七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題30 和角平分線有關(guān)的計(jì)算（解析版）

/專題30和角平分線有關(guān)的計(jì)算1．已知，（1）如圖1，、分別平分和，若，則是38；（2）如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)（寫推理過(guò)程）．（3）若、分別平分和，，則的度數(shù)是（在稿紙上畫圖分析，直接填空）．【解答】解：（1），平分，，，，又平分，．（2），，，又、分別平分和，，，，（3）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．2．我們學(xué)過(guò)角的平分線的概念．類比給出新概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的三分線．顯然，一個(gè)角的三分線有兩條，例如：如圖1，若，則是的一條三分線．（1）如圖1，若，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，若，是的兩條三分線．①求的度數(shù)；②現(xiàn)以為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，則求的值．（3）如圖3，若，是的一條三分線，，分別是與的平分線，將繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若射線恰好是的三分線，則此時(shí)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少秒？（直接寫出答案即可，不必說(shuō)明理由）【解答】解：（1）是的一條三分線，且，，；（2）①解：，，是的兩條三分線，如圖2①，，②現(xiàn)以為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，分兩種情況：當(dāng)是的三分線，且時(shí)，如圖2②，，，，當(dāng)是的三分線，且時(shí)，如圖2③，，，或50．（3）是的一條三分線，，分別是與的平分線可得，或，當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或時(shí)，是的一條三分線，或（秒當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)或時(shí)，是的一條三分線，或（秒綜上，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是25，26，28或29秒．3．如圖，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)（寫出求解過(guò)程）；（3）若將條件中“平分，平分．平分”改為“，”，且，求的度數(shù)（寫出求解過(guò)程）．【解答】解：（1），，；平分，平分，，，．（2），平分，平分，．（3），，，．4．如圖，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）若射線繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，試求當(dāng)時(shí)的值；（3）若繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)繞點(diǎn)以每秒旋轉(zhuǎn)的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，平分，平分，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出其值：若改變，說(shuō)明理由．【解答】解：如圖所示：（1）設(shè)，又，，，，又，解得：；（2），，，①若線段、重合前相差，則有：，解得：，②若線段、重合后相差，則有：解得：，又，或；（3）的度數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，，理由如下：旋轉(zhuǎn)秒后，，，、分別平分、，．5．根據(jù)閱讀材料，回答問(wèn)題．材料：如圖所示，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．如果一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角和，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．這時(shí)，（或．問(wèn)題：平面內(nèi)一定點(diǎn)在直線的上方，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，作射線，，．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持，，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)時(shí)，若平分，求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)，時(shí)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，，直接寫出此時(shí)的度數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)的度數(shù)為，由題意可知：，因?yàn)槠椒?，所以，所以解得，．答：的度?shù)為．（2）①如圖2，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，設(shè)的度數(shù)為，由題意可知：，，，，，，，，解得，；②如圖3，當(dāng)射線在外部時(shí)，設(shè)的度數(shù)為，由題意可知：，，，，，，，，解得，．③如圖，由題意可知：，設(shè)，則，，解得，，；由題意可知：，設(shè)，則，，解得，，；答；的值為或或或；（3）如圖4，當(dāng)時(shí)，由圖可得：，又，，；如圖5，當(dāng)時(shí)，由圖可得：，又，，；當(dāng)射線在下面時(shí)，或．綜上所述：的度數(shù)為或或或．6．我們已學(xué)習(xí)了角平分線的概念，那么你會(huì)用它們解決有關(guān)問(wèn)題嗎？（1）如圖1所示，將長(zhǎng)方形筆記本活頁(yè)紙片的一角折過(guò)去，使角的頂點(diǎn)落在處，為折痕．若，求的度數(shù)．（2）在（1）條件下，如果又將它的另一個(gè)角也斜折過(guò)去，并使邊與重合，折痕為，如圖2所示，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，；（2）由（1）的結(jié)論可得，，，，．7．如圖，已知，以為頂點(diǎn)，為一邊畫，若，與的平分線分別為，．（1）如圖1，若射線在的內(nèi)部，求的度數(shù)．（2）如圖2，若射線在的外部，求的度數(shù)．（3）由（1）、（2）題結(jié)果中的規(guī)律，若把“改為為銳角）”，其余條件不變，的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？若變化，請(qǐng)求的度數(shù)；若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）平分，平分，，，，，．（2）平分，平分，，，，，．（3）的度數(shù)不會(huì)變化，理由如下：若射線在的內(nèi)部，平分，平分，，，，，．若射線在的外部，平分，平分，，，，，．8．如圖1，，，平分（1）若，則40（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，求和的數(shù)量關(guān)系（3）在（2）的條件下，在內(nèi)部是否存在射線，使，且？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，平分，，，，故答案為40；（2），；（3）存在．理由如下：，設(shè)，，，，，，，，，，，．9．如圖1，已知，，是內(nèi)部的一條射線，且平分．（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則（用含的式子表示）．（4）當(dāng)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，請(qǐng)把圖補(bǔ)充完整；此時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1），，，平分，，，，；故答案為：；（2），，，平分，，；故答案為：；（3），，，平分，，；故答案為：；（4）如圖所示：．證明：設(shè)，則，又平分，．即．10．已知，，若射線繞點(diǎn)在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，平分．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的度數(shù)：50；；（2）請(qǐng)分別求出當(dāng)和時(shí)，的度數(shù)（利用備用圖，畫出圖形并寫出簡(jiǎn)要的過(guò)程）；（3）若，請(qǐng)用含的式子表示的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）．【解答】解：（1）．平分，．．故答案為：50；．（2）當(dāng)時(shí)，如圖①所示：，．平分，．．如圖②所示：當(dāng)時(shí)．，，．平分角，．．如圖③所示：當(dāng)時(shí)．，，．平分角，．．的度數(shù)為或．（3）如圖②所示：，，．平分角，．．如圖③所示：，，．平分角，．．綜上所述，或．11．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要不斷地歸納，思考和遷移，這樣才能提高我們解決問(wèn)題的能力：規(guī)律發(fā)現(xiàn)：在學(xué)完《數(shù)軸》這節(jié)課后，小明的作業(yè)有兩道小題，請(qǐng)你幫他把余下的兩空完成：（1）點(diǎn)表示的數(shù)是2，點(diǎn)表示的數(shù)是6，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為4；（2）點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是7，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．直接運(yùn)用：將數(shù)軸按如圖（1）所示從某一點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，則值為，若將從圖中位置向右滾動(dòng)，則數(shù)字2014對(duì)應(yīng)點(diǎn)將與的頂點(diǎn)重合．類比遷移：如圖（2）：，，，若射線繞點(diǎn)每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線重合時(shí)，三條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？【解答】解：（1）將數(shù)軸按如圖所示從某一點(diǎn)開始折出一個(gè)等邊三角形，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，；，解得：．故表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，即等邊三角形邊長(zhǎng)為1，數(shù)字2014對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與的距離為：，，從出發(fā)到2014點(diǎn)滾動(dòng)672周后再滾動(dòng)兩次，數(shù)字2014對(duì)應(yīng)的點(diǎn)將與的頂點(diǎn)重合．故答案為：，；（2），，，，經(jīng)分析知2秒時(shí)與重合，所以在2秒以前設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，是與的角平分線，解得．經(jīng)分析知2秒時(shí)與重合，2.25秒時(shí)與重合，所以在2秒到2.25秒間，是與的角平分線，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，3秒時(shí)與重合，所以在3秒以前設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，是與的角平分線，解得．4秒時(shí)與直線重合，設(shè)3秒后4秒前運(yùn)動(dòng)秒時(shí)是與的角平分線，解得（舍去）．故運(yùn)動(dòng)1.5秒，秒或2.4秒時(shí)，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線．12．已知，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，的度數(shù)是；如圖2，若恰好平分，則的度數(shù)是；（2）當(dāng)從圖1的位置開始，繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，作射線平分，射線平分，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)的度數(shù)保持不變．①的度數(shù)是；②請(qǐng)選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．【解答】解：（1）點(diǎn)、、在同一條直線上平分（2）①②圖4證明：平分，平分，圖5證明：平分，平分，．13．已知，是銳角，平分，平分．（1）如圖1若，求的度數(shù)？（2）若射線繞著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部（如圖，在（1）的條件下求的度數(shù)；（3）若，，請(qǐng)用含有，的式子直接表示上述兩種情況的度數(shù)．【解答】解：（1）平分，平分，，，，，，，；（2）由（1）可知，，，；（3）平分，平分，，，，，，．如果射線在的外部，那么；如果射線在的內(nèi)部，那么．14．已知，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．射線、分別平分、．（1）如圖①，如果秒，求的度數(shù)；（2）如圖①，若射線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）射線從出發(fā)時(shí)，射線也同時(shí)從出發(fā)，繞點(diǎn)以秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線、在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)你借助圖②和備用圖進(jìn)行分析后，直接寫出的值．【解答】解：（1）如圖①，根據(jù)題意，得，射線平分，，答：的度數(shù)為．（2）根據(jù)題意，得射線、分別平分、，，，，答：的度數(shù)為．（3）射線、分別平分、，根據(jù)題意，得，①如圖②：當(dāng)落在和之間時(shí)，，，解得．②如圖當(dāng)落在和之間時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，的值為，當(dāng)時(shí)，的值為．答：的值為或．15．已知如圖1，平分，平分．（1）如果，，那么是多少度？（2）如果，，那么是多少度？（3）通過(guò)（1）、（2）的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？（4）拓展：如圖2，已知點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，試判斷線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解（1）平分，，平分，，，；（2）平分，，平分，，，；（3）通過(guò)第（1）、（2）的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)；（4）拓展：，理由如下：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．16．【問(wèn)題提出】已知，，，求的度數(shù)．【問(wèn)題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．（1）當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，①若射線在內(nèi)部，如圖1，可求的度數(shù)，解答過(guò)程如下：設(shè)，，，，，，，問(wèn)：當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，②若射線在外部，如圖2，請(qǐng)你求出的度數(shù)；【問(wèn)題延伸】（2）當(dāng)射線在的外部時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，并求的度數(shù)．【問(wèn)題解決】綜上所述：的度數(shù)分別是，，或．【解答】解：（1）②如下圖2所示，設(shè)，則，，，，，．；（2）當(dāng)射線在外部時(shí)，根據(jù)題意，此時(shí)射線靠近射線，，，射線的位置也只有兩種可能；①若射線在內(nèi)部，如圖3所示，，，，；②若射線在外部，如圖4所示，，，，，，；由上可得，的度數(shù)分別是，，，．故答案為：，，或．17．如圖1，將一副三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)放到一塊，，，，分別是，的角平分線．（1）當(dāng)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線與重合時(shí)（如圖，則的大小為；（2）如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求的大小，寫出解答過(guò)程；（3）在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，．【解答】解：（1），，，分別是，的角平分線，，，．故答案為：；（2）當(dāng)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，時(shí)，，，，，；（3），，，分別是，的角平分線，，，，，，；當(dāng)在、的反向延長(zhǎng)線形成的角的內(nèi)部時(shí)，同理，，綜上所述：或，故答案是：37.5或142.5．18．一副三角尺（分別含，，和，，按如圖1所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角尺的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)時(shí)，邊經(jīng)過(guò)的量角器刻度線對(duì)應(yīng)的度數(shù)是90度；（2）如圖2，若在三角尺開始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)，．①用含的代數(shù)式表示：；；當(dāng)為何值時(shí)，？②從三角尺與三角尺第一對(duì)直角邊和斜邊重疊開始起到另一對(duì)直角邊和斜邊重疊結(jié)束止，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為秒．【解答】解：（1）當(dāng)秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知：邊旋轉(zhuǎn)的角度為：，邊經(jīng)過(guò)的量角器刻度線對(duì)應(yīng)的度數(shù)為：，故答案為：；（2）①三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，故答案為：，，在三角尺和三角尺旋轉(zhuǎn)前，，現(xiàn)在，分兩種情況：與相遇前，則：，解得：，與相遇后，則：，解得：，當(dāng)為秒5或5.5秒時(shí)，；②，，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，即與共旋轉(zhuǎn)了，，，故答案為：．19．如圖1，對(duì)于線段和，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，射線在內(nèi)部，如果，則稱線段是的伴隨線段，是線段的伴隨角．例如：，，若，則線段的伴隨角．（1）當(dāng)，時(shí)，若，試求的伴隨線段的長(zhǎng)．（2）如圖2，對(duì)于線段和，，．若點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，，分別是線段，的中點(diǎn)，，，分別是線段，，的伴隨角，則在點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中（不與，重合），的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不會(huì)，請(qǐng)求出的大?。?）如圖3，已知是任意銳角，點(diǎn)，分別是射線，上的任意一點(diǎn)，連接，的平分線與線段相交于點(diǎn)．對(duì)于線段和，線段是的伴隨線段，點(diǎn)和點(diǎn)能否重合？如果能，請(qǐng)舉例并用數(shù)學(xué)工具作圖，再通過(guò)測(cè)量加以說(shuō)明；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由伴隨角和伴隨線段的定義可知，，，．（2）不會(huì)，．理由如下：點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，，，．，，分別是線段，，的伴隨角，，，，，，，．（3）能，理由如下：是的平分線，，線段是的伴隨線段，．即點(diǎn)