離心率的五種求法

離心率的五種求法一、直接求出a、c，求解e當(dāng)已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時，可利用離心率公式e=c/a來解決。例如，已知雙曲線2-x^2/y^2=1（a>c）的一條準(zhǔn)線與拋物線y^2=-6x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。解法為：拋物線y=-6x的準(zhǔn)線是x=2c^2/3，即雙曲線的右準(zhǔn)線x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3。由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3。因此，選D。變式練習(xí)1：若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1(1,0)、F2(-1,0)，則其離心率為√(2/3)。解法為：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵橢圓過原點，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。因此，選C。變式練習(xí)2：如果雙曲線的實半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為√13/2。解法為：由題設(shè)a=2，2c=6，則c=3，e=c/a=√13/2。因此，選C。變式練習(xí)3：點P(-3,1)在橢圓4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左準(zhǔn)線上，過點P且方向為(2,-5)的光線，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為√113/5。解法為：由題意知，入射光線為y-1=-x/2，關(guān)于y=-2的反射光線（對稱關(guān)系）為y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，則e=c/a=√113/5。因此，選A。二、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。1到l1的距離，又AB的長為2a，∴AD的長為a。設(shè)AB的中點為M，則MF1為橢圓的半長軸，由于F1在x軸右側(cè)，∴F1的橫坐標(biāo)為c，且c>a。設(shè)F1為（c，0），則根據(jù)橢圓的統(tǒng)一定義，可得c2x2y2a2c2，其中c為橢圓的半焦距，由題意可得AD的長為a，即MF1的長為a，又MF1為橢圓的半長軸，∴a=c，代入上式得x2y2122c，∴離心率為e=ca=cc=1，故選D。注意：在解決這類問題時，常常需要根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，利用已知條件列出方程，然后再根據(jù)離心率的定義求解。需要注意的是，有時候需要將統(tǒng)一定義的方程進(jìn)行化簡，才能得到離心率的表達(dá)式。在給定的橢圓中，通過焦點且垂直于長軸的弦長為2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1。要求確定該橢圓的離心率。解：根據(jù)橢圓的第二定義，離心率e可以表示為焦點到準(zhǔn)線的距離AF與準(zhǔn)線長度AD的比值。因此，e=AF/AD=2/4=1/2。對于下面這個問題，要求建立關(guān)于離心率e的不等式并確定e的取值范圍。問題描述如下：在區(qū)間π/4≤θ≤π/2內(nèi)，給定二次曲線x^2cotθ-y^2tanθ=1。要求確定該曲線的離心率e的取值范圍。解：根據(jù)該二次曲線的方程，可以得到a^2=tanθ，b^2=cotθ。因此，c^2=a^2+b^2=tanθ+cotθ，即c=tanθ+cotθ。根據(jù)橢圓的定義，離心率e可以表示為c/a，因此e=tanθ/(tanθ)^(1/2)=1/(cosθ)^(1/2)。因為π/4≤θ≤π/2，所以cosθ≤1/2。因此，e≥(2)^(1/2)。對于下面這個問題，要求確定梯形ABCD中點E分有向線段AC所成的比為λ時，雙曲線的離心率e的取值范圍。問題描述如下：在圖中，已知梯形ABCD中，AB=2CD，點E分有向線段AC所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當(dāng)1/2≤λ≤2時，求雙曲線離心率e的取值范圍。解：根據(jù)題目中的條件，可以得到CD∥AB，因此梯形ABCD是等腰梯形。設(shè)AB=2a，CD=a，梯形高為h，則有AE=(2λ-1)h/(2λ+1)，CE=h/(2λ+1)，DE=(2λ+1)a/(2λ-1)。根據(jù)雙曲線的定義，有DE^2/4a^2-CE^2/4a^2=1，因此e^2=DE^2/4a^2=1+CE^2/4a^2。將CE和a用h和λ表示，可以得到e^2=1+(h^2λ^2)/(4a^2(λ^2-1)^2)。因為AB=2a，CD=a，所以h/a=√3/2，代入上式得e^2=1+(3λ^2)/(4(λ^2-1)^2)。因為1/2≤λ≤2，所以e^2≥2，因此e≥(2)^(1/2)。1.設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為3，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線$y^2=4x$的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1$。2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$。3.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一條漸近線方程為$y=x$，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{3}$。4.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$。5.在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$。6.如圖，$F_1$和$F_2$分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的兩個焦點，$A$和$B$是以$O$為圓心，以$OF_1$為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且$\triangleF_2AB$是等邊三角形，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$。7.設(shè)$F_1$、$F_2$分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，$P$是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為$3c$（$c$為半焦距）的點，且$F_1F_2=F_2P$，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$。8.設(shè)$F_1$、$F_2$分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，若雙曲線上存在點$A$，使$\angleF_1AF_2=90^\circ$，且$AF_1=3AF_2$，則雙曲線離心率為$\sqrt{10}$。9.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點為$F$，若過點$F$且傾斜角為$60^\circ$的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是$\left(2,\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)$。1.已知橢圓的焦點和準(zhǔn)線交點，求離心率的取值范圍。若MN≤2F1F2，則離心率e的取值范圍是多少？答案：根據(jù)橢圓的定義，離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離，a為長軸的一半。由準(zhǔn)線與x軸的交點可得a和c的值，代入公式可求得e的值。因為MN≤2F1F2，所以該橢圓是比較扁平的，離心率e應(yīng)該接近于1，因此選項D是正確的。2.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，求離心率的值。答案：根據(jù)長軸和短軸的關(guān)系可得a=2b。由橢圓的定義可得離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離。因為長軸是短軸的2倍，所以c^2=a^2-b^2=3b^2。代入公式可得e=c/a=√(3/4)=0.866，因此離心率的值為0.866。3.已知雙曲線的焦點在x軸上，求離心率的值。答案：根據(jù)雙曲線的定義可得離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離，a為長軸的一半。因為焦點在x軸上，所以c=±a。根據(jù)漸近線的方程可得a^2-b^2=c^2，代入公式可得e=√(a^2+b^2)/a。根據(jù)雙曲線的方程可求出a和b的值，代入公式可得離心率的值。4.已知橢圓的方程，求離心率的值。答案：根據(jù)橢圓的方程可得a、b和c的值，代入公式e=c/a可求得離心率的值。5.已知雙曲線的方程，求離心率的值。答案：根據(jù)雙曲線的方程可得a、b和c的值，代入公式e=c/a可求得離心率的值。6.已知雙曲線的焦點和頂點的位置關(guān)系，求離心率的值。答案：根據(jù)雙曲線的定義可得離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離，a為長軸的一半。根據(jù)雙曲線的焦點位置可得c>a，因此離心率e>1，選項D是正確的。7.已知雙曲線上一點的坐標(biāo)，求離心率的值。答案：根據(jù)雙曲線的定義可得離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離，a為長軸的一半。已知一點的坐標(biāo)，可以求出c的值。根據(jù)雙曲線的方程可得a和b的值，代入公式可求得離心率的值。8.已知雙曲線的焦點和頂點的位置關(guān)系，以及雙曲線上一點與兩個焦點的夾角，求離心率的值。答案：根據(jù)雙曲線的定義可得離心率e=c/a，其中c為焦點到中心的距離，a為長軸的一