(1.4)-線性規(guī)劃運籌學(xué)應(yīng)用舉例

8.應(yīng)用舉例例13.線材切割問題（一維切割）要做100套鋼架，每套用長2.9m、2.1m和1.5m的元鋼各一根。已知原料長7.4m，應(yīng)如何下料，使用的原料最省。分析：若在每根原料上截取長2.9m、2.1m和1.5m的元鋼各一根組成一套，需用100根原料，每根浪費0.9m，總計浪費90m。若改為套裁，可能會節(jié)約原料，考慮下面5種套裁方案：IIIIIIIVV2.9m120102.1m002211.5m31203料頭(m)00.10.20.30.8設(shè)按方案I、II、III、IV、V下料的根數(shù)為x1、x2、x3、x4、x5，則注：由于不知道按給定的下料方案能否組合出需要的各種元鋼的準(zhǔn)確根數(shù)，建立約束時應(yīng)允許產(chǎn)生比需求多的根數(shù)。目標(biāo)：極小化料頭總量，即也可使用另一個目標(biāo)：使需要用的原料根數(shù)最少，即以上兩個目標(biāo)并不等價，為了使它們等價，將第一個目標(biāo)變?yōu)椋浩渲衴1、y2、y3表示生產(chǎn)的各種元鋼比需求多余的根數(shù)。相應(yīng)地，約束條件為注：上述線性規(guī)劃的解可能不是整數(shù)，但是在需求的各種元鋼的數(shù)量都較大時，取整通常對實際結(jié)果影響不大。例14.投入-產(chǎn)出模型線性規(guī)劃在經(jīng)濟領(lǐng)域的第一個應(yīng)用可能是各工業(yè)部門間的平衡或投入-產(chǎn)出分析。該模型最早由美國經(jīng)濟學(xué)家Leontief于1932年提出?？紤]一個經(jīng)濟實體，劃分為鐵道、鋼鐵、能源三個基本部門和包括所有其它工業(yè)的第四個部門，在某個時期內(nèi)，各部門間的相互銷售關(guān)系可以用一張投入-產(chǎn)出表概括：

鐵道鋼鐵能源其它最終需求總產(chǎn)出鐵道x11x12x13x14d1x1鋼鐵x21x22x23x24d2x2能源x31x32x33x34d3x3其它x41x42x43x44d4x4xi

表示部門i的總產(chǎn)出，xij

表示部門i

對部門j的銷售，di

為對部門i的最終需求，注：最終需求包括不重新進入生產(chǎn)過程的最終產(chǎn)品和服務(wù)，以及對本經(jīng)濟體以外的銷售。則有以下基本關(guān)系：部門j的每單位產(chǎn)出需要消費的部門i的產(chǎn)出稱為投入-產(chǎn)出系數(shù)，寫成矩陣形式：所以可以根據(jù)以前的數(shù)據(jù)獲得，應(yīng)有投入-產(chǎn)出分析要求確定生產(chǎn)向量x，使x滿足預(yù)測的最終需求d，實用中，可以采用不同的目標(biāo)函數(shù)，如：設(shè)cj

是部門j每單位產(chǎn)品的利潤，則最大化總利潤為若要最大化某個或某幾個部門的總產(chǎn)出，可以采用注：若對不一定滿足最終需求的解感興趣，約束若各部門的生產(chǎn)能力有限制，可以加上約束這相當(dāng)于求x，滿足約束條件例15.回歸分析已知隨機變量p是隨機