1.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算恩格斯：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科”數(shù)量關(guān)系空間形式數(shù)形結(jié)合平面幾何（二維）立體幾何（三維）坐標(biāo)法？平面向量引例：空間中，既有大小又有方向的量叫空間向量CompanyLogo新課講解：空間向量的概念平面向量定義表示方法大小表示兩個(gè)特殊的向量共線向量相等向量相反向量平面中，既有大小又有方向的量幾何表示法：有向線段字母表示法：模：零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記單位向量：模為1的向量方向相同且模相等的向量，記方向相同或相反的非零向量，規(guī)定與長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，記類比空間向量空間中，既有大小又有方向如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合例1：給出以下命題：（1）兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同；（2）若空間向量滿足，則；（3）在正方體中，必有；（4）若空間向量滿足，則；（5）空間中任意兩個(gè)單位向量必相等。其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4C

變式：如圖所示，長(zhǎng)方體中（1）寫出與向量相等的其余向量；（2）寫出與向量相反的向量。A1D1C1B1BACD探究2：如何定義空間兩個(gè)向量的加減運(yùn)算？abab

OABb思考：空間任意兩個(gè)向量是否都可以平移到同一平面內(nèi)？

結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。新知講解1.空間向量的加減運(yùn)算

由于任意兩個(gè)空間向量都能平移到同一平面，所以空間向量的加減運(yùn)算與平面向量的加減運(yùn)算相同.AoabBa空間向量的加減運(yùn)算空間兩個(gè)向量加減運(yùn)算的定義：加法平行四邊形法則加法三角形法則減法三角形法則1.加法：三角形法則，平行四邊形法則；2.減法：三角形法則.

1.空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣;2.兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立;3.空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè)向量相加.對(duì)空間向量加減法的說(shuō)明：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．探究3：空間向量運(yùn)算的運(yùn)算律

追問(wèn)1：平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律有哪些？你能類比它們得出空間線性運(yùn)算的運(yùn)算律嗎？追問(wèn)2：空間向量線性運(yùn)算運(yùn)算律的證明，和平面向量有哪些異同？除空間向量加法的結(jié)合律以外，其他運(yùn)算律都可以轉(zhuǎn)化為平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行證明.結(jié)合律涉及三個(gè)向量，它們可能不在同一個(gè)平面內(nèi)探究3：空間向量運(yùn)算的運(yùn)算律

追問(wèn)3：如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？如圖，可將空間中任意三個(gè)不共面的向量，通過(guò)平移使它們起點(diǎn)重合，分別平移表示這三個(gè)向量的線段，構(gòu)成一個(gè)平行六面體.我們借助這個(gè)平行六面體來(lái)證明加法的結(jié)合律.升華：如圖，在平行六面體

（底面是平行四邊形的四棱柱）中，分別標(biāo)出

表示的向量．（1）從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？（３）三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？空間向量的加減運(yùn)算（2）試用表示向量．結(jié)論：三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量——平行六面體法則?？臻g向量的數(shù)乘運(yùn)算：

2.空間向量數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì):（1）當(dāng)時(shí)，與同向（2）當(dāng)時(shí)，與反向1.定義：實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘（3）當(dāng)時(shí)，3.空間向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律（3）數(shù)乘結(jié)合律：（1）數(shù)乘分配律1：（2）數(shù)乘分配律2：歸納反思

總結(jié)提升1.我們學(xué)到了知識(shí)：空間向量的概念、加減法運(yùn)算、運(yùn)算律學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們按怎樣步驟研究？2.我們體會(huì)了思想方法：歸納類比、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化3.我們也留下了思考：（1）空間向量的實(shí)數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算是怎么定義的？（2）空間向量及運(yùn)算能用空間坐標(biāo)系表示嗎？（3）平面向量幫助我們解決平面幾何問(wèn)題，那空間向量呢？作業(yè)布置AMCGDB

空間向量知識(shí)在中學(xué)有著非常重要的地位和教育價(jià)值，它的工具性特點(diǎn)在數(shù)學(xué)的許多分支中都有體現(xiàn)，它還為同學(xué)們以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，能夠解決高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程《高等幾何》、《初等幾何研究》、《空間解析幾何》和《初等代數(shù)研究》中的許多問(wèn)題，在解決的過(guò)程中空間向量的思想滲透的很廣泛！它不僅只在數(shù)學(xué)中解決幾何問(wèn)題有廣泛的運(yùn)用，在物理學(xué)，工程科學(xué)，地理學(xué)等方面也有著廣泛的應(yīng)用。

在中