重積分的應用課件

柱面坐標系球面坐標系重積分計算的基本方法——累次積分法1柱面坐標系球面坐標系重積分計算的基本方法——累次積分法1第六節(jié)一、平面圖形的面積及立體體積

二、曲面的面積

三、物體的重心

四、物體的轉動慣量五、物體的引力重積分的應用2第六節(jié)一、平面圖形的面積及立體體積二、曲面的面積三、物體解：所求立體的體積為3解：所求立體的體積為3解：另解：1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性.分布在有界閉域上的整體量.2.用重積分解決問題的方法-----元素法問題：滿足什么條件的量可用重積分解決？4解：另解：1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)元素法的步驟：把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.元素法也可推廣到三重積分上5元素法的步驟：把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.元素法設曲面S的方程為曲面S在xoy面上的投影為區(qū)域D，如圖，設小區(qū)域點(x,y)為S上過點M(x,y,z)的切平面，以的邊界為準線，母線平行于z軸的小柱面，截曲面S為截切平面為則有則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.6設曲面S的方程為曲面S在xoy面上的投影為區(qū)------曲面S的面積元素因為為在xoy面上的投影，則有7------曲面S的面積元素因為為在xoy面上的投影，則有7ab8ab8３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得曲面面積公式為：即１．設曲面的方程為：

9３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面xzy解：xoy例1.求球面，含在圓柱體內部的那部分面積.曲面方程：由對稱性知：,10xzy解：xoy例1.求球面，含在圓柱體內部的那部分面積xoy面積為：11xoy面積為：11二、重心設密度函數(shù)為的空間物體

V，在

V上連續(xù).為求得

V的重心坐標,先對

V作分割

T,

是小塊的質量可用近似代替,若

把每一塊看作質量集中在的質點時,整個物體就可用這

n個質點的質點系來近似代替.由于質點系的重心坐標公式為在屬于

T的每一小塊上任取一點于12二、重心設密度函數(shù)為的空間物體V，在V上連1313的重心坐標:當物體

V的密度均勻分布時,即為常數(shù)時，則有當自然地可把它們的極限定義作為

V14的重心坐標:當物體V的密度均勻分布時,同樣可以得到,密度函數(shù)為的平面薄板

D的

重心坐標:當為常數(shù)時，則有15同樣可以得到,密度函數(shù)為的平面薄板D的重心坐標:例2求密度均勻的上半橢球體的重心.解設橢球體由表示.借助對又由為常數(shù),所以稱性知道故得即求得上半橢球體的重心坐標為16例2求密度均勻的上半橢球體的重心.解因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,

故連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算.17因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,故連續(xù)體的轉得：18得：18例3.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑的轉動慣量.解:

建立坐標系如圖,半圓薄片的質量19例3.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑的轉動慣量.解:202021212222G

為引力常數(shù)推廣到空間立體

：設物體占有空間區(qū)域,物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,其密度函數(shù)23G為引力常數(shù)推廣到空間立體：設物體占有空間區(qū)域,物曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計算三代一定二代一定(與方向有關)24曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計三與路徑無關的四個等價命題條件等價命題(1)在G內與路徑無關，(4)在G內存在u(x,y),使(3)在G內，(2)使閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則以下四個命題成立.25與路徑無關的四個等價命題條件等(1)在G內與路徑無關，(4)1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式261.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與第二類曲線積分27第二類曲線積分27計算中涉及的有關公式1.兩類曲線積分的幾何意義閉區(qū)域D的面積28計算中涉及的有關公式1.兩類曲線積分的幾何意義閉區(qū)域D的面積4.曲線積分，其中是沿逆時針方向一周.3.設L為從點(1,1)到點(0,