2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）：圖形的平移翻折對(duì)稱(chēng)（共30題）（解析版）

專(zhuān)題19圖形的平移翻折對(duì)稱(chēng)（30題）一、單選題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿向右平移得到，若，，則的長(zhǎng)是（

）

A．2 B． C．3 D．5【答案】A【分析】利用平移的性質(zhì)得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：∵沿方向平移至處．∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線(xiàn)方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段平行（或共線(xiàn)）且相等．2．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線(xiàn)段沿射線(xiàn)方向平移到，點(diǎn)D在上．則線(xiàn)段在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形的周長(zhǎng)和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴∵，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴，，∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴∴四邊形的周長(zhǎng)為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線(xiàn)折疊到如圖所示的位置，線(xiàn)段恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形紙片，其中，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：第一步，如圖①將紙片對(duì)折，使與重合，折痕為，展開(kāi)后如圖②；第二步，再將圖②中的紙片沿對(duì)角線(xiàn)折疊，展開(kāi)后如圖③；第三步，將圖③中的紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，如圖④．則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，等面積法求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵折疊，∴∴在以為圓心，為直徑的圓上，∴，∴∵矩形，其中，∴∴，∴，∵∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（

）

A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半即可得到答案．【詳解】解：∵將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個(gè)邊長(zhǎng)為5的菱形沿著直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C與延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)Q重合．交于點(diǎn)F，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．交于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（

）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯(cuò)誤．【詳解】由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴．∴．∴．故正確；∵，，∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴與不相似．∴．∴與不平行．故錯(cuò)誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為_(kāi)_________度．

【答案】【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測(cè)得長(zhǎng)邊，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________．

【答案】【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，由折疊得：，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在三角形紙片中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)__________．

【答案】或【分析】分兩種情況考慮，利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和等知識(shí)即可完成求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：；∵，∴；①當(dāng)在下方時(shí)，如圖，∵，∴，∴；

②當(dāng)在上方時(shí)，如圖，∵，∴，∴；

綜上，的度數(shù)為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，注意分類(lèi)討論．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為_(kāi)______．

【答案】【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴當(dāng)、、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)時(shí)，取最小值，最小值即為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，，，點(diǎn)在邊所在的直線(xiàn)上，且，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕與，分別交于點(diǎn)，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【答案】或【分析】分點(diǎn)在點(diǎn)右邊與左邊兩種情況分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵折疊，∴，∵四邊形是矩形，∴∴，又∴∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，

∵，，，∴中，，則，∵，∴∴，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，∵，，，∴中，

則，∵，∴∴，綜上所述，的長(zhǎng)為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在紙片中，，是邊上的中線(xiàn)，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在點(diǎn)處時(shí)，恰好，若，則_________．

【答案】【分析】由，，是邊上的中線(xiàn)，可知，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，如圖，記與的交點(diǎn)為，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，，是邊上的中線(xiàn)，∴，∴，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，如圖，記與的交點(diǎn)為，

∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，正切．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．15．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵在中，，，，∴，∴，在中，∵將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，∴又∴∴∴設(shè)，∴在中，∴解得：（負(fù)整數(shù)）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線(xiàn)對(duì)折，得到．當(dāng)射線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)P時(shí)，連接，則的面積為_(kāi)__________；的最大值為_(kāi)__________．

【答案】；【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當(dāng)最大時(shí)，即最大，通過(guò)分析點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．【詳解】解：由題意可得的面積等于矩形的一半，∴的面積為，在中，，∴當(dāng)最大時(shí)，即最大，由題意可得點(diǎn)N是在以D為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)射線(xiàn)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)C、N、M三點(diǎn)共線(xiàn)，如圖：

由題意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段的最小值為_(kāi)_________．

【答案】/【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出在為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而分類(lèi)討論當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)在上時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵在矩形中，，∴，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵∴在為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示，

此時(shí)當(dāng)在上時(shí)，如圖所示，此時(shí)

綜上所述，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點(diǎn)．若，用含的式子表示的長(zhǎng)是________．

【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個(gè)等式相加即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，交于點(diǎn)G，，且，則______．

【答案】【分析】于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，則，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)P，設(shè)，根據(jù)得出，繼而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，是的角平分線(xiàn)，，用證明，從而得到，設(shè)，則，，利用勾股定理得到即，化簡(jiǎn)得，從而得出，利用三角形的面積公式得到：．作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，則，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)P，

∵于點(diǎn)M，∴，設(shè)，則，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，在中，，，設(shè)，則∴∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，化簡(jiǎn)得：，∴，∴故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形中，，將矩形沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若是直角三角形，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是__________．【答案】6或或【分析】由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)是直角三角形，易得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；當(dāng)過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)E時(shí)，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【詳解】解：由題意矩形沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，可知點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長(zhǎng)交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時(shí)是直角三角形，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為的長(zhǎng)度，即，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)與圓相切與點(diǎn)E時(shí)，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線(xiàn)的距離，②如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線(xiàn)的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問(wèn)題切線(xiàn)的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，將沿折疊得到，交于點(diǎn)．若，則__________．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，證明，得出，根據(jù)，得，設(shè)，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，

∵平分交于點(diǎn)，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設(shè)，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將沿折疊，使點(diǎn)B落在射線(xiàn)上的點(diǎn)處，連接，已知．給出下列四個(gè)結(jié)論：①為定值；②當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；③當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，；④當(dāng)最短時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可判斷①正確；先解直角三角形可得，從而可得，然后根據(jù)平行線(xiàn)的判定可得，根據(jù)菱形的判定即可得②正確；先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)即可判斷③錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再利用勾股定理可得，，然后根據(jù)建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判斷④正確．【詳解】解：是等邊三角形，且，，，由折疊的性質(zhì)得：，，是定值，則結(jié)論①正確；當(dāng)時(shí)，則，在中，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為菱形，則結(jié)論②正確；如圖，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，則結(jié)論③錯(cuò)誤；當(dāng)最短時(shí)，則，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則，在中，，即，解得，，

設(shè)，則，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），，則結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)分別在邊，上，連接，已知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．設(shè)，若，則_________（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．

【答案】【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過(guò)證明，推出，即可求出的值．【詳解】解：點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，，．，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，又，，，，，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．三、解答題25．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)）．

(1)畫(huà)出線(xiàn)段關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段；(2)將線(xiàn)段向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線(xiàn)段，畫(huà)出線(xiàn)段；(3)描出線(xiàn)段上的點(diǎn)及直線(xiàn)上的點(diǎn)，使得直線(xiàn)垂直平分．【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找到關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，則線(xiàn)段即為所求；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線(xiàn)段即為所求；（3）勾股定理求得，，則證明得出，則，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線(xiàn)段即為所求；

（2）解：如圖所示，線(xiàn)段即為所求；

（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求

如圖所示，

∵，，∴，又，∴，∴，又，∴∴，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．26．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四個(gè)全等的直角三角形，用這四個(gè)直角三角形拼成符合要求的四邊形，請(qǐng)?jiān)谙铝芯W(wǎng)格中畫(huà)出你拼成的四邊形（注：①網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1；②所拼的圖形不得與原圖形相同；③四邊形的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．

【答案】見(jiàn)解析（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：①要求是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則可作等腰梯形，如圖四邊形即為所求；②要求是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則可作一般平行四邊形，如圖四邊形即為所求；③要求既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則可作菱形、矩形等，如圖四邊形即為所求；④要求既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形又不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則考慮作任意四邊形，如圖四邊形即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念及作圖，軸對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形沿著某條直線(xiàn)折疊，能夠與另一個(gè)圖形重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)能夠和原圖形重合．27．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過(guò)程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________度；(2)改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)30(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可求出，即得出；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，即得出．【詳解】（1）解：∵對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，∴，．∵在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，∴．在中，，∴．故答案為：．（2）解：結(jié)論：，理由如下：∵四邊形是正方形，，．由折疊可得：，，，．又，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．28．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可證明；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明得到，，設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．∴．∴，即，∵四邊形是正方形，∴．∴．∴．（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵，∴．又∵，正方形邊長(zhǎng)為3，∴∴，∴，，設(shè)，則，∴．∵，即，∴．∴．在中，，∴．解得：（舍），．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．29．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，