最優(yōu)控制理論及應用課件

最優(yōu)控制理論及應用主講：董潔dongjie@2013年11月最優(yōu)控制理論及應用主講：董潔1符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制.北京：機械工業(yè)出版社2解學書.最優(yōu)控制理論及應用.北京：清華大學出版社3秦壽康.最優(yōu)控制.北京：電子工業(yè)出版社4邢繼祥等.最優(yōu)控制應用基礎.北京：科學出版社5王朝珠，秦化淑.最優(yōu)控制理論.北京：科學出版社，20036張洪鉞，王青.最優(yōu)控制理論與應用.北京：高等教育出版社，20067胡壽松等.最優(yōu)控制理論與系統(tǒng).北京：科學出版社，2007參考教材1符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制.北京：機械工業(yè)出版社參考教材最優(yōu)控制理論的發(fā)展1最優(yōu)化問題的分類2最優(yōu)化問題的解法3最優(yōu)控制問題4本課程主要內容5第一章緒論最優(yōu)控制理論的發(fā)展1最優(yōu)化問題的分類2最優(yōu)化問題的解法3最優(yōu)第三階段魯棒控制理論階段1.由于現代數學的發(fā)展，結合著H2和H

等范數而出現了H2和H

控制，還有逆系統(tǒng)控制等方法。2.20世紀70年代末，控制理論向著“大系統(tǒng)理論”、“智能控制理論”和“復雜系統(tǒng)理論”的方向發(fā)展：控制理論的產生和發(fā)展第一階段經典控制理論第二階段現代控制理論第三階段魯棒控制理論階段1.由于現代數學的發(fā)展，結合大系統(tǒng)理論：用控制和信息的觀點，研究各種大系統(tǒng)的結構方案、總體設計中的分解方法和協(xié)調等問題的技術基礎理論。復雜大系統(tǒng)控制大系統(tǒng)理論：用控制和信息的觀點，研究各種大系統(tǒng)的結構方案、總智能控制理論：研究與模擬人類智能活動及其控制與信息傳遞過程的規(guī)律，研制具有某些擬人智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)的理論。洗衣機智能模糊控制機器人神經網絡控制智能控制理論：研究與模擬人類智能活動及其控制與信息傳遞過程的復雜系統(tǒng)理論：把系統(tǒng)的研究拓廣到開放復雜巨系統(tǒng)的范籌，以解決復雜系統(tǒng)的控制為目標。控制理論的發(fā)展過程反映了人類由機械化時代進入電氣化時代，并走向自動化、信息化、智能化時代。復雜航天器控制復雜系統(tǒng)理論：把系統(tǒng)的研究拓廣到開放復雜巨系統(tǒng)的范籌，以解決最優(yōu)控制屬于現代控制技術的核心內容，是現代控制理論的一個研究熱點和中心話題?，F代控制理論：以多變量系統(tǒng)控制、最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識為主要內容，最優(yōu)控制發(fā)展早。20世紀60年代，現代控制理論才得以迅速發(fā)展。我國著名學者：錢學森1954年編著的《工程控制論》直接促進了最優(yōu)控制理論的發(fā)展和形成。1最優(yōu)控制理論的發(fā)展最優(yōu)控制屬于現代控制技術的核心內容，是現代控制理論的一個研究現代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測的理論，主要包括5個方面：線性系統(tǒng)理論最優(yōu)控制系統(tǒng)辨識最佳濾波（卡爾曼濾波）自適應控制現代控制理論是研究系統(tǒng)狀態(tài)的控制和觀測的理論，主要包括線性系統(tǒng)理論研究線性系統(tǒng)在輸入作用下狀態(tài)運動過程規(guī)律，揭示系統(tǒng)的結構性質、動態(tài)行為之間的關系。主要內容：狀態(tài)空間描述、能控性、能觀性和穩(wěn)定性、狀態(tài)反饋、狀態(tài)觀測器設計等。線性系統(tǒng)理論最優(yōu)控制在給定約束條件和性能指標下，尋找使系統(tǒng)性能指標最佳的控制規(guī)律。主要方法：變分法、極大值原理、動態(tài)規(guī)劃等極大值原理現代控制理論的核心即：使系統(tǒng)的性能指標達到最優(yōu)（最小或最大）某一性能指標最優(yōu)：如時間最短或燃料消耗最小等。最優(yōu)控制自適應控制在控制系統(tǒng)中，控制器能自動適應內外部參數、外部環(huán)境變化，自動調整控制作用，使系統(tǒng)達到一定意義下的最優(yōu)。a.模型參考自適應控制（ModelReferenceAdaptiveControl)b.自校正自適應控制（Self-TurningAdaptiveControl)自適應控制系統(tǒng)辨識建立系統(tǒng)動態(tài)模型的方法：根據系統(tǒng)的輸入輸出的試驗數據，從一類給定的模型中確定一個與被研究系統(tǒng)本質特征等價的模型，并確定其模型的結構和參數。最佳濾波理論（最佳估計器）當系統(tǒng)中存在隨機干擾和環(huán)境噪聲時，其綜合必須應用概率和統(tǒng)計方法進行。即：已知系統(tǒng)數學模型，通過輸入輸出數據的測量，利用統(tǒng)計方法對系統(tǒng)狀態(tài)估計。Kalman濾波器系統(tǒng)辨識控制理論必須回答的三個問題：（1）系統(tǒng)能否被控制？可控性有多大？（2）如何克服系統(tǒng)結構的不確定性及干擾帶來的影響？（3）如何實現滿足要求的控制策略？控制理論必須回答的三個問題：現代控制理論與經典控制理論的差異易于實現實時控制和最優(yōu)控制頻率法的物理意義直觀、實用，難于實現最優(yōu)控制其它狀態(tài)反饋和輸出反饋PID控制和校正網絡設計方法復域、實域，可控和可觀測頻域(復域),頻率響應和根軌跡法分析方法線性代數矩陣拉普拉斯變換研究工具狀態(tài)空間法(內部描述)傳遞函數法(外部描述)研究方法多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)一階微分方程單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO)高階微分方程研究對象現代控制理論經典控制理論現代控制理論與經典控制理論的差異易于實現實時控制和最優(yōu)頻率法現代控制理論的應用比起經典控制理論,現代控制理論考慮問題更全面、更復雜,主要表現在考慮系統(tǒng)內部之間的耦合,系統(tǒng)外部的干擾,但符合從簡單到復雜的規(guī)律?，F代控制理論已經應用在工業(yè)、農業(yè)、交通運輸及國防建設等各個領域。現代控制理論的應用比起經典控制理論,現代控制理論考慮問題更全導彈穩(wěn)定控制空空導彈穩(wěn)定控制地空導彈穩(wěn)定控制導彈穩(wěn)定控制空空導彈穩(wěn)定控制地空導彈穩(wěn)定控制航天器控制月球車控制衛(wèi)星控制航天器控制月球車控制衛(wèi)星控制機器人控制空間機器人控制足球機器人控制機器人控制空間機器人控制足球機器人控制一些常用概念開環(huán)與閉環(huán);調節(jié)問題，跟蹤問題，隨動系統(tǒng);自治系統(tǒng)，非自治系統(tǒng);狀態(tài)反饋，輸出反饋;一些常用概念開環(huán)與閉環(huán);世界上對控制理論發(fā)展有特殊貢獻的學者：美國著名學者：貝爾曼（R.E.Bellman）：動態(tài)規(guī)劃1953-1957原蘇聯(lián)著名學者：龐特里亞金：極小值原理1956-1958之后控制論得以迅速發(fā)展，發(fā)展和促進了許多新的理論學科。最優(yōu)化技術要解決的主要問題：研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)方案，其中包括以下任務1）根據所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題數學模型。確定變量，列出約束條件，確定目標函數（性能指標）2）模型分析，選擇合適的最優(yōu)化求解方法。3）根據選定的最優(yōu)化算法，編程，求解。世界上對控制理論發(fā)展有特殊貢獻的學者：美國著名學者：貝爾曼（最優(yōu)化的基本問題：就是尋找一個最優(yōu)的控制方案或控制規(guī)律，使所研究的對象（或系統(tǒng)）能最優(yōu)地達到預期的目標。例如：1)溫度控制系統(tǒng)，如果出現干擾而產生偏差，用什么方法最快消除偏差而使系統(tǒng)恢復到原來的平衡狀態(tài)。2)雷達高炮隨動系統(tǒng),當發(fā)現敵機后,如何以最快速度跟蹤目標而將敵機擊落？3)電梯控制，如何以最快速度平穩(wěn)到達地面。以上都涉及到：依據各種不同的研究對象以及人們預期達到的目的，尋求一個最優(yōu)控制規(guī)律u(t)的問題。最優(yōu)化的基本問題：例如：1)溫度控制系統(tǒng)，如果出現干擾而產生攔截導彈最短時間控制攔截導彈最短時間控制導彈最小燃料控制導彈最小燃料控制航天飛機最小能量控制航天飛機最小能量控制彈道導彈的彈道跟蹤控制彈道導彈的彈道跟蹤控制衛(wèi)星的指向和穩(wěn)定控制衛(wèi)星的指向和穩(wěn)定控制磁懸浮列車的控制:上海兩個機場之間磁懸浮列車的控制:上海兩個機場之間最優(yōu)控制的歷史和人物三個經典問題：等周問題，最速降線問題，測地線(短程線)問題——催生了變分法二十世紀五十年代空間技術和航空技術——推動產生了極大值原理，動態(tài)規(guī)劃最優(yōu)控制的歷史和人物三個經典問題：等周問題，最速降線問題，測歐拉拉格朗日龐特里亞金貝爾曼歐拉拉格朗日龐特里亞金貝爾曼最優(yōu)化與最優(yōu)控制理論發(fā)展的一個概括表示最優(yōu)化與最優(yōu)控制理論發(fā)展的一個概括表示最優(yōu)控制問題的發(fā)展過程古典法50年代以前，自動控制系統(tǒng)設計有兩種方法解析法這兩種方法都是以傳遞函數為數學模型，來表征系統(tǒng)特征。在s域或z域內用經典控制論進行設計，對簡單的線性調節(jié)系統(tǒng)，方法有效。R（S）U（S）C（S）—最優(yōu)控制問題的發(fā)展過程這兩種方法都是以傳遞函數為數學模型，來1）古典法：（工程試湊法）根據對象G（S），確定控制器GC（S），使系統(tǒng)滿足各項性能指標，如：超調量，上升時間，增益裕度，相位裕度。特點：系統(tǒng)的控制結構是確定的，控制參數設計一般采用試湊方法，系統(tǒng)設計不是最優(yōu)的，所得結果不是唯一解。改進：解析法，力求使設計的系統(tǒng)按一定指標要求來達到最優(yōu)，從這個意義上講，解析法比古典法更前進一步。2）解析法：核心：目標函數為最小。設計目標：求相應得目標函數，使誤差的平方積分值Je為小。1）古典法：（工程試湊法）2）解析法：局限性：系統(tǒng)設計僅限于單變量系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)為控制對象，設計目標僅局限于使誤差最小。50年代中期，隨著最優(yōu)控制在航空航天領域中的應用，使局限性有了突破——最優(yōu)控制論設計系統(tǒng)。1）用狀態(tài)空間法研究線性控制系統(tǒng)，提出了可控可觀的概念。注意：若系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解不存在2）動態(tài)規(guī)劃法和最優(yōu)化原理3）極大值原理局限性：系統(tǒng)設計僅限于單變量系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)為控制對象，設總結：最優(yōu)控制是現代控制理論的核心，其主要內容是：在滿足一定的約束條件下，根據控制系統(tǒng)的數學模型，尋求最優(yōu)控制，使目標函數為極大或極小。用最優(yōu)控制設計系統(tǒng)與傳統(tǒng)解析法相比，特點如下：1）適用于多變量，非線性，時變系統(tǒng)的設計2）初始條件可任意3）可以滿足多個目標函數的要求，并可用于多個約束的情況4）便于計算機求解總結：最優(yōu)控制是現代控制理論的核心，其主要內容是：在滿足一定先期工作1948年，維納（N.Wiener）發(fā)表《控制論》，引進了信息、反饋和控制等重要概念，奠定了控制論（Cybernetics）的基礎，并提出了相對于某一性能指標進行最優(yōu)設計的概念。1954年，錢學森編著《工程控制論》，系統(tǒng)地揭示了控制論對自動化、航空、航天、電子通信等科學技術的意義和重大影響。

其中“最優(yōu)開關曲線”等素材，直接促進了最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展。最優(yōu)控制的發(fā)展簡史先期工作最優(yōu)控制的發(fā)展簡史《工程控制論》

EngineeringCybernetics序言（錢學森）建立這門技術科學，能賦予人們更寬闊、更縝密的眼光去觀察老問題，為解決新問題開辟意想不到的新前景?！豆こ炭刂普摗?/p>

EngineeringCybernetic1953~1957年，貝爾曼（R.E.Bellman）創(chuàng)立“動態(tài)規(guī)劃”原理。

為了解決多階段決策過程逐步創(chuàng)立的，依據最優(yōu)化原理，用一組基本的遞推關系式使過程連續(xù)地最優(yōu)轉移?！皠討B(tài)規(guī)劃”對于研究最優(yōu)控制理論的重要性，表現于可得出離散時間系統(tǒng)的理論結果和迭代算法。1956~1958年，龐特里亞金創(chuàng)立“最大值原理”。

它是最優(yōu)控制理論的主要組成部分和該理論發(fā)展史上的一個里程碑。對于“最大值原理”，由于放寬了有關條件，使得許多古典變分法和動態(tài)規(guī)劃方法無法解決的工程技術問題得到解決，所以它是解決最優(yōu)控制問題的一種最普遍的有效的方法。同時，龐特里亞金在《最優(yōu)過程的數學理論》著作中已經把最優(yōu)控制理論初步形成了一個完整的體系。此外，構成最優(yōu)控制理論及現代最優(yōu)化技術理論基礎的代表性工作，還有不等式約束條件下的非線性最優(yōu)必要條件(庫恩—圖克定理)以及卡爾曼的關于隨機控制系統(tǒng)最優(yōu)濾波器等。理論形成階段1953~1957年，貝爾曼（R.E.Bellman）創(chuàng)立“最優(yōu)化（optimization）技術是研究和解決最優(yōu)化問題的一門學科，它研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)的方案。也就是說，最優(yōu)化技術是研究和解決如下兩個問題：（1）如何將最優(yōu)化問題表示為數學模型（2）如何根據數學模型（盡快）求出其最優(yōu)解最優(yōu)控制（optimalcontrol）是控制理論中的優(yōu)化技術。尋找在某種性能指標要求下最好的控制。最優(yōu)化（optimization）技術是研究和解決最優(yōu)化問題現有產品A、B,每種產品各有兩道工序，分別由兩臺機器完成，其所需工時如下表所示，且每臺機器每周最多只能工作40小時。若產品A的單價為200元，產品B的單價為500元，應如何安排生產計劃，即A、B各應生產多少可使總產值最高。解：設該車間每周應生產產品A、B的件數分別為X1、X2,由于每臺機器工作時間有限制，則有約束條件：在這些約束條件下選擇X1、X2,使總產值達到最大。例1生產計劃安排問題現有產品A、B,每種產品各有兩道工序，分別由兩臺機器完成，其設有一盛放液體的連續(xù)攪拌槽，如下圖所示。槽內裝有不停地轉動著的攪拌器J，使液體經常處于完全混合狀態(tài)。槽中原放0℃的液體，現需將其溫度經1小時后升高到40℃。為此在入口處送進一定量的液體，其溫度為u(t)，出口處流出等量的液體，以便保持槽內液面恒定。試尋找u(t)的變化規(guī)律，使槽中液體溫度經1小時后上升到40℃，并要求散失的熱量最小。解：因假定槽中液體處于完全混合狀態(tài)，故可用x(t)表示其溫度，x(0)=0，x(1)=40。由熱力學可知，槽中液體溫度的變化率與溫差[u(t)-x(t)]成正比，為簡便計，令比例系數為1，于是有在1小時內散失掉的熱量可用下式表示：其中q和r都是正的常數。因此在目前情況下，最

優(yōu)控制問題是：找u(t)的變化規(guī)律．使槽中液體

經1小時后從0℃上升到40℃，并要求散失的熱

量最小，即方程(4）中J(u)取最小值。例2攪拌槽的溫度控制設有一盛放液體的連續(xù)攪拌槽，如下圖所示。槽內裝有不停地轉動著2最優(yōu)化問題的分類1）無約束與有約束的最優(yōu)化問題若系統(tǒng)控制變量的取值范圍不受限制，則為無約束的最優(yōu)化問題，反之為有約束的最優(yōu)化問題。實際系統(tǒng)大多為有約束的最優(yōu)化問題等式約束不等式約束約束條件2最優(yōu)化問題的分類1）無約束與有約束的最優(yōu)化問題等式約束約束例如，某公司要在規(guī)定的時間內對其產品的生產做一個計劃，那么它必須根據庫存量、市場對該產品的需求量以及生產率來考慮，使產品的生產成本最低。那么這個問題就是一個經濟學的最優(yōu)控制問題。設T是一個固定時間，x(t)表示在時刻t(0≤t≤T)時的產品存貨量，r(t)表示在t時刻對產品的需求率。這里假定r(t)是一個定義在時間t上的已知連續(xù)函數，u(t)表示在時刻t的生產率，函數u(t)由生產計劃人員來選取，它就是生產計劃或者叫做控制。取u(t)為分段連續(xù)函數，則存貨量由微分方程確定，其中x0是原來的庫存量。例如，某公司要在規(guī)定的時間內對其產品的生產做一個計劃，那么它設該產品在單位時間內的生產成本是生產率的函數，即單位時間的生產成本是h[u(t)]，b＞0是單位時間貯藏單位商品的費用。于是，在時刻t的該公司生產這個產品的單位時間的成本是：因此，在規(guī)定時間T內生產該產品的總成本為對于生產計劃人員來說，就是要選取一個控制u(t)使得總成本J(u)達到極小值。如果對于x(t)，r(t)和u(t)不加任何的限制，那么這就是一個無約束的最優(yōu)化問題。設該產品在單位時間內的生產成本是生產率的函數，即單位時但從x(t)的實際意義來看，公司的庫存量不可能是無限的，要受一定條件的限制：0≤x(t)≤A，A為公司最大庫存量生產計劃u(t)是公司的生產率，要受公司生產設備的限制：0≤u(t)≤B，B為公司最大生產率產品的需求率r(t)，也不可能是無限的，也要受一定的限制：0≤r(t)≤C，C為產品的最大需求率如果在做計劃時考慮這些條件的限制，那么這個問題就是一個在不等式約束條件下的最優(yōu)化問題。但從x(t)的實際意義來看，公司的庫存量不可能是無限的，要受2）確定性和隨機性最優(yōu)化問題確定性：每個變量的取值是確定的，可知的。隨機性：某些變量的取值是不確定的，但可根據大量的數據統(tǒng)計，知道變量服從一定的概率分布。3）線性和非線性的最優(yōu)化問題線性：目標函數和所有的約束條件式均為線性（即它們是變量的線性函數）稱為線性最優(yōu)化。非線性：目標函數或約束式中有一個是變量的非線性函數，稱為非線性最優(yōu)化。2）確定性和隨機性最優(yōu)化問題確定性：每個變量的取值是確定的，靜態(tài)最優(yōu)化——最優(yōu)化問題的解不隨時間變化，通常又稱為參數最優(yōu)化問題。即：最優(yōu)控制變量與時間t沒關系或說在所研究的時間區(qū)域內為常數。目標函數：多元的普通函數。最優(yōu)解：古典微分法對普通函數求極值方法完成。4）靜態(tài)最優(yōu)化和動態(tài)最優(yōu)化靜態(tài)最優(yōu)化——最優(yōu)化問題的解不隨時間變化，4）靜態(tài)最動態(tài)最優(yōu)化——最優(yōu)化問題的解隨時間變化特點：受控對象：動態(tài)系統(tǒng)所有變量：時間的函數最優(yōu)解：古典變分法求泛函的極值問題a.最優(yōu)控制問題的變分法（第二章）b.最小值原理及應用（第三章）c.線性二次型最優(yōu)控制問題（第五章）d.動態(tài)規(guī)劃及應用（第四章）動態(tài)最優(yōu)化——最優(yōu)化問題的解隨時間變化a.5）網絡最優(yōu)化問題如果最優(yōu)化問題的模型可以用網絡圖表示，則在網絡圖上尋優(yōu)稱為網絡最優(yōu)化問題。網絡最優(yōu)化問題是一種復雜系統(tǒng)的規(guī)劃方法，在運輸、通信、電路、計算機網絡以及工程施工的分析、設計、規(guī)劃中得到非常廣泛的應用。5）網絡最優(yōu)化問題3最優(yōu)化問題的解法1）間接法（解析法）對于目標函數及約束條件具有簡單而明確的數學解析表達式的最優(yōu)化問題，通?？刹捎瞄g接法（解析法）來解決。其求解方法是先按照函數極值的必要條件，用數學分析方法（求導數方法或變分方法）求出其解析解，然后按照充分條件或問題的實際物理意義間接地確定最優(yōu)解。無約束條件有約束條件經典微分法經典變分法極大值原理庫恩-圖克定理解析法（間接法）3最優(yōu)化問題的解法1）間接法（解析法）2）直接法（數值解法）對于目標函數較為復雜或無明確的數學表達式或無法用解析法求解的最優(yōu)化問題，通?？刹捎弥苯臃ǎ〝抵到夥ǎ﹣斫鉀Q?；舅枷耄褪怯弥苯铀阉鞣椒ń涍^一系列的迭代以產生點的序列（簡稱點列），使之逐步接近到最優(yōu)點。直接法常常是根據經驗或試驗而得到的。2）直接法（數值解法）區(qū)間消去法（一維搜索）爬山法（多維搜索）黃金分割法（0.618法）函數逼近法（插值法）菲波納奇（Fibonacci）法變量輪換法步長加速法方向加速法單純形法隨機搜索法數值解法（直接法)區(qū)間消去法爬山法黃金分割法（0.618法）函數逼近法（插值法3）以解析法為基礎的數值解法。解析與數值計算相結合的方法——梯度法在求解最優(yōu)化問題時，不僅要計算目標函數的值，而且還要計算目標函數的一階或高階導數，求出目標函數的梯度并以梯度的方向作為搜索極值的方向，這種方法適合于多變量最優(yōu)化問題的求解。以梯度法為基礎的數值解法主要有最速下降法、牛頓法與擬牛頓法、牛頓-高斯最小二乘法、變尺度法以及共軛梯度法。3）以解析法為基礎的數值解法。解析與數值計算相結合的方法——5）現代優(yōu)化算法運用現代智能計算方法，如遺傳算法、模擬退火算法、蟻群算法、粒子群算法等，進行直接搜索的最優(yōu)化求解方法，主要解決大規(guī)模復雜優(yōu)化問題中的NP-hard問題。4）網絡最優(yōu)化方法。以網絡圖作為數學模型，用圖論方法進行搜索的尋優(yōu)方法。5）現代優(yōu)化算法4）網絡最優(yōu)化方法。以網絡圖作為數學模型，用4最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題的實質，就是求解給定條件下給定系統(tǒng)的控制規(guī)律，致使系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標(目標函數)下具有最優(yōu)值。4最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題的實質，就是求解給定條件下給定系統(tǒng)建立數學模型是求解最優(yōu)控制問題的第一步確定變量（輸入變量，輸出變量，控制變量）列出約束條件建立目標函數數學模型表征了受控動態(tài)系統(tǒng)在運動過程中所遵循的物理或化學規(guī)律。1）最優(yōu)控制問題的數學模型建模過程包括建立數學模型是求解最優(yōu)控制問題的第一步確定變量（輸入變量，輸狀態(tài)變量控制變量通常又表征為（線性系統(tǒng)）線性時變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)A(t)，B(t)：時變矩陣A，B：定常矩陣（1）數學模型的表征：狀態(tài)方程狀態(tài)變量控制變量通常又表征（2）有關數學模型中變量的邊界條件，即系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)，即確定：，。一個動態(tài)過程，歸根到底，是狀態(tài)空間中的狀態(tài)由初態(tài)轉移到的過程目標函數(性能指標，性能泛函，目標泛函)：是衡量“控制作用”效果的性能指標。為了實現動態(tài)過程中狀態(tài)從可以通過不同的控制來完成，控制效果的好壞，可通過能否達到所規(guī)定的目標函數來判別。目標函數對不同的問題，有不同的表征：如：時間最短，燃料最少，成本最低等。（2）有關數學模型中變量的邊界條件，即系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài)，即確（3）容許控制實際系統(tǒng)，都有規(guī)定的取值范圍，它對應于m維控制空間中的某一個集合，的每一個取值對應于中的一個元素容許控制即u(t)受約束極小值原理求解可任意取值經典變分法求解。（3）容許控制實際系統(tǒng)，都有規(guī)定的取值范圍，它對有不同的控制作用可以完成。為了評價各種控制作用的優(yōu)劣，需用性能指標評價。性能指標中的形式取決于最優(yōu)控制問題要完成的任務，不同的最優(yōu)控制問題。不同的性能指標，采用不同的控制作用，性能指標J不同。J是控制u(t)的函數，通常表示為：（4）性能指標有不同的控制作用可以完成。為了評價各種控制作用的優(yōu)劣，需用性(1)積分型性能指標(拉格朗日型)(2)末值型性能指標（梅耶型）(3)綜合性能指標（鮑爾扎型）特殊情況，二次型性能指標的幾種形式(1)積分型性能指標(2)末值型性能指標(3)綜合性能指標特容易看出，拉格朗日問題和梅耶問題可以看成鮑爾扎問題的一種特例，鮑爾扎問題是最一般形式的變分問題?？梢宰C明，上述3個問題可以互相轉換。比如，若令假定初值ψ(x(t0),t0)恒定不變，則鮑爾扎問題就可以化為一個等價的拉格朗日問題。若引進一個新的變量x0(t)，使令則又可把鮑爾扎問題化為一個等價的梅耶問題。容易看出，拉格朗日問題和梅耶問題可以看成鮑爾扎問題的一種特例總結：用以下4個方程來描述(1)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程(3)給定性能指標(2)狀態(tài)方程的邊界條件(4)容許控制u(t)確定一個最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)，轉移到終端狀態(tài)x(tf)，并使性能指標J[u]具有極大（極?。┲怠？偨Y：用以下4個方程來描述(1)給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程(3)給定2）最優(yōu)控制問題的提法數學描述（1）給定系統(tǒng)狀態(tài)方程：或式中：為n維狀態(tài)向量；：m維控制向量()為n維狀態(tài)向量函數，且對連續(xù)可微2）最優(yōu)控制問題的提法數學描述（1）給定系統(tǒng)狀態(tài)方容許控制u(t)在m維的有界閉集Ω中取值，即：（2）給定初始條件：（3）明確終端條件：x(t)滿足目標集：S：P×1維向量函數（4）給定性能指標：容許控制u(t)在m維的有界閉集Ω中取值，即：（2）給定初始問題提出：確定一個最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉移到終端狀態(tài)，并使性能指標J[u]為極大（小)值，此時，稱為最優(yōu)控制作用，記為。代入所得為最優(yōu)狀態(tài)軌線。J為最優(yōu)性能指標。例題分析：[數學描述]登月火箭到達月球表面時的軟著陸問題：火箭飛行的最后階段，進入了月球的引力范圍，當火箭垂直自由降落到距離月球表面為h的地方時，要求火箭速度為0，并且燃料消耗為最小。問題提出：確定一個最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)mgt=t火箭F(制動力)月球表面分析：在火箭速度降為0之前，制動力與燃料消耗成正比其中：k：常數，m：火箭（包括燃料）的質量火箭從開始減速，到時速度為0，mgt=t火箭F(制動力)月球表面分析：在火箭速度降為0之前即x:垂直距離過程運動方程為：mg：月球引力邊界條件：時：時：自由，自由約束條件：燃料消耗率約束：燃料消耗有限制，不能太多即過程運動方程為：mg：月球引力邊界條件：時：時：問題提出：確定，即確定系統(tǒng)的制動力規(guī)律，使火箭制動階段燃料消耗最少最優(yōu)控制問題數學描述：首先選一組狀態(tài)變量，將微分方程化為狀態(tài)方程，并確定相應的初始狀態(tài)和末端狀態(tài).由：問題提出：確定，即確定系統(tǒng)的制動力規(guī)律令：則：u目標函數：令：則：u目標函數：求取最優(yōu)控制u*(t)，使得受控系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉移到末端狀態(tài)，所消耗的燃料最小，即J最小。注意：1）J是u的函數2）有約束，是容許控制最優(yōu)控制問題的提法很多，實例很多，不再講述，不論什么樣的問題，其分析思路都是一樣的，給出問題的描述方法也是相同的。根據系統(tǒng)初態(tài)，末端的不同，最優(yōu)控制有以下特例。求取最優(yōu)控制u*(t)，使得受控系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉移到末端注意3）最優(yōu)控制的幾個特例1)終端狀態(tài)給定固定端點的最優(yōu)控制問題2)終端狀態(tài)自由，可任意取值自由端點的最優(yōu)控制問題1）終端時刻已知固定端點時間的最優(yōu)控制問題2）終端時刻未知自由端點時間的最優(yōu)控制問題以后將分別進行討論。(1)給定(2)若初始時刻t0已知3）最優(yōu)控制的幾個特例1)終端狀態(tài)給定4）動態(tài)最優(yōu)控制系統(tǒng)的結構形式開環(huán)閉環(huán)（1）開環(huán)：控制器對象Xdu*(t)x(