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第二節(jié)逆矩陣1第二節(jié)逆矩陣1則矩陣稱為A的逆矩陣.在數(shù)的運算中，當數(shù)時，有其中為a的倒數(shù)，（或稱a的逆）；單位陣E類似于1在數(shù)的乘法運算中的地位.那么，對于矩陣A，如果存在一個矩陣,使得對方陣,有AE=EA=A,2則矩陣稱為A的逆矩陣.在數(shù)的運算中，當數(shù)定義例設(shè)設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣，使得

則稱A為可逆矩陣，而B稱為A的逆矩陣，記為

說明(1)只有方陣才可能可逆;(2)逆陣若存在,則必唯一.證設(shè)B和C都是A的可逆矩陣，則3定義例設(shè)設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣，使得則稱問題:(1)什么條件下A才可逆?(2)如果可逆,如何求?若A可逆,兩邊取行列式,若則稱A是非奇異的(或非退化的);

否則稱A為奇異的(或退化的)。是A可逆的必要條件.下面說明這個條件也是充分的.4問題:(1)什么條件下A才可逆?(2)如果可逆,如定義性質(zhì)證明為A的伴隨矩陣.代數(shù)余子式,稱矩陣回憶行列式按行展開公式:

5定義性質(zhì)證明為A的伴隨矩陣.代數(shù)余子式,稱矩陣回憶行列式類似有,6類似有,6矩陣A是可逆的充分必要條件是A非奇異。當A可逆時，有

定理證充分性:由若則推論證7矩陣A是可逆的充分必要條件是A非奇異。當A可逆時，求方陣的逆矩陣.例1逆矩陣的求法解8求方陣的逆矩陣.例1逆矩陣的求法同理可求得對于3階以上的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣很麻煩，以后將給出另一種求法--初等變換法。

9同理可求得對于3階以上的矩陣，用伴隨矩陣法求逆矩陣很例2故A可逆的充分必要條件是且例如，10例2故A可逆的充分必要條件是且例如，10例3對角陣可逆的充分必要條件是且例如，11例3對角陣可逆的充分必要條件是且例如，11例4解(1)方程兩端左乘矩陣12例4解(1)方程兩端左乘矩陣121313例5解14例5解14例6證15例6證15逆矩陣的運算性質(zhì)證證16逆矩陣的運算性質(zhì)證證16注意A，B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆，一般可逆陣A若對稱(反對稱)，則也對稱(反對稱).對稱;反對稱.對于可逆矩陣而言，矩陣乘法的消去律成立。證17注意A，B可逆，A+B不一定可逆，即使可逆，一般可逆陣A若對線性方程組

寫成矩陣形式其中此即克萊姆法則。18線性方程組寫成矩陣形式其中此即克萊姆法則。18例7證所以19例7證所以19例8證20例8證20例9解

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