《線性代數(shù)§》課件

6.2化二次型為標準形只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.6.2化二次型為標準形只含有平方項的二次型稱為二次型的標對于二次型,我們討論的基本問題是:尋求可逆的線性變換x＝Cy,將二次型化為標準形.或：對于實對稱矩陣A，尋求可逆陣C，使得為對角陣.設對于二次型,我們討論的基本問題是:尋求可逆的線性變換說明如何找矩陣C？說明如何找矩陣C？一、正交變換法已知結(jié)論：對任意實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得其中為矩陣A的n個特征值.因為Q為正交陣，所以于是由此得到：一、正交變換法已知結(jié)論：對任意實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣《線性代數(shù)§》PPT課件用正交變換化二次型為標準形的具體步驟用正交變換化二次型為標準形的具體步驟例1:

將二次型通過正交變換x=Py化成標準形.f=17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3解:1.寫出對應的二次型矩陣.2.求A的特征值.=

(

–18)2(

–9)從而得A的特征值:

1=9,

2=

3=18.例1:將二次型通過正交變換x=Py化成標準形.f=173.求特征向量.將

1=9代入(A–

E)x=0得基礎解系:

1=(1,2,2)T.將

2=

3=18代入(A–

E)x=0得基礎解系:

2=(–2,1,0)T,

3=(–2,0,1)T.將特征向量正交化:得正交向量組取

1=

1,

2=

2,

1=(1/2,1,1)T,

2=(–2,1,0)T,

2=(–2/5,–4/5,1)T.3.求特征向量.將1=9代入(A–E)x=0得基礎解系將正交向量組單位化,令得4.作正交變換令于是所求正交變換為:且有f=9y12+18y22+18y32.將正交向量組單位化,令得4.作正交變換令于是所求正交變換（1）幾何意義：在自然基坐標系下的

二次曲面說明：17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3=1在另一直角坐標系下的方程為9y12+18y22+18y32=

1

.它表示一個橢球面，其主軸與新坐標系的坐標軸重合，主軸長度分別為為A的特征值，而變換的矩陣正是由基到基

的過渡矩陣。（1）幾何意義：在自然基（2）一般，的符號決定二次曲面的類型三正：橢球面；兩正一負：單頁雙曲面；一正兩負：雙頁雙曲面；二正一0：橢圓柱面一正一負一0：雙曲柱面（3）二次型的標準形不是唯一的.(4)正交變換的優(yōu)點：保持幾何形狀不變,保持度量.

(5)利用正交變換法時，一定有為A的特征值。一般地；不一定是A的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.（2）一般，的符號決定二次曲面的類型三正：橢球面；兩正一負：f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4例2:

求一個正交變換x=Py,把二次型化為標準形.解:

二次型的矩陣為A的特征多項式為計算特征多項式:把二,三,四列都加到第一列上,有f=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x把二,三,四行分別減去第一行,有從而得A的特征值:

1=–3,

2=

3=

4=1.當

1=–3時,解方程組(A+3E)x=0,得基礎解系:把二,三,四行分別減去第一行,有從而得A的特征值:單位化即得

當

2=

3=

4=1時,解方程組(A–E)x=0,可得正交的基礎解系:單位化即得:于是正交變換為:單位化即得當2=3=4=1時,解方程且有f=–3y12+y22+y32+y42.且有f=–3y12+y22+y32+y42解：二次型的矩陣為:求得特征多項式為:|

A–

E|

=–

(4–

)(9–

).于是A的特征值為:

1=

9,

2=

4,

3=

0.對應特征向量為:例3:化為標準形,并指出f(x,y,z)=36表示何種二次曲面.求一正交變換,將二次型f(x,y,z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz解：二次型的矩陣為:求得特征多項式為:|A–E|=正交變換為:化二次型為f=9u2+4v2.可知f(x,y,z)=36為橢圓柱面方程.將其單位化得正交變換為:化二次型為f=9u2+4v2.可知f在o-xyz坐標系中的圖形在o-uvw坐標系中的圖形在o-xyz坐標系中的圖形在o-uvw坐標系中的圖形例4已知二次型

經(jīng)過正交變換化為標準形

求的值和正交矩陣.解：二次型和標準形的矩陣分別為：由題設條件又故與相似，從而A有特征值所以有又例4已知二次型解：二次型和標準形的矩陣分別為：由題設條件故由解方程組得特征向量：由解方程組得特征向量：由解方程組得特征向量：單位化得：正交矩陣為：故由

1.實二次型的化簡問題,在理論和實際中經(jīng)常遇到,通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應的關系,將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣,而這是已經(jīng)解決了的問題,請注意這種研究問題的思想方法.

2.實二次型的化簡,并不局限于使用正交矩陣,根據(jù)二次型本身的特點,可以找到某種運算更快的可逆變換.下一節(jié),我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法.1.實二次型的化簡問題,在理論和實際中經(jīng)常遇到,通二、拉格朗日配方法用正交變換化二次型為標準形,其特點是保持幾何形狀不變.

問題:

有沒有其它方法,也可以把二次型化為標準形?問題的回答是肯定的.下面首先介紹——拉格朗日配方法.二、拉格朗日配方法用正交變換化二次型為標準形,其特點是

1.若二次型含有xi的平方項,則先把含有xi的乘積項集中,然后配方,再對其余的變量同樣進行,直到都配成平方項為止,經(jīng)過非退化線性變換,就得到標準形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項,但是aij0(i

j),則先作可逆線性變換:

化二次型為含有平方項的二次型,然后再按1中方法配方.(k

i,

j).1.若二次型含有xi的平方項,則先把含有xi的乘積例5:

化二次型為標準形,并求所用的線性變換矩陣.

f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3解:用含有x1的項配方含有平方項=x12+2

x1x2+2

x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2例5:化二次型為標準形,并求所用的線性變換矩陣.f=令所用變換矩陣為f=x12+2x22+5x32+2

x1x2+2

x1x3+6x2x3

=y12+y22令所用變換矩陣為f=x12+2x22+5x32+2x解:

由于所給二次型中無平方項,f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3例6:

化二次型為標準形,并求所用的線性變換矩陣.所以令即代入二次型f=2

x1x2+2

x1x3–6x2x3,得f=2y12–2y22–4

y1y3+8y2y3再配方,得f=2(y1-y3)2–2(y2–2y3)2+6

y32.令解:由于所給二次型中無平方項,f=2x1x2+2x即f=2z12–2z22+6

z32.得所用變換矩陣為|

C

|

=–2

0.用配方法時要注意所用的變換是否為可逆變換.按上述標準程序配方時一定是可逆變換.即f=2z12–2z22+6z32.得所用變換矩陣為|三、初等變換法定理：對任一個n階實對稱矩陣A，都存在可逆陣C，使得即：任一n階實對稱矩陣A，都可以通過一系列同類型的初等行、列變換化為對角陣.三、初等變換法定理：對任一個n階實對稱矩陣A，都存在可逆陣C1、同類型的初等行列變換：當C可逆時，一定存在一列初等矩陣，使得于是：且注意到所以表示對A進行同類型的初等行，列變換.1、同類型的初等行列變換：當C可逆時，一定存在一列2、可將對稱矩陣A化為對角陣－－用數(shù)學歸納法證明證明：對A的階數(shù)n用數(shù)學歸納法當n＝1時，顯然成立。假設結(jié)論對n－1階對稱矩陣成立，那么對于2、可將對稱矩陣A化為對角陣－－用數(shù)學歸納法證明證明：對A的（1）若先做可將第二行的變?yōu)?再做可將第二列的變?yōu)?繼續(xù)做下去，可將第一行和第一列的其余元素變?yōu)?，得到的矩陣：其中為n－1階對稱矩陣。（1）若先做可將第二行的變?yōu)?再做可將第二列的變?yōu)?繼續(xù)做下（2）若則先將第一行和第i行交換，再將第一列和第i行交換，則為第一行第一列的元素，從而化為情形（1）.（3）若主對角元均為0，則先做為第一行第一列的元素，也可化為情形（1）.再做則由歸納假設可知結(jié)論成立.（2）若則先將第一行和第i行交換，再將第一列和第i行由可知方法如下:同類型的初等行，列變換或：同類型的初等行，列變換一般采用第二種方法.由可知方法如下:同類型的初等行，列變換或：同類型的初等行，列例7：將二次型化成標準形，并求變換矩陣C.解：二次型f的矩陣為方法一：例7：將二次型化成標準形，并求變換矩陣C.解：二次型f的故且為坐標變換，于是故且為坐標變換，于是方法二：方法二：于是做坐標變換其中則將二次型化為標準形于是做坐標變換其中則將二次型化為標準形又故又故38例8：已知二次型的秩為2，（1）求參數(shù)c及二次型所對應的矩陣的特征值；（2）判定f＝1表示什么曲面？解：二次型所對應的矩陣為由題設知所以|A|=0即例8：已知二次型的秩為2，（1）求參數(shù)c及二次型所對應的矩陣所以c＝3.A的特征方程為所以c＝3.A的特征方程為故A的特征值為二次型可通過正交變換化為所以f＝1表示橢圓柱面.故A的特征值為二次型可通過正交變換化為所以f＝1表示例9：已知實二次型求在單位球面上的最值.解：二次型的矩陣為故A的特征值為：例9：已知實二次型求在單位球面上的最值.解：二次型的矩陣為故于是可通過正交變換可將二次型化為標準形：注意到正交變換不改變向量的長度，所以于是二次型在單位球面上的最值就是二次型在單位球面上的最值.因為即所求最大值為4，最小值為1.于是可通過正交變換可將二次型化為標準形：注意到正交變換不改變將一個二次型化為標準形,可以用正交變換法,也可以用配方法,或者初等變換法,這取決于問題的要求.如果要求找出一個正交矩陣,或條件與度量有關，應使用正交變換法;如果只需要找出一個可逆的線性變換,那么各種方法都可以使用.正交變換