多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課課件

第八章習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)第八章習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)1一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會(huì)求定義域。2了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。3理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法。4掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法。5了解全微分形式的不變性。6掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法。一基本要求1理解二元函數(shù)的概念，會(huì)求定義域。27會(huì)求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線。8了解方向?qū)?shù)的概念和計(jì)算公式。9了解梯度的概念和計(jì)算方法以及梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。10掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值的求法及最大（?。┲档那蠓ā?會(huì)求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線。3二要點(diǎn)提示（一）函數(shù)的概念1.點(diǎn)函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每一點(diǎn)變量按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱是點(diǎn)的函數(shù)，記為

注意

1.從一元函數(shù)推廣2.多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別二要點(diǎn)提示（一）函數(shù)的概念注意1.從一元函數(shù)推廣4當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為n元函數(shù).為三元函數(shù)；……當(dāng)時(shí)，為二元函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為一元函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)5

2.多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成，可用一個(gè)式子所表示的函數(shù)，稱為多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.2.多元初等函數(shù)：61．偏導(dǎo)數(shù)（1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增量與自變量增量之比的極限.（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分1．偏導(dǎo)數(shù)（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分7（2）計(jì)算求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實(shí)際上是一元函數(shù)的微分法問題，對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)，暫時(shí)將其余變量看作常數(shù).2．全微分微分公式：（2）計(jì)算2．全微分微分公式：8（三）多元函數(shù)連續(xù)﹑偏導(dǎo)存在與可微之間的關(guān)系一元函數(shù)：可導(dǎo)函數(shù)可微，一元函數(shù)：可導(dǎo)連續(xù)，多元函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

函數(shù)可微多元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在。（三）多元函數(shù)連續(xù)﹑偏導(dǎo)存在與可微之間的9（四）多元函數(shù)微分法1．多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（1）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t的實(shí)質(zhì)是函數(shù)必須對(duì)中間變量求導(dǎo)。依據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可按照“連線相乘，分線相加”的原則來進(jìn)行.（四）多元函數(shù)微分法（1）鏈?zhǔn)椒▌t10

設(shè)則是的復(fù)合函數(shù).設(shè)11稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu),它可用“樹形圖”來表示.稱為全導(dǎo)數(shù).求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清12注意：

注意：132．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則方法2

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：方法1對(duì)方程兩端求(偏)導(dǎo)數(shù)，然后解出所求(偏)導(dǎo)數(shù).2．隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)是由14（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點(diǎn)處切向量為是曲線上一點(diǎn)，其相應(yīng)的參數(shù)為（1）設(shè)空間曲線：1．空間曲線的切線及法平面（五）微分法在幾何上的應(yīng)用則曲線在點(diǎn)處切向量為是曲15曲線在點(diǎn)處的切線方程為曲線在點(diǎn)處的法平面方程為曲線在點(diǎn)處的切線方程為曲線在點(diǎn)處的法平面16

若曲線的方程表示為則在點(diǎn)處切向量為若曲線的方程表示為則在點(diǎn)處切向量為172．曲面的切平面及法線為曲面上一點(diǎn),則曲面在點(diǎn)處的法向量為（1）設(shè)曲面方程為（隱函數(shù)形式）2．曲面的切平面及法線為曲面上一點(diǎn),則曲面在點(diǎn)處的18切平面方程為法線方程為切平面方程為法線方程為19（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點(diǎn)的法向量為則可寫為隱函數(shù)形式（2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）曲面上點(diǎn)的法向量為則20（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計(jì)算公式：若可微，則其中為軸正向到方向的轉(zhuǎn)角方向?qū)?shù)的定義（六）方向?qū)?shù)與梯度2．計(jì)算公式：若21注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在

若可微,則其中為方向的方向角.注意:方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在若223.梯度：設(shè)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，向量

稱為在點(diǎn)的梯度。

梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。3.梯度：稱為在點(diǎn)23（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時(shí)稱為駐點(diǎn)。若在點(diǎn)處有極值，則駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)1．極值的必要條件：（七）函數(shù)的極值﹑最大值和最小值這時(shí)稱24是極小值；2．充分條件：設(shè)在駐點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記(2)當(dāng)時(shí)，不是極值；(1)當(dāng)時(shí)，是極值;(3)當(dāng)時(shí)，不能確定.

是極大值；是極小值；2．充分條件：設(shè)253．條件極值：求拉格朗日函數(shù)

求條件極值的方法：(1)可將條件代入函數(shù)，轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；的極值.如函數(shù)下的極值稱為條件極值.在條件(2)可以用拉格朗日乘數(shù)法：3．條件極值：求拉格朗日函數(shù)求條件極值的方法：的264．函數(shù)的最大值和最小值在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定駐點(diǎn)是否是最值點(diǎn).求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的法:

1.求出該函數(shù)在內(nèi)的所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值;2.求出在的邊界上可能的最大值﹑最小值;3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.4．函數(shù)的最大值和最小值在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)27三例題分析（一）求定義域和極限2.討論極限1.三例題分析（一）求定義域和極限2.討論極限1.28答案:(2)設(shè)沿直線趨近于(0,0)故極限不存在.2.(1)令答案:(2)設(shè)沿直線趨近于(0,029（二）求偏導(dǎo)數(shù)和全微分:1.求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分.（二）求偏導(dǎo)數(shù)和全微分:1.301.求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分.參考答案1.求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分31解解32多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件337.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知方程7.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知方程34多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件35多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件36解法1利用隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式確定的隱函數(shù),則故7.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),已知方程解法1利用隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式確定的隱函數(shù),則故7.設(shè)F37解法2對(duì)方程兩邊求全微分，得用全微分形式不變性即解法2對(duì)方程兩邊求全微分38（三）曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線2.作一平面與直線垂直且與球面相切.在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程.1.求曲線（三）曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線2.作一平面與直39即曲線，法平面方程：切線方程：其切向量為解方程組確定隱函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程及法平面方程.1.求曲線即曲線40所求平面的法向量2.作一平面與直線垂直且與球面相切.解所求平面設(shè)為設(shè)切點(diǎn)為方法1所求平面的法向量2.作一平面與直線41所求平面：由（切）點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，有所求平面與球面相切.所求平面：由（切）點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式，有所求平面與球面42則球面的法向量為:方法2所求平面的法向量2.作一平面與直線垂直且與球面相切.則球面的法向量為:方法2所求平面的法向量2.作一平面與直線43所求方程為代入曲面，得所求方程為代入曲面，得44解（四）方向?qū)?shù)和梯度解（四）方向?qū)?shù)和梯度45多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件46梯度的模由題意：要使方向?qū)?shù)=梯度的模，即須有說明球心在原點(diǎn)的球面上點(diǎn)沿向徑的方向?qū)?shù)最大.梯度的模由題意：要使方向?qū)?shù)=梯度的模，即須有說明球47解（五）多元函數(shù)的極值和最大、最小值解（五）多元函數(shù)的極值和最大、最小值48多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件49解解50多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件51多元函數(shù)微分學(xué)-習(xí)題課ppt課件521.(06,一)

綜合練習(xí)1.(06,一)綜合練習(xí)53解選D.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解選D.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)542(03,一)A.不是極值點(diǎn)；B.極大值點(diǎn)；C.極小值點(diǎn)；D.無法判斷因已知極限是1，而分母解選A.2(03,一)A.不是極值點(diǎn)；B.極大值553（03,三）則下列結(jié)論正確的是（）.解選A.因可微函數(shù)必有偏導(dǎo)存在，由極值存在的必要條件，知3（03,三）則下列結(jié)論正確的是（）.解選A.因可微564.已知函數(shù)的全微分并且在橢圓域:上的最大值和最小值.解先確定4.已知函數(shù)的全微分并且在橢圓域:上的最大值和最小值.解先確57不是極值點(diǎn)，也非最值點(diǎn).說明最值不在橢圓區(qū)域內(nèi).不是極值點(diǎn)，也非最值點(diǎn).說明最值不在橢圓區(qū)域58考慮邊界曲線上的情形：令拉格朗日函數(shù)為解方程組得可能的極值點(diǎn)考慮邊界曲線上的情59可能的極值點(diǎn)函數(shù)值：內(nèi)的最大值為3，最小值為－2.可見在區(qū)域可能的極值點(diǎn)函數(shù)值：內(nèi)的最大值為3，最小值為－2.可見605.設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為5.設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面,其底部所61(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說,需要在D的邊界線上找出使(1)中的達(dá)到最大值的點(diǎn),試確定涉及到：方向?qū)?shù)、梯度和條件極值等概念攀登起點(diǎn)的位置.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山上找出使(1)62解沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，為梯度的模，所以

由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系，知解沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，為梯度的模，所以由方向?qū)?shù)與梯度63下的最大值點(diǎn).由拉格朗日乘數(shù)法，令（2）令則則只須求在約束條件下的最大值點(diǎn).由拉格朗日乘數(shù)法，令（2）令則則只須求在約束條64于是得到四個(gè)可能極值點(diǎn)：則由（3）式得則由（1）式得再由（3）式得式(1)+(2),得若若由于故或可作為攀登起點(diǎn).于是得到四個(gè)可能極值點(diǎn)：則由（3）式得則由（1）式得再由（3655.設(shè)具有二階偏導(dǎo)數(shù),多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)例題5.設(shè)具有二66參考答案：同理,解例1設(shè)求參考答案：同理,解例1設(shè)67例2設(shè)