2021-2023高考數(shù)學(xué)真題匯編：三、數(shù)列（含答案解析）

三、數(shù)列——三年（2021-2023）高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新真題精編1.【2023年天津卷】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.(1)求的通項(xiàng)公式和；(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則.(i)當(dāng)時(shí)，求證：；(ii)求的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和.2.【2023年上海卷】國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況和發(fā)展水平的重要指標(biāo).根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP穩(wěn)定增長(zhǎng)，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元.3.【2023年新課標(biāo)Ⅱ卷】已知為等差數(shù)列，.記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，若，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.4.【2022年北京卷】設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.【2022年北京卷】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；

③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.6.【2022年浙江卷】已知數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.7.【2022年上海卷】已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項(xiàng)和，若，則中不同的數(shù)值有__________個(gè).8.【2022年上海卷】已知無窮數(shù)列中，，，若對(duì)于任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得.（1）求的所有可能值.（2）已知命題p：若，，，…，成等差數(shù)列，則.證明命題p為真命題，同時(shí)寫出命題p的逆命題q，若命題q是真命題，則證明之；若命題q是假命題，請(qǐng)舉反例.（3）若對(duì)于任意的正整數(shù)m，都有成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.9.【2021年天津卷】已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.是公比大于0的等比數(shù)列，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，.（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明.10.【2021年上海卷】已知，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，且，，則的最小值為___________.

答案以及解析1.答案：(1)(2)(i)證明見解析(ii)通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為解析：(1)設(shè)的公差為d，由，得，解得，所以的通項(xiàng)公式為.，.從到共有(項(xiàng)).所以.(或).(2)(i)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，可得.因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以若，則，得.同理可得.故可得，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，.(ii)由題意知是的正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)的通項(xiàng)公式為(，且)，由(i)知，，即，則有.①當(dāng)，即時(shí)，，使得，與矛盾；②當(dāng)，，即且時(shí)，，使得，與矛盾.故.因?yàn)?，所?設(shè)的前n項(xiàng)和為，則.2.答案：946解析：依題意，將2020年四個(gè)季度的GDP數(shù)據(jù)分別記為，，，，則，，四個(gè)季度GDP數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，平均數(shù)為，則，，故該市2020年的GDP總額為(億元).3.答案：(1)(2)證明見解析解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)椋?，?因?yàn)?，，所以，整理，得，解得，所以的通?xiàng)公式為.(2)由(1)知，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.綜上.可知，當(dāng)時(shí)，.4.答案：C解析：設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，則，若為遞增數(shù)列，則，則存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，所以充分性成立；若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)任意的，均成立，由于時(shí)，，且，所以，為遞增數(shù)列，必要性成立.故選C.5.答案：①③④解析：因?yàn)?，所以，又，所以，，即，得，所以①正確；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式作差可得，即，整理得，若數(shù)列為等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，即數(shù)列從第2項(xiàng)起各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)，易知當(dāng)時(shí)不成立，以②不正確；因?yàn)?，所以，由?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，得，所以，所以③正確；對(duì)于④，若數(shù)列的所有項(xiàng)均大于等于，取，由且，得，所以，與已知矛盾，所以④正確.綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.6.答案：B解析：因?yàn)?，，所以，易知，所以有，所以可?由，可得，即.一方面，由，累加可得（*），所以，從而.另一方面，由（*）式可得，所以，又，所以，由，累加可得，所以，所以.綜上可知，.故選B.7.答案：98解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，即，.列舉的前幾項(xiàng)，，，，，，，，則，，，，，，.，，.當(dāng)，時(shí)，易知單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，易知單調(diào)遞減.中不同的數(shù)值有(個(gè)).8、（1）答案：或9解析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或.或9.（2）答案：見解析解析：若，，，…，成等差數(shù)列，則，（，）.，，因此命題p為真命題.命題p的逆命題q：若，則，，，…，成等差數(shù)列.命題q為假命題，反例：，，，，，，，，.（，）（3）答案：解析：若對(duì)于任意的正整數(shù)m，都有成立，則，，，，，.猜想：（，），（，），（，）.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，，成立，成立；(Ⅱ)假設(shè)時(shí)均成立，即，，，…，，，，，.（，），（，，），，，中至少有一個(gè)大于或等于.先證為遞增數(shù)列：①時(shí)，；②假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，，則時(shí)，（，），，，為遞增數(shù)列.(ⅰ)若，則，該不等式不成立；(ⅱ)若，則，，，該不等式不可能成立..由數(shù)學(xué)歸納法得證..9.答案：（I）由題可知數(shù)列中，得

解得，故通項(xiàng)公式為

設(shè)數(shù)列的公比為q，則

解得或（舍去），故通項(xiàng)公式為（Ⅱ）（i）證明：

所以是以8為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列.

（ii）證明：

設(shè)