【微專題】2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常考點(diǎn)微專題提分精練（人教版）8字型+角分線求角（解析版）

8字型+角分線求角1．【問題背景】（1）小明在學(xué)習(xí)多邊形時(shí)，把如圖1的圖形看成為“8”字形，并得出如下結(jié)論：∠A+∠B＝∠C+∠D，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)；小明結(jié)合（1）中的結(jié)論并利用方程思想輕松解答如下：解：由AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，可設(shè)∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y(tǒng)，由（1）的結(jié)論得：，…………請(qǐng)你幫小明把求解過(guò)程補(bǔ)充完整．（3）【拓展延伸】如圖3，已知∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，請(qǐng)利用上述結(jié)論或方法直接寫出∠P的度數(shù)．（用含α，β的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）26°，過(guò)程見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，即可求證；（2）①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，再由角平分線的定義，得到∠P＝（∠B+∠D），即可求解；（3）利用（1）的結(jié)論及（2）的思路，可得，從而得到，，繼而得到，即可求解．【詳解】解：（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D即2∠P+x+y＝x+y+∠B+∠D∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．（3）∵，，∴，∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，∴，∵，∴，∴∵∠C＝α，∠B＝β，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，對(duì)頂角相等，利用類比的思想解答是解題的關(guān)鍵．2．如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=，∵，∴，∴；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=（38°+42°）=40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵．3．已知，（1）如圖，，，是的平分線，是的平分線，求的度數(shù)；（2）如果（1）中條件變?yōu)?，，其它條件不變，則_____________．（直接寫出答案）【答案】(1)59°；(2).【解析】【分析】(1)連接DB，由得出∠CDA=∠A，∠C=∠CBA，再利用角平分線的性質(zhì)得出∠PDA和∠PBC的度數(shù)，用三角形外角性質(zhì)的出∠DGB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求出∠ADB+∠CBD，從而求出∠P的度數(shù).(2)根據(jù)題(1)的思路，將，，代入即可求得∠C的度數(shù).【詳解】解：(1)連接BD∵，，∴∠CDA=∠A=40°，∠C=∠CBA=78°∵是的平分線，是的平分線∴∠CDP=∠PDA=20°，∠ABP=∠PBC=39°∵∠C+∠CDG=∠DGB∴∠DGB=40°+78°=118°∴∠GDB+∠GBD=180°-118°=62°∴∠PBD+∠PDB=62°+20°+39°=121°∴∠P=180°-121°=59°(2)∵，，∴∠CDA=∠A=，∠C=∠CBA∵是的平分線，是的平分線∴∠CDP=∠PDA=，∠ABP=∠PBC=∵∠C+∠CDG=∠DGB∴∠DGB=+∴∠GDB+∠GBD=∴∠PBD+∠PDB=∴∠P=∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，平行線和角平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖形找出各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.4．已知：如圖，AM，CM分別平分∠BAD和∠BCD．①若∠B＝32°，∠D＝38°，求∠M的度數(shù)；②探索∠M與∠B、∠D的關(guān)系并證明你的結(jié)論．【答案】①35°；②∠M=（∠B+∠D），證明見解析【解析】【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系．【詳解】解：①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M-∠B=∠D-∠M，∴∠M=（∠B+∠D）=（32°+38°）=35°；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M-∠B=∠D-∠M，∴∠M=（∠B+∠D）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義．注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．5．如圖，與的角平分線交于點(diǎn)P．（1）若，，求的度數(shù)；（2）猜想，，的等量關(guān)系．【答案】（1）32°；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得∠C＋∠D=2∠P，從而求出∠P；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本性質(zhì)變形可得∠C＋∠D=2∠P，從而證出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②①＋②，得∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE∵與的角平分線交于點(diǎn)P∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF∴∠C＋∠D=2∠P∴∠P===32°；（2），理由如下∵∠AFC=∠BFP，∠BED=∠AEP∴180°－（∠C＋∠CAF）=180°－（∠P＋∠PBF），180°－（∠D＋∠DBE）=180°－（∠P＋∠PAE）∴∠C＋∠CAF=∠P＋∠PBF①，∠D＋∠DBE=∠P＋∠PAE②①＋②，得∠C＋∠CAF＋∠D＋∠DBE=∠P＋∠PBF＋∠P＋∠PAE∵與的角平分線交于點(diǎn)P∴∠CAF=∠PAE，∠DBE=∠PBF∴∠C＋∠D=2∠P∴∠P=．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．6．已知：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出、、、之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）在圖2中，若，，試求∠P的度數(shù)；（寫出解答過(guò)程）（3）如果圖2中和為任意角，其他條件不變，試寫出∠P與、之間數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）【答案】（1）；（2）45°；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；（2）仔細(xì)觀察圖2，不難看出它有兩個(gè)圖1構(gòu)成ADMCP，APNCB．由此，得到兩個(gè)關(guān)系式∠2+∠D=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠B，再由角平分線的性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∠4，兩式相減，即可得結(jié)論．（3）與（2）相同．【詳解】（1）證明：在中，在中，∵∴故答案為：（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分、∴，由（1）的結(jié)論得：①+②，得：∴

（3）解：如圖2，∵AP、CP分別平分、∴，由（1）的結(jié)論得：①+②，得：∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)、等量代換；難點(diǎn)在于靈活運(yùn)用各等量關(guān)系．7．如圖1，AB與CD相交于點(diǎn)O，若，，和的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：（1）的度數(shù)；（2）設(shè)，，，，其他條件不變，如圖2，試問與、之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用、表示），直接寫出結(jié)論．【答案】(1)33°；(2)．【解析】【分析】(1)根據(jù)角平分線可以得到∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB，利用三角形的外角和公式，得出等式結(jié)合題目給出的已知條件即可求解；(2)利用三角形的外角和性質(zhì)找出題目中隱含的等量關(guān)系，從而得出∠P和∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：(1)∵AP是∠DAB的角平分線，CP是∠DCB的角平分線∴∠DAP=PAB，∠DCP=∠PCB∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB，∠P+∠PCD=∠D+∠DAP∴∠P+∠PAB+∠P+∠PCD=∠B+∠PCB+∠D+∠DAP∴2∠P=∠B+∠D∵∠B=28°，∠D=38°∴∠P=33°(2)∠P=∵∠P+∠PCD=∠D+∠DAP∴∠PCD-∠DAP=∠D-∠P∵∠D+∠DAO=∠B+∠OCB∴∠DAB-∠DCB=∠B-∠D∵，∴∠DAB-∠DCB=3（∠DAP-∠DCP）∴∠B-∠D=3(∠P-∠D)∵，∴∠P=【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的外角和性質(zhì)，正確的利用三角形的外角和性質(zhì)，找出題目中隱含的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：

；（2）圖2中，當(dāng)∠D=50度，∠B=40度時(shí)，求∠P的度數(shù).（3）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，進(jìn)而求得∠P的度數(shù)；（3）同（2）根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律和角平分線的定義，即可得出2∠P=∠D+∠B.【詳解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；

（3）關(guān)系：2∠P=∠D+∠B；證明過(guò)程同（2）.9．（1）如圖1，求證∠A＋∠B＝∠C＋∠D．（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＋∠C＝50°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖3，∠BAD和∠BCD的外角角平分線相交于點(diǎn)Q，請(qǐng)?zhí)骄俊螿與∠B，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）25°；（3）【解析】【分析】（1）設(shè)AD，BC交于點(diǎn)O，根據(jù)∠AOC是△AOB的外角，∠AOC是△OCD的外角即可得證；（2）設(shè)∠PBA＝∠PBC＝x，∠PDA＝∠PDC＝y(tǒng)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得到∠A＋x＝∠P＋y，∠C＋y＝∠P＋x，聯(lián)立即可求得∠P；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠QAE＝∠QAD，∠QCB＝∠QCF，設(shè)，，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得到，在四邊形ADCQ中，∠Q＋∠QAD＋∠D＋∠DCQ＝360°，可得到，繼而得到，從而得到．【詳解】（1）證明：如圖所示，設(shè)AD，BC交于點(diǎn)O，∵∠AOC是△AOB的外角，∠AOC是△OCD的外角，∴∠A＋∠B＝∠AOC，∠C＋∠D＝∠AOC，∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D；（2）解：∵∠ABC和∠ADC的平分線交于點(diǎn)P，∴∠PBA＝∠PBC，∠PDA＝∠PDC，∴設(shè)∠PBA＝∠PBC＝x，∠PDA＝∠PDC＝y(tǒng)，由（1）的結(jié)論可得：∠A＋∠PBA＝∠P＋∠PDA，∴∠A＋x＝∠P＋y①，同理可得∠C＋y＝∠P＋x②，由①＋②得：∠A＋x＋∠C＋y＝∠P＋y＋∠P＋x，∴2∠P＝∠A＋∠C＝50°，∴∠P＝25°；（3）∵∠BAD和∠BCD的外角的平分線交于點(diǎn)Q，∴AQ平分∠DAE，CQ平分∠BCF，∴∠QAE＝∠QAD，∠QCB＝∠QCF，∴設(shè)，，則，∴，，由（1）的結(jié)論可得：∠B＋∠BAD＝∠D＋∠BCD，∴，∴，在四邊形ADCQ中，∠Q＋∠QAD＋∠D＋∠DCQ＝360°，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和與外角和，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題．10．（1）如圖1，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，請(qǐng)猜想∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），進(jìn)而可求解．【詳解】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB①，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），②∴①②得：2∠P＝∠B+∠D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，二元一次方程組的解法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（類比探究）如圖1，線段AD，CB相交于點(diǎn)O，連接AB，DC，我們把形如圖1的圖形稱之為“X型”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AE和CE相交于點(diǎn)E，并且與CB，AD分別相交于F，G，試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：____________；（2）在圖2中，共有______個(gè)“X型”；（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=30°，則∠AEC=_______；（4）在圖2中，若∠D=α，∠B=β，則∠AEC=__________．【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）35°；（4）α+β．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠B=∠C+∠D；（2）根據(jù)“X型”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“X型”共有6個(gè)；（3）先根據(jù)“X型”中的角的規(guī)律，可得∠BAE+∠B=∠E+∠ECB①，∠ECD+∠D=∠EAD+∠E②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAE=∠EAD，∠BCE=∠ECD，將①+②，可得2∠E=∠D+∠B，進(jìn)而求出∠E的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“X型”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠AEC=α+β．【詳解】（1）∵∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠DOC=180°，∠AOB=∠DOC，∴∠A+∠B=∠C+∠D；故答案為：∠A+∠D=∠C+∠B；（2）①線段AD、CB相交于點(diǎn)O，形成“X型”；②線段AG、CF相交于點(diǎn)O，形成“X型”；③線段AD、CE相交于點(diǎn)G，形成“X型”；④線段AD、CF相交于點(diǎn)O，形成“X型”；⑤線段AE、CB相交于點(diǎn)F，形成“X型”；⑥線段AG、CB相交于點(diǎn)O，形成“X型”；故“X型”共有6個(gè)；故答案為：6．（3）∠BAE+∠B=∠E+∠ECB，①∠ECD+∠D=∠EAD+∠E，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AE和CE相交于點(diǎn)E，∴∠DAE=∠EAB，∠DCE=∠ECB，①+②得：∠BAE+∠B+∠ECD+∠D=∠E+∠ECB+∠EAD+∠E，即2∠E=∠D+∠B，又∵∠D=40°，∠B=30°，∴2∠E=40°+30°=70°，∴∠AEC=35°；故答案為：35°；（4）由（3）知：2∠E=∠D+∠B．∵∠D=α，∠B=β，∴2∠E=α+β．故答案為：α+β．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識(shí)的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“X型”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出“X型”；（3）（4）直接運(yùn)用“X型”中的角的規(guī)律解題．12．【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示∠P）；②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．②同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．（4）①設(shè)∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+