慶陽市重點中學2022-2023學年數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則A． B． C． D．2．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．243．把邊長為的正沿邊上的高線折成的二面角,則點到的距離是()A． B． C． D．4．下面是高考第一批錄取的一份志愿表：志愿學校專業(yè)第一志愿1第1專業(yè)第2專業(yè)第3專業(yè)第二志愿2第1專業(yè)第2專業(yè)第3專業(yè)現(xiàn)有5所重點院校，每所院校有3個專業(yè)是你較為滿意的選擇，如果表格填滿且規(guī)定學校沒有重復，同一學校的專業(yè)也沒有重復；你將有不同的填寫方法的種數(shù)是（）A． B． C． D．5．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°6．設為虛數(shù)單位，則復數(shù)()A． B． C． D．7．某班級有6名同學去報名參加校學生會的4項社團活動。若甲，乙兩位同學不參加同一社團，每個社團都有人參加，每個人只參加一個社團，則不同的報名方案數(shù)為A．2160 B．1320 C．2400 D．43208．以為焦點的拋物線的標準方程是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知的展開式中的系數(shù)為，則（）A．1 B． C． D．11．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%12．已知分別是的內(nèi)角的的對邊，若，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)（，為常數(shù)，）是復數(shù)的一個平方根，那么復數(shù)的兩個平方根為______.14．觀察下列等式：，，，……可以推測____（，用含有的代數(shù)式表示）．15．定義在上的函數(shù)滿足，且當若任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是____________16．的展開式中常數(shù)項是_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.18．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．19．（12分）老況、老王、老顧、小周、小郭和兩位王女士共7人要排成一排拍散伙紀念照.（1）若兩位王女士必須相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？（2）若老王與老況不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？（3）若兩位王女士必須相鄰，若老王與老況不能相鄰，小郭與小周不能相鄰，則共有多少種排隊種數(shù)？20．（12分）已知直線，（為參數(shù)），，（為參數(shù)），（1）若，求的值；（2）在（l）的條件下，圓（為參數(shù)）的圓心到直線的距離.21．（12分）近年來，人們對食品安全越來越重視，有機蔬菜的需求也越來越大，國家也制定出臺了一系列支持有機肥產(chǎn)業(yè)發(fā)展的優(yōu)惠政策，鼓勵和引導農(nóng)民增施有機肥，“藏糧于地，藏糧于技”．根據(jù)某種植基地對某種有機蔬菜產(chǎn)量與有機肥用量的統(tǒng)計，每個有機蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量（百斤）與使用有機肥料（千克）之間對應數(shù)據(jù)如下表：使用有機肥料(千克)345678910產(chǎn)量增加量(百斤)2.12.93.54.24.85.66.26.7（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試建立關(guān)于的線性回歸方程（精確到）；（2）若種植基地每天早上7點將采摘的某有機蔬菜以每千克10元的價格銷售到某超市，超市以每千克15元的價格賣給顧客．已知該超市每天8點開始營業(yè)，22點結(jié)束營業(yè)，超市規(guī)定：如果當天16點前該有機蔬菜沒賣完，則以每千克5元的促銷價格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗，當天都能全部賣完)．該超市統(tǒng)計了100天該有機蔬菜在每天的16點前的銷售量(單位：千克)，如表：每天16點前的銷售量(單位：千克)100110120130140150160頻數(shù)10201616141410若以100天記錄的頻率作為每天16點前銷售量發(fā)生的概率，以該超市當天銷售該有機蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù)，說明該超市選擇購進該有機蔬菜110千克還是120千克，能使獲得的利潤更大？附：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．參考數(shù)據(jù)：，．22．（10分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點D，求；（Ⅱ）若點E為BC的中點，當取最小值時，求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：求出函數(shù)的導數(shù)，由可求得.詳解：函數(shù)的導數(shù)，由可得選D.點睛：本題考查函數(shù)的導函數(shù)的概念及應用，屬基礎題.2、D【解析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題3、D【解析】

取中點，連接，根據(jù)垂直關(guān)系可知且平面，通過三線合一和線面垂直的性質(zhì)可得，，從而根據(jù)線面垂直的判定定理知平面，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，即為所求距離；在中利用勾股定理求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接，如下圖所示：為邊上的高，即為二面角的平面角，即且平面為正三角形為正三角形又為中點平面，平面又平面即為點到的距離又，本題正確選項：【點睛】本題考查立體幾何中點到直線距離的求解，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系在立體圖形中找到所求距離，涉及到線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，屬于中檔題.4、D【解析】

先排學校，再排專業(yè)，根據(jù)分步計數(shù)原理，即可得出答案?！驹斀狻坑深}意知本題是一個分步計數(shù)問題首先從5所重點院校選出兩所的排列：種3個專業(yè)的全排列：種根據(jù)分步計數(shù)原理共有種故選D【點睛】本題考查排列組合的實際應用，考查分步計數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬于基礎題。5、B【解析】分析：由題意可得，，進而得到與，再由，可得結(jié)論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點的坐標寫出向量的坐標與向量求模.6、D【解析】

由復數(shù)的乘除運算即可求得結(jié)果【詳解】故選【點睛】本題主要考查了復數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是要掌握復數(shù)四則運算法則，屬于基礎題。7、B【解析】

依題意，分和兩組，先分組，后排列，最后求和即可.【詳解】依題意，6名同學可分為兩組，第一組為，利用間接法，有種，第二組為，利用間接法，有,所以分類計數(shù)原理，可得種，故選B.【點睛】本題主要考查了排列、組合及簡單的計數(shù)原理，著重考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應用，以及推理與運算能力，其中解答中合理分類，做到先分組后排列的方式是解答的關(guān)鍵.8、A【解析】

由題意和拋物線的性質(zhì)判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標準方程．【詳解】因為拋物線的焦點坐標是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標準方程.

故選：A．【點睛】本題考查拋物線的標準方程以及性質(zhì)，屬于基礎題．9、C【解析】

分段令，解方程即可得解.【詳解】當時，令，得；當時，令，得.故選C.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)零點的求解，涉及指數(shù)和對數(shù)方程，屬于基礎題.10、D【解析】

由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項公式為，∴展開式中含x2項的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選D．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用問題，利用二項式展開式的通項公式是解決此類問題的關(guān)鍵．11、B【解析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布12、A【解析】

由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【詳解】解：是的一個內(nèi)角，，由正弦定理可得，又，，即為鈍角，故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎試題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、,【解析】

由題可知,再對開根號求的兩個平方根即可.【詳解】由題,故,即,故復數(shù)的兩個平方根為與故答案為：,【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,運用即可聯(lián)系與的關(guān)系,屬于基礎題型.14、或或【解析】

觀察找到規(guī)律由等差數(shù)列求和可得.【詳解】由觀察找到規(guī)律可得：故可得解.【點睛】本題考查觀察能力和等差數(shù)列求和，屬于中檔題.15、【解析】

先根據(jù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性，再化簡不等式，分類討論分離不等式，最后根據(jù)函數(shù)最值求m取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】因為當時為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價于不等式恒成立，即，平方化簡得，當時，；當時，對恒成立，；當時，對恒成立，（舍）；綜上，因此實數(shù)的最大值是.【點睛】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi).16、60.【解析】分析：根據(jù)二項式的展開式得到第r項為項為，常數(shù)項即r=2時，即可.詳解：的展開式中的項為，則常數(shù)項即常數(shù)項為第三項，60.故答案為：60.點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點E為坐標原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系.設，則，,，據(jù)此可得：，由可得點的坐標為，利用中點坐標公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，此時，設直線EF與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線垂直的判定和線面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解析】試題分析：(1)分別取的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進而得到；（2）建立空間直角坐標系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點，理由如下：分別取的中點，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設面的法向量，所以，得，則面的一個法向量，又是線段的中點，則的坐標為，于是，且，又設面的法向量，由，得，取，則，平面的一個法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．19、（1）；（2）；（3）；【解析】

（1）利用捆綁法即可求出，（2）利用插空法即可求出，（3）利用捆綁和插空法，即可求出．【詳解】解：（1）首先把兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，和另外5人全排列，故有種，（2）將老王與老況插入另外5人全排列所形成的6個空的兩個，故有種，（3）先安排老王與老況，在形成的3個空中選2個插入小郭與小周，在形成的5個空中選1個插入老顧，最后將兩位女士捆綁在一起看做一個符合元素，選1個位置插入到其余5人形成的6個空中故有種．【點睛】本題考查了簡單的排列組合，考查了相鄰問題和不相鄰問題，屬于中檔題.20、(1)-1;(2)【解析】

(1)將兩條直線的參數(shù)方程化為普通方程后,利用兩條直線垂直的條件列式可解得.(2)將參數(shù)方程化為普通方程后,得圓心坐標,再由點到直線的距離公式可得.【詳解】(1)由消去參數(shù)得,由消去參數(shù)得,因為,所以,解得.(2)由(1)得直線,由消去參數(shù)得,其圓心為,由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離為:.【點睛】本題考查了參數(shù)方程化普通方程,兩條直線垂直的條件,點到直線的距離公式,屬于基礎題.21、（1）（2）選擇購進該有機蔬菜120千克，能使得獲得的利潤更大【解析】

（1）求出，，結(jié)合題目所給數(shù)據(jù)，代入回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式中，即可求出線性回歸方程；（2）分別計算出購進該有機蔬菜110千克利潤的數(shù)學期