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第四章平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答4—1DifferentialEquationsofEquilibriuminPolarCoordinates4—2GeometricalEquationsandPhysicalEquationsinPolarCoordinates4—3StressFunctionandCompatibilityEquationsinPolarCoordinates4—9Effectofcircularholesonstressdistribution4.SolutionofPlaneProblemsinPolarCoordinates4—4CoordinatesTransformationofStressComponents4—5AxisymmetricalStressesandCoorespondingDisplacements

4—6HollowCylinderSubjectedtoUniformPressures4—11ConcentratedNormalLoadonaStraightBoundary4.4COORDINATETRANSFORMATIONOFSTRESSCOMPONENTSUnderadefinitestresscondition,thestresscomponentsinpolarcoordinatescanbefoundfromthoseinrectangularcoordinatesandconversely,thestresscomponentsinrectangularcoordinatescanalsobefoundfromthoseinpolarcoordinates.Now,supposethestresscomponentsinrectangularcoordinates,

x,yand

xy,areknownanditisrequiredtofindthoseinthepolarcoordinates,

r,

and

r.

x

xy

y

yx

r

r

Axyoacb

TakeatriangularelementA,withsideabintheydirection,sideacinthexdirectionandsidecbinthe

direction.Thethicknessoftheelementistakenasunity.Letthelengthofcbbeds,thenab=ds·cos

ac=ds·sin

AccordingtotheequilibriumofelementAintherdirection,wecanwriteouttheequilibriumequationas:Similarly,wecanwriteouttheequilibriumequationfortheelementAandobtain:

xBxyo

y

yx

xy

rTakinganothertriangularelementB,andwritingouttheequilibriumequation,wecanobtainThus,theformulasforevaluatingthestresscomponentsinpolarcoordinatesfromthoseinrectangularcoordinatesare:Theformulasforevaluatingthestresscomponentsinrectangularcoordinatesfromthoseinpolarcoordinatesare:Thestudentsareadvisedtoderivethose.4.窗5AX旋IS遼YM架ME鈔TR急IA轉(zhuǎn)L劈燕ST喂RE府SS哈ES鄰A寨ND請(qǐng)C該OO豬RE乏SP衫ON語(yǔ)DI舍NG炮D施IS勢(shì)PL疫AC匠EM頭EN糞TSNo最w煩we盤a欄pp誼ly明t科he宴i良nv淺er鏟se背m剩et開ho溜d菠an揀d滔as蘋su清me剝t示he喂s睬tr掘es逼s販fu裕nc碼ti謠on

飽to布b讀e紗a疑fu逼nc捐ti事on誓o歲f目r呆on擺ly:

=(罰r)Thestresscomponentswillbe:Th鑄e輸co叢mp印at不ib南il狂it鍛y掠eq碗ua疤ti臣o(jì)n袍r停ed怎uc頁(yè)es攀t藝oTh瓣is聰i屋s憤an陪o章rd熱in占ar觸y牲di杜ff迫er筒en送ti粥al兔e晚qu呈at哈io堪n霸of思f電ou填rt督h兩or犬de市r.Thisequationhasageneralsolution:whereA,B,C,DarearbitraryconstantsTh調(diào)us遙,俊th橫e傾st歇re糕ss桿c已om呈po怒ne售nt藏s扮ca翁n朱be橋r扎ew菊ri忙tt態(tài)en互a縣sSi癥nc烘e偉th痰e但no尺rm扭al悟s伸tr論es呆s傍co薪mp員on狀en埋ts叢a珠re擔(dān)i揀nd獨(dú)ep哀en盯de精nt低o胃f

an核d梅th榴e捉sh吃ea貸ri購(gòu)ng魔s冤tr枝es伯s艱co博mp燦on耗en記ts典v載an監(jiān)is累h,驚t錫he風(fēng)s撫t(yī)r訴es戒s箭di誕st蚊ri屬bu喉ti脆on搶i喇s狗sy扮mm青et牲ri振ca濃l差wi掃th排r觸es蒸pe磨ct甚t齒o拋an缺y掙pl賭an比e辭pa倒ss晨in粉g距th狀ro漂ug派h撒th廢e釋z灑ax腦is找a顛nd腿i斬s掌sa碑id干t勸o池besy鼠mm掩et崗ri印ca航l賺ab貫ou摧t仙th付e似ax檢is.To險(xiǎn)f慈in績(jī)d笨th祖e市co刃rr膚es土po謙nd姨in規(guī)g性st樂(lè)ra游in香c悲om競(jìng)po業(yè)ne蒼nt放s捷fo首r餅a端pl紛an勝e伶st館re攔ss深p社ro獻(xiàn)bl米em陷,輔we恐s勒ub襲st劍it巾ut紡e寨th院es制e家st垂re骨ss甘c眨om朽po鄉(xiāng)豐ne送nt預(yù)s灣in霧to供p困hy葡si兩ca逐lEq蟻s.古an鋪d踏ob伶ta常inTo另f借in漫d兵th挪e樸co劈燕rr港es曬po訴nd峽in拆g浩di跪sp尺la珍ce鈔me秧nt忍s,著w雞e悠su陪bs恨ti悶tu蜜te鑒t果he棵a妖bo拔ve完e伙qu菌at幫io陜ns臣i既nt獨(dú)o而ge湊om事et方ri疫ca呀l床eq天ua心ti沖on薪s控an象d質(zhì)ob挽ta蟻in(4.5.6)(4.5.7)(4.5.8)wh備er閑ef()嗎i碗s箭an累a毅rb虛it佳ra梢ry息f鉆un屆ct持io預(yù)n心of央

帆.趨Wi神th驢t盯hi夜s付ex周pr總es嫌si聯(lián)on灣f暫orur,陣Eq演.(希4.否5.漏7)夸r槳ed肆uc烏es敵t扮oBy浙i晝nt深eg棄ra卷ti灶on鴿o尾f鍬Eq謙.(框4.惕5.蓮6)煙w積it儲(chǔ)h往re惑sp總ec鍛t紛to演r撐,欲we陜h送av失eIn懶te挎gr睜at典io伯n叼wi陽(yáng)th楚r飯es薦pe疼ct的t公o

萄yi疾el蹄dsTo瘦d睬et成er距mi草ne池t疲he碧a服rb摸it啞ra飯ry夢(mèng)f弊u(yù)n蘇ct爸io僚nsf()束an抽df1(r瘋),串w匙e輔su芳bs崖ti解tu久teur,厲u

in瞇to禁E穩(wěn)q.鮮(4積.5貍.8侄).盲T池hi炮s腰yi檢el雕dsAfterrearrangement,itbecomesWe立n她ot價(jià)e礎(chǔ)th痰at普t枯he牌l突ef微t稠si休de誘i殖s斤a則fu棚nc曉ti蜓on混o何fral忘on話e楚an馬d袖th孟e陳ri軍gh申t揉si刷de著i悲s刪a棗fu郵nc豈ti祥on壯o雷f

al掩on川e.Afunctionofrcanbeequaltoafunctionof

forallvalueofrand

onlywhentheyarebothequaltoaconstant,sayF.thisyields,(4.5.11)(4.5.12)Thesolutionof(4.5.11)is:WhereHisanarbitraryconstant.Th價(jià)e插so祥lu腳ti傻on慢o譜f銹(4炸.5蝴.1息2)私is:Su艇bs冊(cè)ti矮tu坡ti舌on丹t窩he替a芹bo類ve排e筐qu鍵at拔io鈴ns腰i難nt嗽o揉th往e棕ex為pr扒es廟si罷on叼s愁of術(shù)d猾is孤pl異ac濃em錫en嘗ts修,證we泡h槐av叫e:Be光si己de棋s,娛f麗ro鋤m馬Eq偷.(樹4.歲5.旗12膠),認(rèn)w鼻e餐ca犬n材ob限ta拌inTh密e瀉ar浮bi拜tr億ar炎y撞co蝴ns衰ta戰(zhàn)nt梁s不A,桂B(yǎng)職,左C,秀H串,肌I,謝K耽c選an

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