2023年教師招聘考試《學(xué)科專業(yè)知識(shí)·中學(xué)數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)全書【核心講義＋歷年真題詳解】

第一部分核心講義模塊一學(xué)科知識(shí)第1章數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)（上）1.1考綱解讀1．準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運(yùn)算，并能夠利用這些知識(shí)去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問(wèn)題。2．理解高中數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握高中數(shù)學(xué)中的重要公式、定理、法則等知識(shí)。3．掌握中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的思想方法，具有空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力以及綜合運(yùn)用能力。1.2核心講義一、函數(shù)概念及其性質(zhì)（一）中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中函數(shù)概念形成的基本脈絡(luò)1．量、數(shù)量與數(shù)（1）數(shù)、量、圖、數(shù)據(jù)（一批數(shù)）是引導(dǎo)兒童進(jìn)入數(shù)學(xué)的源泉。（2）映射f是集合A到集合B的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素a，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中有惟一元素f（a）與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)f稱為映射。（3）函數(shù)是實(shí)數(shù)集合到實(shí)數(shù)集合的映射。對(duì)函數(shù)與映射的認(rèn)識(shí)與理解是相輔相成的。2．量與單位（1）“量”指一般意義的量，不僅包括前面討論的離散的量，也包括如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、溫度、電阻等，同種量可相互比較大小。（2）“單位”是度量“量”大小的出發(fā)點(diǎn)，對(duì)于一個(gè)量確定了一種單位，就建立了這種量與實(shí)數(shù)（整數(shù)、自然數(shù)）的一個(gè)映射——一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。3．建立量與量的關(guān)系—小學(xué)數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本模型（1）兩個(gè)基本模型：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間。（2）這兩個(gè)模型一個(gè)是離散的經(jīng)濟(jì)模型，一個(gè)是連續(xù)的物理模型，在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，它們?nèi)匀皇腔镜哪Ｐ汀?．正、反比例關(guān)系——關(guān)系概念的形成從具體到抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，通過(guò)對(duì)實(shí)際的模型，抽象反映出一般的量與量的反比例關(guān)系，初步形成量與量之間關(guān)系概念，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)起著十分重要的作用。5．常量與變量（1）常量在具體的情境中，有些量是不變的，例如，在勻速運(yùn)動(dòng)中，速度是不變的，通常把這種量稱為常量。（2）變量有些量可以取不同的數(shù)值，是變化的，通常稱為變量。6．變量之間的依賴關(guān)系——函數(shù)概念及圖像（1）在一些情境中，可以有很多變量，有些變量之間存在著依賴關(guān)系。（2）一個(gè)變量的變化引起另一個(gè)變量的變化，把這種具有相互依賴的變量關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。（3）變量與變量之間的依賴關(guān)系，揭示了函數(shù)的本質(zhì)，即反映函數(shù)是描述變化的。7．函數(shù)模型初步——幾類重要的函數(shù)（1）正比例函數(shù)；（2）一次函數(shù)（線性函數(shù)）；（3）反比例函數(shù)；（4）一元二次函數(shù)；（5）簡(jiǎn)單分段函數(shù)。8．函數(shù)概念的再認(rèn)識(shí)——三個(gè)維度（1）變化角度——變量關(guān)系；（2）整體角度——函數(shù)圖像；（3）映射角度——建立兩類事物間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。9．函數(shù)模型的再認(rèn)識(shí)——基本初等函數(shù)簡(jiǎn)單冪函數(shù)（特別是整數(shù)冪函數(shù)）、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)是基本函數(shù)，又稱為基本初等函數(shù)。10．函數(shù)應(yīng)用（1）應(yīng)用領(lǐng)域①在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題方面的應(yīng)用。②用函數(shù)思想解決其他學(xué)科問(wèn)題，如物理、化學(xué)、生物中的問(wèn)題。（2）用函數(shù)解決問(wèn)題時(shí)的三個(gè)基本層次①能用學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)描述問(wèn)題；②用學(xué)過(guò)的函數(shù)模型直接解決問(wèn)題；③經(jīng)歷使用函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想和基本過(guò)程。（二）認(rèn)識(shí)函數(shù)概念的三個(gè)維度1．變化角度——變量關(guān)系這種變量之間的依賴關(guān)系具有一個(gè)突出的特征，即當(dāng)一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，依賴于這個(gè)變量的另一個(gè)變量有惟一確定的值。2．整體角度——函數(shù)圖像（1）函數(shù)關(guān)系是平面上點(diǎn)的集合，又可以看作平面上的一個(gè)“圖形”。研究函數(shù)就是研究曲線的性質(zhì)，研究曲線的變化。（2）在討論函數(shù)問(wèn)題時(shí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫函數(shù)圖像習(xí)慣，并且用函數(shù)圖像思考問(wèn)題。3．映射角度——對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對(duì)象的橋梁，即通常說(shuō)的映射關(guān)系。（2）這是用映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)，它反映兩個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系，在兩個(gè)數(shù)集之間架起了一座橋梁。（三）函數(shù)的基本性質(zhì)1．單調(diào)性單調(diào)性是中學(xué)最重要的函數(shù)性質(zhì)。（1）第一階段依函數(shù)圖像直觀地感受單調(diào)性，理解單調(diào)性的定義及在研究函數(shù)中的作用。（2）第二階段①理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系；②用單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。2．周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。在高中數(shù)學(xué)課程中，只討論基本的具體三角函數(shù)的周期性，例如，正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。3．對(duì)稱性（奇偶性）（1）對(duì)稱性是反映函數(shù)特點(diǎn)的基本性質(zhì)。（2）偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的。（3）奇函數(shù)的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。4．函數(shù)性質(zhì)的綜合認(rèn)識(shí)（1）函數(shù)的學(xué)習(xí)一定要在頭腦中建立起幾個(gè)重要的模型。（2）函數(shù)的教學(xué)一定要突出函數(shù)圖形的地位。（3）函數(shù)是刻畫客觀世界的一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型。（4）在學(xué)習(xí)與函數(shù)知識(shí)有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，理解函數(shù)思想。二、基本初等函數(shù)及函數(shù)的分類（一）基本初等函數(shù)1．冪函數(shù)和整數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)是基本初等函數(shù)，在冪函數(shù)中，最重要的是整數(shù)冪函數(shù)，以及由它們拓展的多項(xiàng)式函數(shù)，即。（1）微分在微積分的學(xué)習(xí)中，微分是最重要的概念之一。①微分是一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)的線性主部，線性主部就是一個(gè)一次函數(shù)（線性函數(shù)），即，一方面，函數(shù)的微分dy與自變量的改變量（也稱為自變量微分）成正比例，其中比例系數(shù)k是這一點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。②函數(shù)的微分dy與函數(shù)的改變量之差是自變量微分dx的高階無(wú)窮小，即函數(shù)的微分dy可以近似表示函數(shù)的變化，稱之為“以直代曲”。（2）“好函數(shù)”①在微積分學(xué)習(xí)中，研究的主要函數(shù)類是具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，稱之為“好函數(shù)”。②冪函數(shù)以及所有基本初等函數(shù)都是“好函數(shù)”，并且，初等函數(shù)拓展的所有初等函數(shù)也都是“好函數(shù)”，整數(shù)冪函數(shù)對(duì)研究“好函數(shù)”有重要作用。2．指數(shù)爆炸——指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)本身都是重要的函數(shù)，在刻畫自然規(guī)律時(shí)，它們是用得最多的函數(shù)，也是最基本的函數(shù)；同時(shí)，它們是“好函數(shù)”，它們具有任意階導(dǎo)數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在描述變化快慢發(fā)揮著基本作用。3．周期變化——三角函數(shù)（1）三角函數(shù)也是最基本的周期函數(shù)，可以幫助學(xué)生更好地理解周期函數(shù)；（2）三角函數(shù)也都是好的函數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)；（3）三角函數(shù)的代數(shù)和可以用來(lái)表示更多的函數(shù)。（二）運(yùn)算與初等函數(shù)1．四則運(yùn)算與初等函數(shù)根據(jù)函數(shù)的定義，y=f（x）±g（x）、y=f（x）g（x）、y=（g（x）≠0）還是函數(shù)。2．函數(shù)復(fù)合與初等函數(shù)（1）設(shè)有兩個(gè)函數(shù)y=f（u），u=g（x），它們的定義域分別是D和E；它們的值域分別是f（D）和g（E），記D*=g（E）∩D，若D*≠，則記E*=g-1（D*）；（2）通過(guò)函數(shù)f可以在f（D）內(nèi)找到y(tǒng)=f（u），將所有這樣的f（u）記為f（D*）。這就確定了一個(gè)定義在E*上的函數(shù)，記作y=（fg）（x），x∈E*，即y=（fg）（x）=f（g（x）），x∈E*，稱之為函數(shù)，和g的復(fù)合函數(shù)。（3）圖1-1-l表示兩個(gè)函數(shù)是如何構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)的。3．反函數(shù)與初等函數(shù)（1）反函數(shù)的定義①若y=f（x）是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)镈，值域?yàn)?，設(shè)E*為值域。②f（D）的一個(gè)子集，且對(duì)任意y∈E*，在D中有惟一的x滿足y=f（x），可以根據(jù)y=f（x）得到一個(gè)新的函數(shù)，記作，稱它為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)反函數(shù)，它的定義域是E*，值域是。③如果，通常把稱作y=f（x）的反函數(shù)。（2）對(duì)于連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，有反函數(shù)的充分必要條件是：是嚴(yán)格單調(diào)的。4．有限次運(yùn)算與初等函數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)是構(gòu)造新的函數(shù)的手段，這些手段稱為構(gòu)造新的函數(shù)運(yùn)算，基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算得到的新函數(shù)類稱之為初等函數(shù)。（三）極限與一般函數(shù)1．極限的各種形式（1）數(shù)列極限①數(shù)列與一個(gè)實(shí)數(shù)的關(guān)系：設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)。②若對(duì)任給的定數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作，或（n+∞），讀作“當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，的極限等于或趨于”。③從數(shù)列極限的定義中可知，一個(gè)收斂的數(shù)列可以與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)，通過(guò)一個(gè)數(shù)列就可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，如果把數(shù)列中的數(shù)換成函數(shù)，就可以利用同樣的方法構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)。（2）導(dǎo)數(shù)——特殊的極限①對(duì)于函數(shù)y=f（x），是定義區(qū)間中的一點(diǎn)，存在一個(gè)數(shù)A，對(duì)于任意ε>0，存在>0，對(duì)定義區(qū)間I中的任意一點(diǎn)x，令，當(dāng)0<<時(shí)，若有，則稱y=f（x）在處可導(dǎo)，并稱A為y=f（x）在處的導(dǎo)數(shù)，通常記作。②若函數(shù)y=f（x）在某一區(qū)間上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱y=f（x）在該區(qū)間上可導(dǎo)。③對(duì)每一個(gè)x∈I，都有y=f（x）的一個(gè)導(dǎo)數(shù)（或單側(cè)導(dǎo)數(shù)）與之對(duì)應(yīng)，這樣就定義了一個(gè)在上的函數(shù)，稱為y=f（x）在上的導(dǎo)函數(shù)，記作。（3）定積分——特殊的極限設(shè)y=f（x）是定義在[a，b]上的有界函數(shù)，存在實(shí)數(shù)A，對(duì)于任意>0，存在>0，在[a，b]上任意取分點(diǎn)，作成一種劃分P：，并任意取點(diǎn)，區(qū)間的長(zhǎng)度記作，并令，當(dāng)時(shí)，有，則稱在[a，b]上黎曼可積的公式稱為黎曼和，其極限值A(chǔ)稱為f（x）在[a，b]上的定積分，記為。（4）級(jí)數(shù)①設(shè)，，…，，…是無(wú)窮可列個(gè)實(shí)數(shù)，稱它們的“和”++…++…為無(wú)窮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），記為，其中為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)。②由于無(wú)法直接對(duì)無(wú)窮多個(gè)實(shí)數(shù)逐一地進(jìn)行加法運(yùn)算，所以必須對(duì)上述的級(jí)數(shù)求和給出合理的定義，為此作級(jí)數(shù)的“部分和數(shù)列”，。這樣當(dāng)時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就決定了一個(gè)實(shí)數(shù)。2．從有限到無(wú)限認(rèn)識(shí)極限的基本角度：（1）數(shù)列和級(jí)數(shù)本質(zhì)上是等價(jià)的；（2）用極限來(lái)構(gòu)造新的函數(shù)實(shí)際上是對(duì)函數(shù)進(jìn)行無(wú)限次運(yùn)算。3．用極限構(gòu)造新函數(shù)（1）通過(guò)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造新的函數(shù)。（2）通過(guò)定積分運(yùn)算構(gòu)造新的函數(shù)。（3）通過(guò)求級(jí)數(shù)構(gòu)造新的函數(shù)。綜上所述，求導(dǎo)、積分以及求級(jí)數(shù)都是構(gòu)造新函數(shù)的方法，是拓展函數(shù)研究范圍的手段。三、數(shù)列（一）數(shù)列在數(shù)學(xué)與實(shí)際中的作用數(shù)列是解決日常經(jīng)濟(jì)生活問(wèn)題的基本模型，是特殊的函數(shù)—研究一般函數(shù)的工具，數(shù)列與遞推存在密切關(guān)系。（二）數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的定位在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該關(guān)注：用等差、等比數(shù)列討論日常生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題；用數(shù)列來(lái)提高學(xué)生的運(yùn)算能力；初步了解數(shù)列是特殊的函數(shù)及作用。（三）數(shù)列與差分方程1．等差數(shù)列再認(rèn)識(shí)（1）數(shù)列相鄰項(xiàng)的差，稱為數(shù)列的差分。一般地，對(duì)任何n有，把制造新數(shù)列稱為一個(gè)算子。（2）原來(lái)的數(shù)列為，構(gòu)成的新數(shù)列用表示，稱為一階差分，記為=。（3）在一階差分的基礎(chǔ)上，用算子還可以得到新數(shù)列，記為，稱之為數(shù)列的二階差分；同理，還可以得到三階差分以及k階差分，分別記為和。（4）從差分的角度看，等差數(shù)列就是一階差分為常數(shù)，二階差分為0的數(shù)列。2．?dāng)?shù)列與差分（1）學(xué)習(xí)數(shù)列的益處數(shù)列是函數(shù)的離散形式，差分是微分的離散形式，有助于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與微分，有助于學(xué)習(xí)微分方程等知識(shí)。（2）學(xué)習(xí)差分的益處學(xué)習(xí)差分有助于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列，可以利用一階差分和二階差分的符號(hào)來(lái)判斷數(shù)列的增減、凹凸。3．差分方程——一階線性差分方程（1）含有未知數(shù)列和它的一階差分的等式，稱為一階差分方程。（2）如果這個(gè)方程里面只含有未知數(shù)列和未知數(shù)列的一階差分的一次項(xiàng)，稱作一階線性差分方程。記作。①=0時(shí)，稱為一階線性齊次差分方程；②≠0時(shí)，稱為一階線性非齊次差分方程。③當(dāng)=0時(shí)，數(shù)列就是等差數(shù)列；=0時(shí)，數(shù)列就是等比數(shù)列。4．一階線性差分方程求解對(duì)于一階線性差分方程，滿足差分方程的數(shù)列稱為該差分方程的解。（1）一階線性齊次差分方程的通解①一階線性齊次差分方程的解就是一個(gè)滿足上述差分方程的數(shù)列。②數(shù)列稱作一階線性齊次差分方程的通解，其中可以取任何值。當(dāng)不為0時(shí)這個(gè)數(shù)列是個(gè)等比數(shù)列。（2）一階線性非齊次差分方程的特解對(duì)一階差分方程，①=0時(shí)，方程變?yōu)椋?，即，這是一個(gè)等差數(shù)列，因此，它的通解為：。②當(dāng)b≠0且≠0時(shí)，對(duì)于一階非齊次差分方程，如果初值為，可以用迭代的方法求解，數(shù)列：這個(gè)數(shù)列就是方程的一個(gè)特解。③給定不同的初始值，就可以得到方程的不同特解。（3）一階線性非齊次差分方程的通解它的通解可以表示為：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與該方程的一個(gè)特解之和。5．迭代法（略）四、導(dǎo)數(shù)和積分（一）導(dǎo)數(shù)的意義在數(shù)學(xué)中，函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化。導(dǎo)數(shù)能夠定量的體現(xiàn)函數(shù)的變化，為學(xué)生研究函數(shù)提供了一種新的工具。（二）積分的意義積分是用來(lái)刻畫“求和”的基本概念。它主要是為定義和計(jì)算長(zhǎng)度、面積、體積等提供一套通用的方法：劃分→取點(diǎn)→求和→取極限。（三）牛頓一萊布尼茨公式1．定義牛頓一萊布尼茨公式又稱為微積分基本定理，設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，是它在閉區(qū)間[a，b]上的任意一個(gè)原函數(shù)，則有。牛頓一萊布尼茨公式建立了導(dǎo)數(shù)和積分兩者之間的聯(lián)系，使積分成為一門學(xué)科。2．貢獻(xiàn)牛頓和萊布尼茨的偉大就在于找到了一般函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將定積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤瘮?shù)的過(guò)程，也是微積分的本質(zhì)所在。3．對(duì)牛頓—萊布尼茨公式的證明（略）五、研究函數(shù)變化的基本方法（一）研究函數(shù)變化的兩種方法1．代數(shù)單調(diào)性是函數(shù)重要的性質(zhì)之一，反映了函數(shù)的變化。在中學(xué)教學(xué)中通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的變化。2．微積分（導(dǎo)數(shù)）（1）研究導(dǎo)數(shù)是從研究函數(shù)的平均變化轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯亢瘮?shù)的瞬時(shí)變化，即變化率。（2）導(dǎo)數(shù)作為刻畫函數(shù)變化的瞬時(shí)變化率，能夠清楚反映函數(shù)的變化情況。①?gòu)暮瘮?shù)值上看：導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以反映函數(shù)的變化趨勢(shì)（增大或者減?。瑢?dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小可以反映函數(shù)變化的快慢。②從函數(shù)圖像上看：導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以刻畫圖像的走勢(shì)（上升或是下降），導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小可以刻畫圖像走勢(shì)的“陡峭”程度。（二）兩者的差異單調(diào)性是從定性的角度刻畫函數(shù)的變化；導(dǎo)數(shù)是從定量的角度刻畫函數(shù)的變化。（三）兩者的聯(lián)系1．導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系（1）在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于零，則函數(shù)是嚴(yán)格遞增的。（2）如果函數(shù)在每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都小于零，則函數(shù)是嚴(yán)格遞減的。（3）在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，遞增函數(shù)如果有導(dǎo)函數(shù)，那么每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于或等于零。（4）在一個(gè)區(qū)間內(nèi)，遞減函數(shù)如果有導(dǎo)函數(shù)，那么每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)小于或等于零。2．單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在代數(shù)形式及圖形上的聯(lián)系由于函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，因此存在某一點(diǎn)它的導(dǎo)數(shù)（即其處的切線斜率）與割線的斜率相同。六、函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用（一）函數(shù)與方程1．由函數(shù)產(chǎn)生方程對(duì)n元函數(shù)，當(dāng)時(shí)，就產(chǎn)生了n元方程。2．由方程產(chǎn)生函數(shù)（1）對(duì)n元方程，決定了之間存在某種關(guān)系，這種關(guān)系可能是函數(shù)關(guān)系，如果是則這時(shí)可以產(chǎn)生元函數(shù)。（2）在由方程構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程中，有時(shí)可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，有時(shí)不能，這就需要根據(jù)隱函數(shù)存在定理來(lái)判斷。（二）函數(shù)與不等式1．由函數(shù)產(chǎn)生不等式（1）對(duì)n元函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，就產(chǎn)生了n元不等式。（2）函數(shù)決定了不等式，因此也為不等式提供了研究方法。如函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)等，是證明不等式的有力工具。2．利用函數(shù)圖像解不等式（1）函數(shù)的圖像把坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)軸分成若干部分區(qū)域，一部分區(qū)域是使函數(shù)值等于0，即；一部分區(qū)域是使函數(shù)值大于0，即；一部分區(qū)域是使函數(shù)值小于0，即。（2）用函數(shù)的觀點(diǎn)看，就是確定使函數(shù)圖像在軸上方或下方的的區(qū)域。這樣，就可以確定函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)（方程=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來(lái)求解不等式。（三）函數(shù)與線性規(guī)劃解線性規(guī)劃問(wèn)題可歸結(jié)為以下步驟：（1）確定目標(biāo)函數(shù)；（2）分析約束條件；（3）建立不等關(guān)系（不等式組）；（4）根據(jù)不等式組確定目標(biāo)函數(shù)的可行域（目標(biāo)函數(shù)的定義域）；（5）找出可行域邊界上的頂點(diǎn)（因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)和可行域的邊界都是線性的）；（6）求出這些頂點(diǎn)的函數(shù)值；（7）根據(jù)要求，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。（四）函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用函數(shù)應(yīng)用包含有三個(gè)層次：（1）用函數(shù)關(guān)系描述實(shí)際問(wèn)題。（2）用常見(jiàn)的函數(shù)模型直接解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。（3）利用函數(shù)建模。七、大學(xué)分析類數(shù)學(xué)課程（一）基礎(chǔ)課程基礎(chǔ)課程就是數(shù)學(xué)專業(yè)的其他課程都以其為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)課程，其中以數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)和解析幾何為最基本的課程。（二）選修課程選修課程根據(jù)專業(yè)取向而開(kāi)設(shè)的專業(yè)性更強(qiáng)的課程，比如運(yùn)籌學(xué)，矩陣論，數(shù)理邏輯等。八、微積分基礎(chǔ)知識(shí)（一）微積分的產(chǎn)生微積分也稱無(wú)窮小分析，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，主要研究極限，導(dǎo)數(shù)，積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)。它是人類經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期積累和發(fā)展的結(jié)果，特別是17世紀(jì)，由于牛頓和萊布尼茨所做的關(guān)鍵性工作，從而宣布了微積分的最終誕生。（二）微積分的發(fā)展的四個(gè)階段1．1000年之前在這個(gè)階段數(shù)學(xué)的基本計(jì)算和符號(hào)系統(tǒng)逐漸完善，這對(duì)于微積分的成熟是必需的。2．1000年至1600年這是微積分的積累時(shí)期或準(zhǔn)備時(shí)期。3．從1600年至1900年這是微積分的成熟期，形成了數(shù)學(xué)的基本學(xué)科：分析學(xué)。4．由1900年至今可以稱作微積分的深化期，在這個(gè)階段，微積分向著深化的方向發(fā)展。九、數(shù)系的擴(kuò)充與運(yùn)算（一）數(shù)系的擴(kuò)展數(shù)系的擴(kuò)展有兩個(gè)基本動(dòng)力：實(shí)際的需要和運(yùn)算的需要。邏輯上來(lái)說(shuō)，數(shù)系的擴(kuò)展主要經(jīng)歷了從自然數(shù)→分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)→復(fù)數(shù)等。（二）自然數(shù)的意義與運(yùn)算（1）自然數(shù)具有基數(shù)作用，可以刻畫一個(gè)集合元素個(gè)數(shù)的多少。（2）由集合的交、并產(chǎn)生了減法和加法。（3）由集合的包含關(guān)系產(chǎn)生了除法，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。（二）有理數(shù)的意義與運(yùn)算1．有理數(shù)發(fā)展的動(dòng)力（1）實(shí)際的需求。（2）運(yùn)算的需求。2．分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的產(chǎn)生除法運(yùn)算和減法運(yùn)算分別是產(chǎn)生分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的來(lái)源之一。分?jǐn)?shù)可以表示除法的結(jié)果、表示新的單位，表示比值或兩個(gè)量的比。（三）實(shí)數(shù)的意義和運(yùn)算（1）無(wú)理數(shù)的建立使得原來(lái)密密麻麻的直線，變成了光滑的直線，填滿了數(shù)軸上缺少的數(shù)。這樣實(shí)數(shù)體系逐步建立和完善起來(lái)；（2）實(shí)數(shù)的建立極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展，使數(shù)學(xué)變得更加嚴(yán)格，基礎(chǔ)更加牢固。（四）復(fù)數(shù)的意義和運(yùn)算運(yùn)算是分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)產(chǎn)生的動(dòng)力之一，直到建立起完備的實(shí)數(shù)理論之后，盡管曾遭人反對(duì)，但是有了復(fù)數(shù)確實(shí)使得自然界的很多現(xiàn)象能夠得到很好的解釋。十、字母運(yùn)算與常見(jiàn)公式（一）從算術(shù)到代數(shù)看這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)籠子里有雞和兔子共16只，共有52條腿，那么雞和兔子分別有多少只？1．算術(shù)方法這里有三種解決該問(wèn)題的算術(shù)方法：試逼近法；窮舉法；分析法。2．代數(shù)方法（雞兔同籠型解體模型）（二）多項(xiàng)式乘法與二項(xiàng)式定理1．基本公式；；；。2．多項(xiàng)式乘法法則（1）若干個(gè)多項(xiàng)式相乘，它的展開(kāi)式可以由多項(xiàng)式乘法法則確定。（2）展開(kāi)式的一項(xiàng)是由每一個(gè)多項(xiàng)式中的某個(gè)單項(xiàng)式為因子組成的單項(xiàng)式。3．計(jì)算二項(xiàng)式的展開(kāi)式求的展開(kāi)式：（1）展開(kāi)式中的每個(gè)單項(xiàng)式都由若干個(gè)與若干個(gè)相乘得到，和的個(gè)數(shù)的總和為n，形如：（k=0，1，2，3，…，n）；（2）展開(kāi)式中單項(xiàng)式是通過(guò)以下方法得到的：①先從n個(gè)多項(xiàng)式中選出k個(gè)，在這k個(gè)多項(xiàng)式中只取a不取b，在余下的n-k個(gè)多項(xiàng)式中只取b不取a，這樣就得到了；②因?yàn)閺膎個(gè)多項(xiàng)式）中選出k個(gè)的方法總數(shù)就是的同類項(xiàng)的個(gè)數(shù)，記作。（3）展開(kāi)式中有n+1個(gè)不同類型的單項(xiàng)式；（4）根據(jù)上面的討論，可以得到二項(xiàng)式的展開(kāi)式，如下：（k=0，1，2，…，n）。（5）為了簡(jiǎn)化二項(xiàng)式的展開(kāi)式，可以引入新的符號(hào)∑來(lái)表示若干項(xiàng)相加，即：（k=0，1，2，…，n）。（三）多項(xiàng)式除法與余數(shù)定理1．代數(shù)式當(dāng)時(shí)，由上式可以得到以下3個(gè)結(jié)果：（1）可以被整除；（2）是的一個(gè)因式；（3）是的一個(gè)根。2．余數(shù)定理由以上3個(gè)結(jié)果分別可以得到，因此，這3個(gè)結(jié)果是等價(jià)的，即互為充分必要，這就是余數(shù)定理，它是高等代數(shù)中最重要的基本定理。十一、向量（一）向量代數(shù)向量是代數(shù)的研究對(duì)象，向量運(yùn)算是向量的重點(diǎn)內(nèi)容。向量的代數(shù)運(yùn)算大大拓展了運(yùn)算的對(duì)象和結(jié)果。（二）向量幾何1．點(diǎn)、線、面、超平面向量可以描述、刻畫和替代幾何中的基本研究對(duì)象：（1）點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為向量的起點(diǎn)，空間中的點(diǎn)就與向量建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出一點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以用向量=來(lái)刻畫。（2）直線一點(diǎn)和一個(gè)非零向量（作為直線的方向向量）可以惟一確定一條直線，直線通過(guò)這個(gè)點(diǎn)且與給定向量平行。（3）平面一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)非零向量，可以惟一確定一個(gè)平面，平面過(guò)這個(gè)點(diǎn)且與給定向量（平面的法向量）垂直。（4）超平面給出n維空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)和法向量那么超平面內(nèi)任一點(diǎn)M：還滿足：。坐標(biāo)表示為·=0。2．位置關(guān)系和度量關(guān)系（1）關(guān)注幾何中的度量關(guān)系和位置關(guān)系①向量可以刻畫空間中點(diǎn)、線、面之間的基本位置關(guān)系：判斷線線、線面、面面的平行與垂直。②向量也可以刻畫基本的度量關(guān)系：計(jì)算長(zhǎng)度、角度、面積、體積等。（2）用向量解決距離問(wèn)題在高中階段空間幾何中主要的距離問(wèn)題包括六類：①點(diǎn)到直線的距離；②平行直線間的距離；③點(diǎn)到平面的距離；④平行于平面的直線到平面的距離；⑤平行平面的距離；⑥異面直線的距離。（三）向量的物理意義向量具有豐富的物理背景，物理學(xué)研究的基本量之一是矢量，物理中的矢量問(wèn)題都可以通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)解決。（四）向量是搭建幾何、代數(shù)和物理的天然橋梁對(duì)向量的認(rèn)識(shí)要從三個(gè)基點(diǎn)出發(fā)：把它看作代數(shù)的；把它看作幾何的；考慮它的物理背景。（五）向量與代數(shù)結(jié)構(gòu)1．向量（1）二維向量與向量的加法構(gòu)成一個(gè)交換群（R2，+）交換群應(yīng)該滿足以下條件：設(shè)G是一個(gè)非空集合，*是它的一個(gè)（二元）代數(shù)運(yùn)算：①封閉性：群內(nèi)任意兩個(gè)元素或兩個(gè)以上的元素（相同的或不同的）的結(jié)合（積）都是該集合的一個(gè)元素。即若n和是G中的元素，則它們的乘積*也是G中的元素。②結(jié)合律：雖然群元素不一定要求滿足交換律，但必須滿足結(jié)合律，即對(duì)G中任意元素，，都有（*）*=*（*）；③單位元素：集合G內(nèi)存在一個(gè)單位元素，它和集合中任何一個(gè)元素的積都等于該元素本身，即對(duì)于G中每個(gè)元素都有*=；④逆元素：對(duì)G中每個(gè)元素在G中都有元素-1，稱作的左逆元，使-1*=，元素的集合如果滿足上述四個(gè)條件就稱為群。⑤在此基礎(chǔ)上若還滿足交換律，即對(duì)G中任意元素，，都有*=*，非空集合G和其上代數(shù)運(yùn)算*構(gòu)成交換群。（2）向量作為線性空間的實(shí)例①設(shè)是一個(gè)非空集合，是一個(gè)數(shù)域。在集合的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，稱作加法；也就是說(shuō)，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V中任意兩個(gè)元素和，在V中都有惟一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記為=+；②在數(shù)域與集合的元素之間還定義了一種運(yùn)算，稱作數(shù)量乘法，即對(duì)于數(shù)域中任一數(shù)k與中任一元素，在V中都有惟一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記為=k。③如果加法與數(shù)量乘法滿足下述法則，那么V稱為數(shù)域上的線性空間。a．加法滿足的四條規(guī)則第一，+=+；第二，（+）十=+（β+）；第三，在V中有一個(gè)元素0，對(duì)于V中任一元素都有+0=0。具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為V的零元素；第四，對(duì)于V中每一個(gè)元素，都有V中的元素，使得+=0。稱為的負(fù)元素。b．?dāng)?shù)量乘法滿足的兩條法則第一，1·=；第二，。c．?dāng)?shù)量乘法與加法滿足的兩條法則第一，；第二，。所有的二維向量與向量加法構(gòu)成一個(gè)交換群。若再加上實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算；可以構(gòu)成一個(gè)線性空間，記作（R2，R，+，·）。（3）向量也是一個(gè)線性賦范空間的實(shí)例。十二、矩陣與變換（一）矩陣與變換1．幾何變換圖形變換從本質(zhì)上來(lái)講，這些變換都是點(diǎn)（圖形）的移動(dòng)。由于可以用過(guò)原點(diǎn)的向量來(lái)刻畫平面上的點(diǎn)，因此，平面上點(diǎn)的變換也是平面上向量的變換。2．用矩陣刻畫幾何變換（1）二階矩陣作用在一個(gè)向量上可以得到一個(gè)新的向量。（2）二階矩陣把平面上的每一個(gè)點(diǎn)都變成惟一的點(diǎn)。它是平面到平面的映射。等價(jià)地，它是平面向量到平面向量的映射。@@@（3）用矩陣來(lái)刻畫人們熟悉的幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉(zhuǎn)、投影等。3．矩陣的積（1）連續(xù)實(shí)施兩個(gè)線性變換相當(dāng)于一個(gè)新的線性變換，這就是變換的復(fù)合（合成）。（2）當(dāng)連續(xù)實(shí)施一系列變換時(shí)，改變變換的次序?qū)⒏淖冏儞Q的結(jié)果，矩陣乘法不滿足交換律。4．逆矩陣函數(shù)是特殊的映射，如果一個(gè)函數(shù)是——映射（從幾何的角度也可以說(shuō)是一一對(duì)應(yīng)），那么這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)。在矩陣與變換內(nèi)容中也有類似的概念——逆矩陣。（1）如果變換是一一對(duì)應(yīng)的，變換就有逆變換，這種逆變換就對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣。（2）但像投影變換就沒(méi)有逆變換。例如， =的逆變換就是再作一次關(guān)于Y軸的反射。用矩陣表示即為 =。（3）變換的逆和矩陣的逆本質(zhì)上體現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)的思想。5．矩陣的應(yīng)用一般地，給定矩陣M，若存在一個(gè)非零向量α和實(shí)數(shù)A，滿足Mα=λα，則稱λ為矩陣M的特征值，α為矩陣M的屬于特征值λ的特征向量。即特征