2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖表面積和體積課件理

第八章立體幾何第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、

三視圖、表面積和體積要點(diǎn)提煉

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)11.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

底面互相

且全等多邊形互相平行且______側(cè)棱平行且相等相交于

,但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),但不一定相等側(cè)面形狀三角形_________平行相似一點(diǎn)平行四邊形梯形

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)1規(guī)律總結(jié)1.特殊的棱柱和棱錐(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多邊形,側(cè)棱垂直于底面,側(cè)面是矩形.(2)底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫作正棱錐.特別地,各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐叫作正四面體.反之,正棱錐的底面是正多邊形,且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)12.正棱錐中的直角三角形已知正棱錐,如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于E,則PE為斜高,連接OC,OE,則(1)斜高、側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形,如圖中Rt△PEC;(2)斜高、高、斜高在底面的射影長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形,如圖中Rt△POE;(3)側(cè)棱長(zhǎng)、高、側(cè)棱在底面的射影長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形,如圖中Rt△POC;(4)斜高在底面的射影長(zhǎng)、側(cè)棱在底面的射影長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形,如圖中Rt△OEC.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)12.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱

圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

旋轉(zhuǎn)圖形矩形半圓形旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線任一_______邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線_______所在的直線直角三角形直角梯形直角直徑

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)1母線互相平行且相等，____________相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

軸截面全等的_______全等的__________全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖______________扇環(huán)

矩形垂直于底面等腰三角形矩形扇形

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考點(diǎn)1規(guī)律總結(jié)

球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面都是圓面;(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面.

空間幾何體的三視圖與直觀圖考點(diǎn)21.三視圖的定義幾何體的

、側(cè)視圖和_________統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.三視圖中的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.注意

(1)畫三視圖時(shí),重疊的線只畫一條,能看見的線用實(shí)線表示,不能看見的線用虛線表示.(2)同一物體,若放置的位置不同,則所得的三視圖可能不同.正視圖俯視圖

空間幾何體的三視圖與直觀圖考點(diǎn)22.三視圖的長(zhǎng)度特征“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”,即正視圖和俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正,側(cè)視圖和俯視圖的寬相等,正視圖和側(cè)視圖的高平齊.3.直觀圖(1)畫法:常用斜二測(cè)畫法.(2)規(guī)則:a.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直.b.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.

空間幾何體的三視圖與直觀圖考點(diǎn)2c.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度_____,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼腳______.(3)用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系:S直觀圖=_________S原圖形.注意

用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí),原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線,原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連接而畫出.不變一半

空間幾何體的表面積和體積考點(diǎn)3

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=____S圓臺(tái)側(cè)=_________1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式說明

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式間的關(guān)系:S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r+r＇)lS圓錐側(cè)=πrl.

πrlπ(r+r')l

空間幾何體的表面積和體積考點(diǎn)32.空間幾何體的表面積與體積

表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=_______臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+S上+S下球S=4πR2_________

理解自測(cè)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形. ()(2)在四棱柱中,若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱. ()(3)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn). ()(4)以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái). ()(5)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面. ()(6)以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.

()(7)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS. ()?√√?√??2.[易錯(cuò)題]如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D',剩下的幾何體是 ()A.棱臺(tái)B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱3.[易錯(cuò)題]圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形,則圓柱的表面積為

.4.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地的面積為

.

24π2+18π或24π2+8π

C考向掃描

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考向11.典例(1)給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái);③圓錐的所有軸截面都是全等的等腰三角形;④圓錐的軸截面是所有過頂點(diǎn)的截面中,面積最大的一個(gè);⑤三棱錐的四個(gè)面中最多有三個(gè)直角三角形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (

)

A.0 B.1 C.2 D.3(2)如圖,正三棱錐A-BCD的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a,點(diǎn)E,F分別為AC,AD上的動(dòng)點(diǎn),則截面△BEF周長(zhǎng)的最小值為

.

B

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考向1解析

(1)①只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線,故①不正確;②只有平行于圓錐底面的平面截圓錐,才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái),故②不正確;③正確;④因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)一定,根據(jù)三角形面積公式知,過圓錐頂點(diǎn)的截面中,兩條母線的夾角的正弦值越大,截面面積就越大,所以當(dāng)軸截面中兩條母線的夾角為鈍角時(shí),軸截面的面積就不是最大的,故④不正確;⑤三棱錐的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形,故⑤不正確.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考向1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考向1方法技巧求解空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題或兩條(多條)線段長(zhǎng)度和的最小值問題常歸結(jié)為求平面兩點(diǎn)間的最短距離問題,解決此類題的方法就是先把多面體側(cè)面展開成平面圖形,再用平面幾何的知識(shí)去求解.注意

(1)解決展開問題的關(guān)鍵是明確需要展開立體圖形中的哪幾個(gè)面(有時(shí)需要分類討論),以及利用哪些平面幾何定理來解決對(duì)應(yīng)的立體圖形問題.(2)注意立體圖形展開前后線段與角度哪些會(huì)改變,哪些不會(huì)變.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)考向1

B

空間幾何體的三視圖考向23.典例[2021全國卷甲][理]在一個(gè)正方體中,過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是 (

)

D

空間幾何體的三視圖考向2解析

根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖,如圖,結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D所示的圖形.方法技巧

1.三視圖與直觀圖的常見題型及求解策略(1)由直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,同時(shí)也要注意看到的輪廓線用實(shí)線表示,看不到的輪廓線用虛線表示.(2)由幾何體的部分三視圖畫出剩下的三視圖.先根據(jù)已知的部分三視圖,推測(cè)、還原直觀圖的可能形式,然后找剩下部分三視圖的可能形式.做選擇題時(shí),也可以將選項(xiàng)代入,看給出的部分三視圖是否符合要求.

空間幾何體的三視圖考向2(3)由三視圖還原為幾何體.要遵循以下三步:①看視圖,明關(guān)系;②分部分,想整體;③綜合起來,定整體.2.根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)三視圖為三個(gè)三角形,一般對(duì)應(yīng)三棱錐;(2)三視圖為兩個(gè)三角形,一個(gè)四邊形,一般對(duì)應(yīng)四棱錐;(3)三視圖為兩個(gè)三角形,一個(gè)圓,一般對(duì)應(yīng)圓錐;(4)三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,一般對(duì)應(yīng)三棱柱;(5)三視圖為兩個(gè)四邊形,一個(gè)圓,一般對(duì)應(yīng)圓柱.

空間幾何體的三視圖考向24.變式[2020全國卷Ⅱ][理]如圖是一個(gè)多面體的三視圖,這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (

)A.E B.F C.G D.H解析

由三視圖知,該幾何體是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成的,其直觀圖如圖所示,由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.A

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3角度1求空間幾何體的表面積5.典例[2018全國卷Ⅰ]已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(

)

A

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3

39π

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割或補(bǔ)形成柱體、錐體、臺(tái)體,先求出這些柱體、錐體、臺(tái)體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積.

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3

A

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3

求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）考向3S2=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S3=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.當(dāng)拼成四棱柱時(shí)有三種情況,如圖④⑤⑥所示,表面積分別為S4=4×6a2+2×(8+6)=24a2+28,S5=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S6=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.

求空間幾何體的體積考向4角度1求空間幾何體的體積8.典例[2018天津高考]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為

.

求空間幾何體的體積考向4方法技巧求空間幾何體體積的常用方法直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體,利用相關(guān)公式直接計(jì)算.割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進(jìn)行體積計(jì)算;或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體,便于計(jì)算.等體積法通過轉(zhuǎn)換底面和高來求幾何體的體積,即通過將原來不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面,或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高進(jìn)行求解.常用于求三棱錐的體積.

求空間幾何體的體積考向4角度2體積的最值問題

D

求空間幾何體的體積考向4

求空間幾何體的體積考向4方法技巧求解體積的最值問題的方法(1)幾何法:根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,先確定體積表達(dá)式中的常量與變量,然后利用幾何知識(shí)判斷變量什么情況下取得最值,從而確定體積的最值.(2)代數(shù)法:先設(shè)變量,求出幾何體的體積表達(dá)式,然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解即可.

求空間幾何體的體積考向4

AB

求空間幾何體的體積考向4

求空間幾何體的體積考向4

與球有關(guān)的切、接問題考向5角度1外接球問題解決外接球問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

D

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5方法技巧1.求幾何體外接球半徑的思路(1)利用球的截面性質(zhì)求解.如圖所示,設(shè)球O的半徑為R,截面圓O'的半徑為r,M為截面圓上任一點(diǎn),球心O到截面圓O'的距離為d,則在Rt△OO'M中,OM2=OO'2+O'M2,即R2=d2+r2.(2)將幾何體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體(或正方體),利用幾何體與長(zhǎng)方體(或正方體)共有外接球的特征,由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體(或正方體)的體對(duì)角線長(zhǎng)求解.如三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐,當(dāng)側(cè)棱長(zhǎng)相等時(shí)可補(bǔ)形成正方體,當(dāng)側(cè)棱長(zhǎng)不相等時(shí)可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體.

與球有關(guān)的切、接問題考向52.確定幾何體外接球球心的常用結(jié)論(1)長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn);(2)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn);(3)正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到.

與球有關(guān)的切、接問題考向5角度2內(nèi)切球問題求解多面體的內(nèi)切球問題,一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn),多面體的各側(cè)面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于分割后各棱錐的體積之和,求內(nèi)切球的半徑.12.典例[2020全國卷Ⅲ][理]已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

.

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5方法技巧1.解與球有關(guān)的切、接問題的思維流程通法是作截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程如下:

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5

與球有關(guān)的切、接問題考向5

攻堅(jiān)克難

立體幾何的應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用14.典例[2019全國卷Ⅲ][理]學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為

g.

118.8

立體幾何的應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用

立體幾何的應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用

立體幾何與數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化

16.典例[2019全國卷Ⅱ][理]中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(如左圖).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.右圖是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有

個(gè)面,其棱長(zhǎng)為

.

26

立體幾何與數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化

立體幾何與數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化

C

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索

A

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索方法技巧作截面的三種常用方法一是直接法,解題關(guān)鍵是截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上,且兩兩在一個(gè)平面內(nèi),可以直接借助P157公理1作出截面.二是作平行線法,解題關(guān)鍵是截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交,或者截面上有一條直線與幾何體的某一個(gè)面平行,可借助線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的性質(zhì)定理作出截面.三是延長(zhǎng)交線得交點(diǎn),解題關(guān)鍵是截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上,可通過由作延長(zhǎng)線得到的交點(diǎn)輔助得出截面與立體幾何圖形的交點(diǎn),進(jìn)而得交線和截面圖形.

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索1.正方體的基本截面用一個(gè)平面截正方體,可以得到的截面形狀如下:

橫截豎截斜截正方體正方形正方形如圖所示

立體幾何中的截面問題數(shù)學(xué)探索在這里需