結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法(一次二階矩)課件

southwestjIaotongunIversIty西南交通大學(xué)SouthwestJiaotongUniversity《隧道與地下結(jié)構(gòu)可靠度》課程第三講結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法龔倫副教授south1主要內(nèi)容基本概念一次二階矩理論的中心點(diǎn)法一次二階矩理論的驗(yàn)算點(diǎn)法(JC法)映射變換法實(shí)用分析法主要內(nèi)容基本概念2

southwestjIaotongwnIversIty一、基本概念西南交通大學(xué)SouthwestJiaotongUniversitysouth3現(xiàn)代的結(jié)構(gòu)可靠度理論是以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，要解決的中心問題是圍繞著怎樣描述和分析可靠度，以及研究影響可靠度各基本變量的概率模型。1、解決的問題現(xiàn)代的結(jié)構(gòu)可靠度理論是以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，4結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法分精確法和近似法兩種。精確法：求解結(jié)構(gòu)的失效概率pf的方法，通常稱為全概率法；近似法：一次二階矩計(jì)算方法等，雖然是近似的，但仍屬概率法。2、計(jì)算方法結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法分精確法和近似法兩種。2、計(jì)算方法5結(jié)構(gòu)功能函數(shù)大多是非線性函數(shù)，且非線性不是很強(qiáng)的條件下，但又不能直接精確積分計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的可靠度，而通過計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)，近似得到結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算方法。在通常情況下，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的一階矩(均值)和二階矩(方差)較容易得到，故稱之為一次二階矩法。3、一次二階矩法結(jié)構(gòu)功能函數(shù)大多是非線性函數(shù)，且非線性不是很強(qiáng)的條件下，但又6一次二階矩法是一種在隨機(jī)變量的分布尚不清楚時，采用均值和標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)模型，求解結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)、結(jié)構(gòu)可靠度的方法。該法將功能函數(shù)在某點(diǎn)用泰勒級數(shù)展開，使之線性化，然后求解結(jié)構(gòu)的可靠度，因此稱為一次二階矩。一次二階矩法是一種在隨機(jī)變量的分布尚不清楚時，采用均值和標(biāo)準(zhǔn)7

southwestjIaotongwnIversIty二、一次二階矩理論的中心點(diǎn)法西南交通大學(xué)SouthwestJiaotongUniversitysouth8中心點(diǎn)法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的一種方法。其基本思想：首先，將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值(中心點(diǎn))處作泰勒級數(shù)展開，并保留至一次項(xiàng)；然后，近似計(jì)算功能函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。1、一次二階矩中心點(diǎn)法中心點(diǎn)法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的一種方法。1、一次二階矩中9設(shè)X1,X2,…,Xn是結(jié)構(gòu)中n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其平均值為,標(biāo)準(zhǔn)差為,功能函數(shù)將功能函數(shù)Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)處展開且保留至一次項(xiàng)，即(3-1)2、推導(dǎo)過程設(shè)X1,X2,…,Xn是結(jié)構(gòu)中n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其平均10ZL平均值和方差為：(3-2)ZL平均值和方差為：11結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為(3-3)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為12可靠指標(biāo)β的幾何意義是什么？證明如下功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開至一次項(xiàng)，即(3-4)假定正態(tài)變換，即：(3-5)3、幾何意義可靠指標(biāo)β的幾何意義是什么？證明如下3、幾何意義13將(3-5)式代入(3-4)式，得

(3-6)(3-6)式為一個超平面方程，點(diǎn)P*(μX1,μX2,…μXn)到平面的距離為：(3-7)將(3-5)式代入(3-4)式，得(3-6)式為一個超平14中心點(diǎn)法驗(yàn)算點(diǎn)法極限方程曲面可靠區(qū)均值點(diǎn)顯然，點(diǎn)P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距離d，就是所求的可靠指標(biāo)值β，兩者是相等的。P*中心點(diǎn)法驗(yàn)算點(diǎn)法極限方程曲面可靠區(qū)均值點(diǎn)顯然，點(diǎn)P*(μX115優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便。缺點(diǎn)：對于非線性功能函數(shù)，均值點(diǎn)一般在可靠區(qū)內(nèi)，而不在極限邊界上；選擇不同極限狀態(tài)方程（數(shù)學(xué)表達(dá)式不同，同樣物理含義），得到的可靠指標(biāo)不同。例如：p30例3-1。適用條件：結(jié)果比較粗糙，適用于可靠度要求不高的情況，如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)的可靠度分析。4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡便。4、優(yōu)缺點(diǎn)16[例題1]設(shè)X1,X2,…,Xn是結(jié)構(gòu)中n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其平均值為μxi（i=1,2,…,n)，標(biāo)準(zhǔn)差為σxi(i=1,2,…,n)，功能函數(shù)Z=g(X1,X2,…,Xn)。求結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β？[解]將功能函數(shù)Z在隨機(jī)變量的平均值處泰勒級數(shù)展開，且保留一次項(xiàng)，即5、舉例[例題1]設(shè)X1,X2,…,Xn是結(jié)構(gòu)中n個相互獨(dú)立的隨機(jī)17ZL的平均值和方差為：結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為：ZL的平均值和方差為：18[例題2]某結(jié)構(gòu)構(gòu)件正截面強(qiáng)度的功能函數(shù)為Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服從對數(shù)正態(tài)分布，μR=100kNm，δR=0.12；荷載效應(yīng)S服從極值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。試用中心點(diǎn)法求結(jié)構(gòu)失效概率Pf?[解]：[例題2]某結(jié)構(gòu)構(gòu)件正截面強(qiáng)度的功能函數(shù)為Z＝g(R,S)19結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)結(jié)構(gòu)失效概率結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)20

southwestjIaotongwnIversIty三、一次二階矩理論的驗(yàn)算點(diǎn)法西南交通大學(xué)SouthwestJiaotongUniversitysouth21JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler,Paloheimo和Hannus等人提出的驗(yàn)算點(diǎn)法。適用于隨機(jī)變量為非正態(tài)分布的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算。通俗易懂，計(jì)算精度又能滿足工程實(shí)際需要。國際結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員會(JCSS)推薦使用，故稱為JC法。我國《建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GBJ68-84)》和《鐵路工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GB50216-94)》中都規(guī)定采用JC法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算。1、驗(yàn)算點(diǎn)法（JC法）JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fi22將P*（X*1,X*2,…,X*n)定義為驗(yàn)算點(diǎn)（設(shè)計(jì)點(diǎn)），故稱之為驗(yàn)算點(diǎn)法。又因?yàn)槭窃谥行狞c(diǎn)法的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，故稱為一次二階矩的改進(jìn)方法。數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程如下：設(shè)X1,X2,…,Xn(i=1,2,,n)為基本變量，且相互獨(dú)立，則極限狀態(tài)功能函數(shù)方程為：(3-8)將極限方程用泰勒級數(shù)在P*（X*1,X*2,…,X*n)點(diǎn)上展開，取一次項(xiàng)，可得極限方程為：(3-9)2、推導(dǎo)過程將P*（X*1,X*2,…,X*n)定義為驗(yàn)算點(diǎn)（設(shè)計(jì)點(diǎn)），23設(shè)(3-10)有(3-11)將(3-11)代入(3-9)，得(3-12)設(shè)24Z的平均值為：

(3-13)驗(yàn)算點(diǎn)在極限邊界上，即又(3-14)將(3-14)代入(3-13)，得(3-15)2.1按定義推導(dǎo)Z的平均值為：2.1按定義推導(dǎo)25Z的標(biāo)準(zhǔn)差σZ為：(3-16)則可靠指標(biāo)β為：(3-17)Z的標(biāo)準(zhǔn)差σZ為：26隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，即(3-18)其中：(3-19)隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，即27由(3-12)，得(3-19)此為超平面方程，均值點(diǎn)P(μX1,μX2,…,μXn)到超平面的距離d為：(3-20)2.2按幾何意義推導(dǎo)由(3-12)，得2.2按幾何意義推導(dǎo)28各變量的方向余弦為：(3-21)顯然，兩種方法得到的結(jié)果是一致的。各變量的方向余弦為：29將(3-8)與(3-18)聯(lián)立，求得β和各變量值，再代入到(3-8)和(3-18)，且聯(lián)立求解，得到新的一組β和各變量值。直到滿足下式為止，即(3-22)迭代結(jié)束，計(jì)算完成。2.3迭代過程將(3-8)與(3-18)聯(lián)立，求得β和各變量值，再代入到(30兩個隨機(jī)變量為正態(tài)分布時，其極限方程為

標(biāo)準(zhǔn)化變換極限狀態(tài)方程變?yōu)?3-23)(3-24)(3-25)3、正態(tài)分布時的推導(dǎo)過程兩個隨機(jī)變量為正態(tài)分布時，其極限方程為標(biāo)準(zhǔn)化變換極限狀態(tài)方程31式中將(3-25)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)法線式直線方程(3-26)(3-27)式中將(3-25)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)法線式直線方程(3-26)(3-232是坐標(biāo)系中原點(diǎn)到極限狀態(tài)直線的距離(其中P*為垂足)。在驗(yàn)算點(diǎn)法中，的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為求的長度。是坐標(biāo)系中原點(diǎn)到極限狀態(tài)直線33兩個正態(tài)隨機(jī)變量的極限狀態(tài)方程和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)兩個正態(tài)隨機(jī)變量的極限狀態(tài)方程和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)34非正態(tài)分布時，可采取以下三種方法：當(dāng)量正態(tài)化法（JC法）映射變換法實(shí)用分析法JC法為當(dāng)量正態(tài)化法，將原來非正態(tài)分布隨機(jī)變量Xi用等效正態(tài)分布代替，要求滿足以下2個條件：原函數(shù)值F(xi*)與當(dāng)量正態(tài)函數(shù)值F’(xi*)相等原概率密度值f(xi*)與當(dāng)量正態(tài)分布概率密度值f’(xi*)相等4、非正態(tài)分布時非正態(tài)分布時，可采取以下三種方法：4、非正態(tài)分布時35JC法的等效正態(tài)分布圖原分布FXi(xi*),fXi(xi*)等效正態(tài)分布F’Xi(xi*),f’Xi(xi*)OJC法的等效正態(tài)分布圖原分布等效正態(tài)分布F’Xi(xi*),36條件(1)和(2)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-20)(3-21)由(3-20)，得(3-22)由(3-21)，得(3-23)4.1當(dāng)量正態(tài)化法-JC法條件(1)和(2)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為4.1當(dāng)量正態(tài)化法-J37由(3-22)，得(3-24)將(3-24)代入(3-23)，得(3-25)由(3-24)和(3-25)，得(3-26)由(3-22)，得38將(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)進(jìn)行迭代計(jì)算，就可求解隨機(jī)變量非正態(tài)分布的可靠度問題。顯然，JC法通過當(dāng)量變換，使得非正態(tài)分布的隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布要求，進(jìn)而應(yīng)用滿足正態(tài)分布的方法進(jìn)行迭代計(jì)算，求解非正態(tài)分布隨機(jī)變量的可靠度問題。將(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)進(jìn)39李云貴(1993)提出映射變換法。具體數(shù)學(xué)過程如下：設(shè)結(jié)構(gòu)中的n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量為X1,X2,…,Xn，其概率分布函數(shù)為Fi(xi)(i=1,2,…,n)，概率密度函數(shù)為fi(xi)(i=1,2,…,n)，極限狀態(tài)方程為Zx=g(X1,X2,…,Xn)=0(3-27)映射變換(3-28)則(3-29)4.2映射變換法李云貴(1993)提出映射變換法。具體數(shù)學(xué)過程如下：4.240將(3-29)代入(3-27)，得(3-30)由于Yi是一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，則(3-31)于是(3-32)(3-33)(3-34)將(3-29)代入(3-27)，得41其中：(3-35)對于常用的幾種概率(1)Xi服從正態(tài)分布(3-36)(2)Xi服從對數(shù)正態(tài)分布(3-37)其中：42(3)Xi服從極值I型分布(3-38)式中，(3)Xi服從極值I型分布43Paloheimo和Hannus(1972)在赫爾辛基工程力學(xué)學(xué)術(shù)討論會提出了分位值法。有的著作中是中國鐵科院姚明初(1993)提出的分位值法。本文認(rèn)為仍然是Paloheimo和Hannus(1972)提出的。所謂分位值法就是映射變換法的另一種表述。n個獨(dú)立隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn，結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程為(3-39)映射變換(3-40)則有(3-41)4.3分位值法Paloheimo和Hannus(1972)在赫爾辛基工程力44將(3-39)在點(diǎn)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開且保留一次項(xiàng)，即：(3-42)于是有(3-43)其中將(3-39)在45(3-44)是基本變量對應(yīng)分位概率為的分位值。(3-45)各變量的“分項(xiàng)可靠指標(biāo)”可用(3-45)求解得到。于是得到“設(shè)計(jì)值”，即(3-46)變量Xi的“設(shè)計(jì)值”與變量Xi的標(biāo)準(zhǔn)值Xik之比定義為分項(xiàng)系數(shù)，即(3-47)變量Xi的“設(shè)計(jì)值”與變量Xi的標(biāo)準(zhǔn)值Xik之比46JC法------舉例[例題]已知極限狀態(tài)方程：(1)(2)隨機(jī)變量f，W均服從正態(tài)分布，μf=38，δf=0.1；μW=54，δW=0.05，求：兩個極限狀態(tài)方程條件下的β及f和W的驗(yàn)算點(diǎn)之值f*，W*。[解]1.首先求(1)式條件下的β及f和W的驗(yàn)算點(diǎn)之值f