七年級數(shù)學上冊專題1.5 新定義問題（壓軸題專項講練）（人教版）（原卷版）

/專題1.5新定義問題【典例1】小聰是一個聰明而又富有想象力的孩子．學習了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學知識，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）．（1）直接寫出計算結(jié)果，f（4，12）＝，f（5，3）＝（2）關(guān)于“有理數(shù)的除方”下列說法正確的是．（填序號）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③對于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1；④對于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請推導出“除方”的運算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導過程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）（4）請利用（3）問的推導公式計算：f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1【思路點撥】（1）根據(jù)題意計算即可；（2）①分別計算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進行比較即可；②根據(jù)題意計算即可判斷；③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計算即可判斷；④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個a相除，結(jié)果應(yīng)為正；（3）推導f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可；（4）按照上題的推導式可以將算式中的每一部分表示出來再計算．【解題過程】解：（1）f（4，12）=f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=1故答案為：4；127（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f（3，6）＝6÷6÷6∴f（6，3）≠f（3，6），故錯誤；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確；③對于任何正整數(shù)n，當n為奇數(shù)時，f（n，﹣1）＝﹣1；當n為偶數(shù)時，f（n，﹣1）＝1．故錯誤；④對于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯誤；故答案為：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（1a）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n（4）f（5，3）×f（4，13）×f（5，﹣2）×f（6，1=127×=?21．（2022?長安區(qū)模擬）用“☆”定義一種新運算：對于任何不為零的整數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab﹣b2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，則（﹣2）☆（﹣1）的值為（）A．﹣3 B．1 C．32 D．2．（2021秋?東港區(qū)期末）已知a、b皆為正有理數(shù)，定義運算符號為※：當a＞b時，a※b＝2a；當a＜b時，a※b＝2b﹣a，則3※2﹣（﹣2※3）等于（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．103．（2022?武威模擬）用“*”定義新運算，對于任意有理數(shù)a、b，都有a*b＝b3﹣1，則12A．﹣1 B．﹣9 C．?124．（2021秋?洪山區(qū)期末）定義：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．則下列說法中正確的有（）個．①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝4，則a＝50；④log2128＝log216+log28；A．4 B．3 C．2 D．15．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對有理數(shù)A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 6．（2020秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2若n＝49，則第2021次“F”運算的結(jié)果是（）A．68 B．78 C．88 D．987．（2021秋?大連月考）我們對任意四個有理數(shù)a，b，c，d定義一種新的運算：abcd=ad﹣bc．則8．（2021秋?鄖西縣月考）我們定義一種新運算，規(guī)定：圖表示a﹣b+c，圖形表示﹣x+y﹣z，則+的值為．9．（2020秋?青浦區(qū)期中）若定義新的運算符號“*”為a*b=a+1b，則（13*110．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，當a≤b時，都有a△b＝a2b；當a＞b時，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝；(?2311．（2021秋?綿陽期中）定義一種新的運算：x?y=x2?2y，x＞y1，x=y?2xy，x＜y12．（2021?越秀區(qū)校級開學）定義兩種新運算，觀察下列式子：（1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；（2）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；根據(jù)以上規(guī)則，計算[1Θ(?1213．（2021秋?西城區(qū)校級期中）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=a+b+|a?b|（1）計算：（﹣6）☆5＝．（2）從﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任選兩個有理數(shù)做a，b（a≠b）的值，并計算a☆b，那么所有運算結(jié)果中的最大值是．14．（2021秋?封丘縣期末）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算“?”，規(guī)定a?b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3?5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）計算3?（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a?b．15．（2021秋?茂名期中）已知a、b均為有理數(shù)，現(xiàn)定義一種新的運算，規(guī)定：a?b＝a2+ab﹣5，例如1?1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）?6的值；（2）[2?（?316．（2021秋?沁陽市期中）同學們剛學完有理數(shù)相關(guān)運算后，老師又定義了一種新的“※（加乘）”運算，以下算式就是按照“※（加乘）”運算法則進行的運算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運算法則：兩數(shù)進行“※（加乘）”運算，同號，異號，并把絕對值；特別地，一個數(shù)與0進行“※（加乘）”運算，都得．（2）計算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．計算：1a×b17．（2021秋?晉江市期中）給出如下定義：如果兩個不相等的有理數(shù)a，b滿足等式a﹣b＝ab．那么稱a，b是“關(guān)聯(lián)有理數(shù)對”，記作（a，b）．如：因為3?34=124（1）在數(shù)對①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57（2）若（m，n）是“關(guān)聯(lián)有理數(shù)對”，則（﹣m，﹣n）“關(guān)聯(lián)有理數(shù)對”（填“是”或“不是”）；（3）如果兩個有理數(shù)是一對“關(guān)聯(lián)有理數(shù)對”，其中一個有理數(shù)是5，求另一個有理數(shù)．18．（2022春?邗江區(qū)校級期中）閱讀材料：如果10b＝n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b＝d（n）．由定義可知：10b＝n與b＝d（n）表示b、n兩個量之間的同一關(guān)系．如：102＝100，則d（100）＝2．理解運用：（1）根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10﹣3）＝，d（1）＝；（2）“勞格數(shù)”有如下運算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n），d（mn）＝d（m）﹣d（n）；根據(jù)運算性質(zhì)，填空：d(a3)（3）若d（2）＝0.3010，計算：d（4）、d（5）；（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，請證明m＝n＝p．19．（2022春?衡陽縣期末）定義：對于確定位置的三個數(shù)：a，b，c，計算a﹣b，a?c2，b?c3，將這三個數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”，例如，對于1，﹣2，3，因為1﹣（﹣2）＝3，1?32=?1，（1）﹣2，﹣4，1的“分差”為；（2）調(diào)整“﹣2，﹣4，1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大值是；（3）調(diào)整﹣1，6，x這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個“分差”為2，求x的值．20.（2022春?房山區(qū)期中）現(xiàn)將偶數(shù)個互不相等的有理數(shù)分成個數(shù)相同的兩排，需滿足第一排中的數(shù)越來越大，第二排中的數(shù)越來越小．例如，軒軒將“1，2，3，4”進行如下分組：第一列第二列第一排12第二排43然后把每列兩個數(shù)的差的絕對值進行相加，定義為該分組方式的“