，；（3）在運動過程中，若中點為，則的長不變，由中點為，是線段的中點，得，．．9．如圖，點、在線段上，．（1）若點是線段的中點，求的值；（2）若，求的值；（3）若線段上有一點（不與點重合），，求的長．【解答】解：設，，則．（1）是中點，，，即．（2），即，，，即．（3）設，，，，即．10．如圖，點、是線段上的兩點，點和點分別在線段和線段上．（1）當，，，時，4；（2）若，①當，時，求的長度（用含和的代數(shù)式表示）②當，是正整數(shù)）時，直接寫出．（用含、、的代數(shù)式表示）【解答】解：（1），，，，，，，故答案為4．（2）①，，，，，，．②，，，，，，．故答案為．11．如圖，為線段延長線上一點，為線段上一點，，為線段上一點，（1）若，，求的長；（2）若，求的長；（用含的代數(shù)式表示）（3）若圖中所有線段的長度之和是線段長度的7倍，則的值為．【解答】解：（1），，，，，，，；（2），，，，，，，，；（3）設，，則，，所有線段和，，則，，，故答案為：．12．如圖，是線段上一點，，．（1）10；（2）動點、分別從、同時出發(fā)，點以的速度沿向右運動，終點為；點以的速度沿向左運動，終點為．當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．求運動多少秒時，、、三點，有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【解答】解：（1），故答案為：10；（2）①當時，是線段的中點，得，解得；②當時，為線段的中點，，解得；③當時，為線段的中點，，解得；④當時，為線段的中點，，解得（舍，綜上所述：或或．13．如圖1，點，都在線段上（點在點和點之間），點，分別是線段，的中點．（1）若，且，求線段的長；（2）若，，求線段的長（用含，的代數(shù)式表示）；（3）如圖2，延長線段至點，使，請?zhí)骄烤€段與應滿足的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）【解答】解：（1）設，則，，．點，分別是線段，的中點，，．，．，，解得：，．（2）點，分別是線段，的中點，，．，，，，．（3）點，分別是線段，的中點，，．，．14．在射線上有三點，，，滿足，，，點從點出發(fā)，沿方向以的速度勻速運動；點從點出發(fā)，沿線段勻速向點運動（點運動到點時停止運動）．如果兩點同時出發(fā)，請你回答下列問題：（1）已知點和點重合時，求的長度；（2）在（1）題的條件下，求點的運動速度．【解答】解：（1），，，，，（2），，，，，，以的速度勻速運動，點運動的時間為，點運動的時間為，點的速度．15．如圖，有兩段線段（單位長度），（單位長度）在數(shù)軸上運動．點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，線段（2）若線段以1個單位長度秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度秒的速度向左勻速運動．設運動時間為秒，若（單位長度），求的值（3）若線段以1個單位長度秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度秒的速度也向左運動．設運動時間為秒，當時，設為中點，為中點，則線段的長為．【解答】解：（1），點在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是；，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是14．．故答案為：；14；24．（2）當運動時間為秒時，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，．，，解得：，．答：當（單位長度）時，的值為6或10．（3）當運動時間為秒時，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，，點一直在點的右側(cè)．為中點，為中點，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，．故答案為：．16．（1）如圖，點在線段上，線段，，點、分別是和的中點．求線段的長；（2）若線段，其他條件不變，則線段的長度為（直接寫出答案）．（3）對于（1），如果敘述為：“點在直線上，線段，，點、分別是和的中點，求線段的長？”結(jié)果會有變化嗎？如果有，直接寫出結(jié)果．【解答】解：（1），，點、分別是和的中點，，，；（2）點、分別是和的中點，，，；故答案為：；（3）結(jié)果會有變化，如圖，點、分別是和的中點，，，，線段的長為或．17．（1）如圖，點在線段上，線段，，點、分別是、的中點，求線段的長？（2）根據(jù)（1）的計算過程和結(jié)果，設，其他條件不變，你能猜出的長度嗎？用一句話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（3）對于（1），如果敘述為：“已知線段，，點在直線上，點、分別是、的中點，求線段的長？”結(jié)果會有變化嗎？如果有，求出結(jié)果．【解答】解：（1）點、分別是、的中點，，，，，由線段的和差，得．答：線段的長是．（2），的長度等于；（3）會有變化．當點在線段上時，；當點在線段的延長線上時，．18．如圖，點在線段上，點、分別是、的中點．（1）若線段，，則線段的長為（2）若為線段上任一點，滿足，其它條件不變，求的長；（3）若原題中改為點在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．【解答】解：（1），，，又點、分別是、的中點，，，；故答案為：；（2）點、分別是、的中點，，，；（3）當點在線段上時，點、分別是、的中點，，，；當點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，；當點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，．19．已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．（1）若，，線段在線段上移動．①如圖1，當為中點時，求的長；②點（異于，，點）在線段上，，，求的長；（2）若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，則或．【解答】解：（1），，，，，①如圖，為中點，，，；②如圖，Ⅰ、當點在點的左側(cè)，，，點是的中點，，，；Ⅱ、當點在點的右側(cè)，，，，，．其他情況不存在，舍去．綜上所述：的長為3或5；（2），，滿足關(guān)系式，Ⅰ、當點在點右側(cè)時，如圖，設，，則，解得，，．Ⅱ、當點在點左側(cè)時，如圖，設，，則，解得，，．點在點右側(cè)，及點在點右側(cè)，無解，不符合題意；當在線段內(nèi)部時，如圖，設，，則，，，，，，，，解得，（不符合題意，舍去），，不符合題意，舍去．其他情況不存在，舍去．故答案為或．20．如圖，是線段上一點，，，點從出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為；