材料力學(xué)講義五三

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4單位荷載法

莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6計(jì)算莫爾積分的圖乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.3可變形固體在受外力作用而變形時(shí),外力和內(nèi)力均將作功.對于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應(yīng)位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計(jì)算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當(dāng)拉力為F1時(shí),桿件的伸長為Δl1當(dāng)再增加一個(gè)dF1時(shí),相應(yīng)的變形增量為d(Δl1)5FF

llF

lFO

l

l1dl1dF1F1積分得:6根據(jù)功能原理當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí):

Vε=W,可得以下變形能表達(dá)式7（單甘位J/怖m(xù)3)比能（st殲ra史in姑e騎ne摘rg屬y塑de蘇ns礎(chǔ)it斃y）:單位耳體積懇的應(yīng)轟變能.記作u當(dāng)軸拘力或麻截面弦連續(xù)納變化鹽時(shí)：82.扭轉(zhuǎn)撒桿內(nèi)順的變銳形能（St玻ra箱in踐e做ne洪rg腐y贈(zèng)fo悲rto拿rs筍io說na周llo由ad純s）或l

MeMe

Me9純彎祝曲（pu紗re尸b哀en寺di時(shí)ng番)橫力籍彎曲（no姑nu薦ni倍fo笑rmbe露nd桃in漫g）3.彎曲蛾變形玩的變植形能（St耳ra差in撥e靠ne麗rg恐y夕fo希r勵(lì)fl槽ex昂ur肚al齊l史oa釀ds）θMe

MeMe

Me104.組合義變形佛的變鍋形能（St花ra意in評e銹ne尼rg捎y株fo萬r怕co敏mb萬in稅ed重l遲oa歇ds財(cái))截面幅上存錯(cuò)在幾乏種內(nèi)顯力,各個(gè)罷內(nèi)力沈及相傲應(yīng)的偶各個(gè)陷位移饑相互鞠獨(dú)立,力獨(dú)誤立作嬸用原企理成慘立,各個(gè)旅內(nèi)力坦只對結(jié)其相禿應(yīng)的兔位移臭做功.5.純剪妻切應(yīng)圖力狀支態(tài)下具的比僅能（St嘗ra朗in押e啊ne臘rg粗y轉(zhuǎn)de礎(chǔ)ns謝it潛y頃fo袋r佛pu局re荒s終he脊ar抱in梯g明st瓶at橋e腐of喂s弦tr漿es胡se塌s）假設(shè)肢單元折體左掌側(cè)固府定,因此遲變形檔后右櫻側(cè)將潔向下吳移動(dòng)

dx.11dxdydzxyzabd因?yàn)榧购苄?所以禁在變暢形過則程中,上下頸兩面都上的漁外力量將不弊作功.只有抱右側(cè)絡(luò)面的糞外力猾（

dydz）對相虧應(yīng)的型位移

dx作了摔功.

dx當(dāng)材偏料在皆線彈露性范桐圍內(nèi)乓內(nèi)工鑰作時(shí),上述馳力與恭位移腥成正斬比,因此,單元少體上外力綿所作偵的功臥為比能奸為12將

=G代如嗽上式艙得dxdydzxyzabd

dx等直郊圓桿文扭轉(zhuǎn)邀時(shí)應(yīng)巡壽變能會(huì)的計(jì)漂算13將代入枕上式牌得14二、變形鼠能的雄普遍巖表達(dá)巖式（Ge芒ne頌ra巷l兇fo私rm楚ul荒a伶fo齒r配st里ra辜in體e傷ne逮rg臭y）F--廣義求力(包括段力和云力偶)δ--廣義蛇位移(包括渾線位喬移和默角位炮移)B'C'F3BCF2AF1假設(shè)殊廣義也力按益某一嬌比例兵由零敵增致侵最后建值對衡應(yīng)的劉廣義拼位移駐也由父零增注致最祝后值.15對于慎線性本結(jié)構(gòu),位移窯與荷柜載之膏間是挺線性螞關(guān)系驚，任某一廣挪義位顯移,例如

2可表哥示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示摔力F1,F2,F3在C點(diǎn)引襪起的糧豎向柜位移.C1,C2,C3是比品例常福數(shù).F3/F2在比例加載時(shí)也是常數(shù)F1/F2和

2與F2之間級的關(guān)古系是從線性盡的.同理,

1與F1,

3與F3之間福的關(guān)守系也驅(qū)是線耍性的.16在整上個(gè)加蹄載過盛程中艘結(jié)構(gòu)省的變較形能裁等于寧外力勾的功

iFiF3ABCF1F2B'——克拉檢貝隆直原理億（只霜限于碰線性添結(jié)構(gòu)嚴(yán)）Fi

i17三、趟變形丟能的療應(yīng)用（Ap湯pl承ic獻(xiàn)at鉤io聰n答of裹s轟tr系ai尊n仆en麗er純gy）1.計(jì)算喬變形婦能（Ca汗lc徒ul豈at據(jù)in干g勒st瘡ra銅in釣e射ne韻rg特y）2.利用說功能烘原理慕計(jì)算窗變形（Wo棍rk視-e窗ne扇rg煩y斧pr怠in引ci孤pl豬e兼fo缸r恒ca萄lc令ul草at艘in巧g鳴de祝fl平ec嫁ti盛on）例題1試求草圖示分懸臂蘆梁的避變形靜能,并利辜用功池能原滔理求比自由葵端B的撓自度.ABFlx解：由Vε=W得18例題2試求甜圖示潛梁的奶變形繡能,并利嗎用功包能原窗理求C截面更的撓敲度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例題3試求遇圖示鼓四分陡之一丹圓曲窮桿的肯變形套能,并利饑用功和能原岸理求B截面桐的垂泊直位根移.已知EI為常課量.解：ABFORθ由Vε=W得20例題4拉桿或在線腿彈性艇范圍授內(nèi)工下作.抗拉怎剛度EI,受到F1和F2兩個(gè)疑力作燒用.若先森在B截面胡加F1,然后南在C截面垂加F2;若先遣在C截面縫加F2,然后展在B截面灘加F1.分別羞計(jì)算繞兩種賞加力慨方法排拉桿晴的應(yīng)默變能.ABCabF1F221（1）先罩在B截面案加F1,然后焰在C截面撇加F2ABCabF1（a）在B截面某加F1,B截面孤的位秧移為外力守作功衛(wèi)為（b）再毅在C上加F2F2C截面糠的位移柿為F2作功幅為22（c）在表加F2后,B截面析又有拉位移在加F2過程坊中F1作功南（常宋力作稀功）所以聯(lián)應(yīng)變爸能為ABCabF1F223（2）若摧先在C截面睬加F2,然后B截面魂加F1.（a）在C截面雹加F2后,F2作功（b）在B截面鋸加F1后,F1作功ABCabF1F224（c）加F1引起C截面腦的位城移在加F1過程唱中F2作功釀（常冬力作圈功）ABCabF1F2所以職應(yīng)變局能為注意傷：（1）鄭計(jì)踏算外執(zhí)力作執(zhí)功時(shí),注意閑變力廉作功沾與常員力作鐵功的孟區(qū)別.（2）應(yīng)字變能Vε只與幅外力冰的最德終值求有關(guān),而與鐵加載愛過程習(xí)和加草載次追序無恩關(guān).25

2解:梁中顏點(diǎn)的吹撓度榜為:梁右脂端的烤轉(zhuǎn)角牽為:MeACBFl/2l/2梁的據(jù)變形喊能為:

1例題5以彎傲曲變襲形為砍例證普明應(yīng)變他能Vε只與機(jī)外力猛的最終值咱有關(guān),而與嗚加載答過程和加秩載次牛序無存關(guān).26先加扒力F后,再加腫力偶Me（1）先槳加力F后,C點(diǎn)的等位移力F所作螺的功炕為（2）力計(jì)偶由推零增豈至最賴后值MeB截面霉的轉(zhuǎn)模角為力偶Me所作未的功巾為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me

1

27先加疊上的月力F所作墳的功匆為C截面姓的位娛移為

3ACBl/2l/2F與力偶Me所作率的功轎為ACBFl/2l/2

1

Me28兩力擦作用漠點(diǎn)沿真力作碼用方梯向的惹位移量分別到為F1,F2（1）設(shè)哄在線提彈性害結(jié)構(gòu)任上作竄用力

1,

2一、酸功的拔互等限定理（Re疫ci牙pr翼oc摧al護(hù)w俗o(hù)r霞k緒th禿eo電re下m）§1歸3-3互等敬定理（Re而ci亞pr滋oc你al它T目he祥or影em耳s蠅)

1

2F1F229F1F2

1

2F1和F2完成賭的功鵝應(yīng)為（2）在硬結(jié)構(gòu)插上再濱作用務(wù)有力F3,F4沿F3和F4方向倍的相裁應(yīng)位允移為

3,

4F3

3

4F4F3和F4完成勿的功送應(yīng)為30（3）在F3和F4的作國用下,F1和F2的作跳用點(diǎn)透又有腹位移F1和F2在

1′和

2′上完成刪的功購應(yīng)為F1F2

1

2F3

3

4F4因此,按先傅加F1,F2后F3,F4的次渡序加隨力,結(jié)構(gòu)物的應(yīng)印變能票為

1′和

2′31F1F2

1

2

3

4F4F3若按托先加F3,F4后加F1,F2的次煎序加春力,又可嬌求得樓結(jié)構(gòu)爐的應(yīng)險(xiǎn)變能寺為由于推應(yīng)變腎能只串決定翠于力史和位私移的機(jī)最終雀值,與加電力的狡次序抓無關(guān),故32功的壯互等值定理（re丈ci求pr雨oc稿al謹(jǐn)w判or課k散th蔑eo丈re劇m）:第一宇組力酒在第崗二組鈴力引盲起的盛位移咳上所即作的勞功,等于罩第二暫組力粒在第蹦一組擔(dān)力引內(nèi)起的路位移處上所達(dá)作的型功.二、衫位移封互等曠定理（Re參ci捕pr辦oc藥al痰d命is初pl柿ac動(dòng)em撲en態(tài)t榮th麥eo小re聚m)若第牛一組當(dāng)力F1,第二她組力截只有F3,則如果F1=F3,則有33位移巧互等龜定理（re鏡ci鑄pr澇oc牲al剖w潮or漲k訂th動(dòng)eo蜜re役m）：F1作用多點(diǎn)沿F1方向因作漿用F3而引起機(jī)的位乒移等逼于F3作用捉點(diǎn)沿F3方向因作喜用F1而引起朋的位脫移.（Th告e腔d跌ef弟le惹ct刻io夠n鵲at什A纖d脾ue描t道o京a臂lo撇ad輔a叫ct臺in喚g鏈at凍B頁i煤s何eq僵ua開l址to去t夢he尸d毛ef丘le改ct胃io瞞n哥at挑B鑼d竹ue掌t茅o蓮th墳e災(zāi)sa渾me獻(xiàn)l洲oa貢d之a(chǎn)c惱ti嫂ng公a銜t鏈A衡)三、克注意（No蘭ti葬ce）（1）力儲和位腿移都尋應(yīng)理逆解為蜜廣義犬的.（2）這末里是始指結(jié)湊構(gòu)不俘可能傅發(fā)生辣剛性詳位移瓣的情動(dòng)況下,只是鏈由變營形引兇起的團(tuán)位移.34§1饅3-4單位掠荷載瞧法

莫爾舞定理（Un位it竊-l需oa條d翠me壯th惠od洋&mo收hr澡’sth圣eo筋re露m）一、議莫爾統(tǒng)定理拿的推透導(dǎo)（De呆ri園va凝ti滑on邪o瓶fmo除hr安’sth跳eo嗓re勺m）求任欠意點(diǎn)A的位繡移wAF1F2A35A圖b變形古能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1（1）先干在A點(diǎn)作減用單棉位力F0,再作蕩用F1、F2力36（2）三吹個(gè)力捕同時(shí)放作用序時(shí)任意露截面橡的彎浴矩:變形引能:37（Mo燈hr悄’s被T仙he已or師em）桁架夏：二、珍普遍影形式怕的莫亮爾定吳理（Ge棗ne屑ra警l帥fo突rm牛ul殖a防fo律rmo壁hr它’sth癥eo楚re冰m）注意:上式居中Δ應(yīng)看態(tài)成廣兆義位捎移,把單算位力降看成裂與廣換義位摟移相魯對應(yīng)蘿的廣架義力.38三、疫使用界莫爾子定理蕉的注蒸意事斜項(xiàng)（5）莫流爾積嶺分必濱須遍闊及整艙個(gè)結(jié)個(gè)構(gòu).（1）M（x）：冰結(jié)構(gòu)繡在原捉載荷辯下的兩內(nèi)力;（3）所女加廣賞義單那位力舅與所環(huán)求廣嶄義位舅移之浮積,必須歌為功蕩的量嫩綱;（2）——去掉主動(dòng)力,在所求廣義位移點(diǎn),沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時(shí),結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M（4）與M（x）的坐標(biāo)系必須一致,每段桿的坐標(biāo)系可自由建立;M（x）39A例題5抗彎須剛度核為EI的等還截面覺簡支待梁受俗均布麥荷載連作用,用單濁位載熄荷法欠求梁啦中點(diǎn)境的撓關(guān)度wC和支交座A截面陜的轉(zhuǎn)顛角.剪力早對彎君曲的蒼影響深不計(jì).qBCll/遙2ql/2ql/2解:在實(shí)找際荷陡載作緒用下,任一x截面區(qū)的彎級矩為40AAB11/21/2C（1）求C截面誦的撓堵度在C點(diǎn)加幟一向忠下的描單位宅力,任一x截面使的彎壯矩為xqBCll/虛2ql/2ql/241ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面補(bǔ)的轉(zhuǎn)覆角在A截面鄉(xiāng)豐加一導(dǎo)單位耍力偶引起談的x截面六的彎架矩為qCll/耍2（順時(shí)類針）ql/242B例題6圖示敬外伸喘梁,其抗彎彎剛攪度為EI.用單孔位載端荷法艘求C點(diǎn)的祥撓度堅(jiān)和轉(zhuǎn)蹤蝶角.ACqF=qaa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1）求株截面攏的撓此度（朝在C處加墻一單分位力補(bǔ)“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/虜2xx145BABC:AB:（2）求C截面貨的轉(zhuǎn)的角（促在C處加陽一單擇位力已偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46例題7剛架殊的自舞由端A作用押集中倘力F.剛架庸各段肅的抗島彎剛忠度已輩于圖兵中標(biāo)卵出.不計(jì)廉剪力鴨和軸也力對您位移吧的影摩響.計(jì)算A點(diǎn)的轉(zhuǎn)垂直亭位移砍及B截面屠的轉(zhuǎn)望角.aABCFlEI1EI2解:（1）計(jì)祝算A點(diǎn)的線垂直薪位移,在A點(diǎn)加瞞垂直隆向下使的單戴位力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2）計(jì)恐算B截面戚的轉(zhuǎn)禮角,在B上加淋一個(gè)蒸單位籃力偶憶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例題8圖示吵剛架,兩桿液的EI和EA分別史相同,試求C點(diǎn)的注水平聲位移.CFabAB解:在C點(diǎn)加良一水袋平單稈位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例題9圖示售為一巷水平精面內(nèi)華的曲劫桿，B處為傻一剛府性節(jié)夫點(diǎn)，

AB停C=9爺0°在C處承拜受豎宅直力F，設(shè)兇兩桿擁的抗獄彎剛關(guān)度和儲抗扭奧剛度叛分別獎(jiǎng)是EI和GIp，求C點(diǎn)豎擋向的藥位移.ABCFab53xx解:在C點(diǎn)加置豎向睬單位志力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例題10由三烈桿組歐成的凳剛架,B,C為剛殖性節(jié)才點(diǎn),三桿開的抗許彎剛爆度都煉是EI,試用需單位江載荷獨(dú)法求A1,A2兩點(diǎn)禿的相妻對位考移.A1A2BCllFF56x解：鐘在A1,A2處加呀一對秤水平魄單位工力.B,C兩支蓋座的嫂反力片均為耀零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例題11剛架蘋受力惱如圖,求A截面怨的垂艱直位鐵移,水平王位移哭及轉(zhuǎn)趕角.ABCllq58AB：BC：解:求A點(diǎn)鉛揭垂位奸移（尺在A點(diǎn)加蠢豎向僻單位懲力）xxxxABCllqABCllq159求A點(diǎn)水讀平位之移（詳在A點(diǎn)加巴水平妻單位室力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A點(diǎn)的背轉(zhuǎn)角蜻（在A點(diǎn)加偽一單纏位力舒偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例題12圖示蒙為一催簡單抵桁架,其各康桿的EA相等.在圖催示荷爬載作喚用下A、C兩節(jié)賭點(diǎn)間罰的相羞對位辜移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架腰求位攀移的譯單位鉆荷載文法為116312345678桿件編號90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C兩點(diǎn)惑間的憤距離縱縮短.64例題13計(jì)算巧圖（a）所示袋開口濕圓環(huán)叫在F力作刊用下摘切口伐的張追開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)65BARPF(b蓬)BARP1(c盛)解：OO66

2

1

3設(shè)彈羞性結(jié)敞構(gòu)在徒支座艙的約務(wù)束下青無任栗何剛箭性位欠移.作用得有外步力:F1,F2,

腰,Fi,

相應(yīng)林的位掃移為諸：

1,

2,,

i,

§1部3-5卡氏踢定理(Ca北st足ig喬li屋an銳o’萬sTh孔eo勿re耐m)F1F2F3結(jié)構(gòu)沈的變獸形能67只給Fi一個(gè)繁增量

Fi.引起們所有寄力的癢作用竊點(diǎn)沿啞力方塵向的償位移弱增量守為

2

1

3F1F2F3在作嘆用

Fi的過應(yīng)程中,

Fi完成買的功亞為原有談的所很有力啞完成稠的功唇為結(jié)構(gòu)僚應(yīng)變疲能的真增量劈燕為68如果廢把原向來的小力看紫作第軋一組仔力,而把

Fi看作杰第二炭組力.根椐筒互等疫定理略去高階微量或者當(dāng)

Fi趨于夾零時(shí),上式再為這就妥是卡氏裁第二圖定理（Ca刷st壘ig握li滿an嶺o’賓sSe支co喜nd披T澆he渡or撫em）（卡嬌氏定貢理）（Ca莖st股ig只li脂an律o’賓sTh腔eo衣re團(tuán)m）69（1）卡雖氏第凍二定竿理只翻適用換于線而性彈傾性體說明（Di隨re佳ct陽io仔ns）：（2）Fi為廣阿義力，

i為相扇應(yīng)的臺位移一個(gè)力一個(gè)力偶一對力一對力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對線位移相對角位移70（3）卡賓氏第繳二定米理的膊應(yīng)用（a）軸向密拉伸動(dòng)與壓融縮（b）扭轉(zhuǎn)（c）彎曲71（4）平面拼桁架（5）燦組承合變點(diǎn)形72例題14外伸仿梁受股力如蹤蝶圖所美示,已知騾彈性靜模量EI.梁材野料為玻線彈瓦性體.求梁C截面仿的撓捎度和A截面袍的轉(zhuǎn)抖角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例題15剛架噸結(jié)構(gòu)逝如圖羊所示.彈性穗模量EI已知準(zhǔn)。材愧料為戰(zhàn)線彈警性.不考允慮軸副力和罪剪力股的影脹響，邀計(jì)算C截面延的轉(zhuǎn)尿角和D截面戶的水嗚平位故移.ABCDaa2aMe解:在C截面槽虛設(shè)錫一力圖偶Ma,在D截面田虛設(shè)疊一水戲平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例題16圓截助面桿AB薯C,（

AB布C=9潮0°）位于持水平駝平面湖內(nèi),已知僵桿截喊面直攝徑d及材步料的根彈性繁常數(shù)E,G.求C截面泡處的餅鉛垂你位移.不計(jì)迷剪力獻(xiàn)的影煙響.ABCllq79BC:彎曲綁變形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲謠與扭獵轉(zhuǎn)的紗組合霜變形（扭轉(zhuǎn)之變形胡）（彎極曲變娛形）8081例題17圖示搭剛架室各段厲的抗缺彎剛飽度均徐為EI.不計(jì)抽軸力癢和剪當(dāng)力的裂影響.用卡客氏第縮慧二定灣理求壩截面D的水坑平位騰移

D和轉(zhuǎn)尸角

D.MaxF1FABCDll2l解:在D點(diǎn)虛似設(shè)一結(jié)力偶疲矩MaCD:彎曲累變形82但是青軸力朋不計(jì),因此僵橫截妨面上的內(nèi)賭力只菊計(jì)彎平矩.F1ABCF2FlMa將力F向C簡化垮得：力F（產(chǎn)楚生拉煮伸變哲形）力偶靜矩2Fl（產(chǎn)生易彎曲雁變形鑒）Ma（產(chǎn)粒生彎縱曲變晶形）AC產(chǎn)生坊拉伸儀與彎靜曲的西組合壇變形.橫截劑面上乘的內(nèi)壘力有蜓軸力竿和彎鍛矩.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡化鉗得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§1仍3-6計(jì)算莫爾拉積分啦的圖微乘法(T帶he封m值et熔ho喚d叔of牢m南om殊en吩t輪ar康ea貓s湯fo時(shí)r做th縫emo敲hr啄’sin來te歪gr字at帥io艦n)等直五桿的查情況肢下,莫爾盲積分幟中的EI為常同量,可提貢到積串分號度外面只需斷計(jì)算:85因?yàn)槭怯蓡挝涣騿挝涣ε家鸬膹澗?故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl設(shè)在燭桿長武為l的一奪段內(nèi)M（x）圖夾是曲跳線設(shè)直鵝線方占程是M(x)是直線,為l段內(nèi)圖M(x)的面積ω87M(x)xlxωxCCC為圖M(x)的形劉心,xC為其坐標(biāo)為圖M(x)對y軸坐標(biāo)的靜矩是和M(x)圖的形心對應(yīng)處的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC對于貢等直喝桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對應(yīng)的的乘積來代替MC當(dāng)M圖為肚正彎牙矩時(shí),w應(yīng)代堪以正乞號.當(dāng)M圖為冠負(fù)彎偽矩時(shí),w應(yīng)代益以負(fù)激號.也應(yīng)按彎矩符號給以正負(fù)號.MC注意有時(shí)M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,而為折線,則應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)89b幾中梨常見貪圖形鎮(zhèn)的面擊積和黨形心滿的計(jì)途算公坦式alh三角停形CClh頂點(diǎn)二次殊拋物典線90lh頂點(diǎn)cN次拋姥物線lh頂點(diǎn)c二次伯拋物繪線3l/4l/491例題18均布叨荷載嶄作用表下的善簡支乞梁,其EI為常蒙數(shù).求跨講中點(diǎn)導(dǎo)的撓戲度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例題19圖示省梁,抗彎任剛度島為EI,承受漂均布居載荷q及集御中力F作用.用圖滅乘法榆求:（1）集卸中力爭作用腐端撓蛛度為叉零時(shí)好的F值；（2）集展中力講作用涉端轉(zhuǎn)前角為辜零時(shí)牧的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例題20圖示碰開口佛剛架,EI為常鎮(zhèn)數(shù).求A和B兩截狼面的奧相對危角位神移qAB和沿F力作完用線瘡方向疫的相渣對線塊位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例題21圖示哨剛架,EI為常停數(shù).求A截面僅的水隊(duì)平位更移ΔAH和轉(zhuǎn)舉角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例題22拐桿袍如圖,A處為伴一軸雕承,允許敏桿在系軸承茂內(nèi)自盤由轉(zhuǎn)貫動(dòng),但不抗能上喝下移佛動(dòng),已知:E=2菠10漫GPa,G=0重.4E,求B點(diǎn)的沿垂直魄位移.5A30妖0B50堆0=1F01020

解:（1）畫單藏位載阻荷圖C5A30跪0B50填0=60kNF11020

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