新課程同步人教B版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)練習(xí)：課時(shí)跟蹤檢測(cè)(九)-函數(shù)的應(yīng)用(二)-

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（九）函數(shù)的應(yīng)用（二）A級(jí)——學(xué)考水平達(dá)標(biāo)練1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致是()解析：選D設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖像大致為D中圖像．2．某林場(chǎng)計(jì)劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林()A．14400畝 B．172800畝C．20736畝 D．17280畝解析：選D設(shè)年份為x，造林畝數(shù)為y，則y＝10000×(1＋20%)x－1，∴x＝4時(shí)，y＝17280.故選D.3．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．125 B．100C．75 D．50解析：選C由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9))).設(shè)經(jīng)過t1天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.4．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2019年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2021年 B．2022年C．2023年 D．2024年解析：選C設(shè)經(jīng)過x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，則130(1＋12%)x>200，即1.12x>eq\f(2,1.3)?x>eq\f(lg\f(2,1.3),lg1.12)＝eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2023年．5．一種專門侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)．解析：設(shè)開機(jī)后經(jīng)過n個(gè)3分鐘后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，故時(shí)間為15×3＝45(分鐘)．答案：456．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒．解析：當(dāng)v＝12000時(shí)，2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，∴l(xiāng)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq\f(M,m)＝e6－1.答案：e6－17．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．解析：設(shè)至少要清洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．答案：48．“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示達(dá)到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時(shí)間，N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù)．則當(dāng)N＝40時(shí)，t＝________.(已知lg5≈0.699，lg3≈0.477)解析：當(dāng)N＝40時(shí)，則t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq\f(5,9)＝－144(lg5－2lg3)≈36.72.答案：36.729．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震．地震專家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量．地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．結(jié)合散點(diǎn)圖(如圖)求a的值．(取lg2≈0.3進(jìn)行計(jì)算)解：由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x＝1.6×1019時(shí)，y＝5.0，x＝3.2×1019時(shí)，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①5．2＝alg(3.2×1019)＋b，②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).10．在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的實(shí)驗(yàn)：將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入一定量的水中，測(cè)量不同時(shí)刻未溶解糖塊的質(zhì)量，得到若干組數(shù)據(jù)，其中在第5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克．聯(lián)想到教科書中研究“物體冷卻”的問題，小明發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型函數(shù)S＝ae－kt(a，k是常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程，其中S(單位：克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量．(1)求a的值．(2)求k的值．(3)設(shè)這個(gè)實(shí)驗(yàn)中t分鐘末已溶解的糖塊的質(zhì)量為M，請(qǐng)畫出M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖，并簡(jiǎn)要描述實(shí)驗(yàn)中糖塊的溶解過程．解：(1)由題意，t＝0，S＝a＝7.(2)因?yàn)?分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).(3)M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖如圖所示．溶解過程，隨著時(shí)間的增加，逐漸溶解．B級(jí)——高考水平高分練1．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù).x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下5個(gè)模擬函數(shù)：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.74.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它比較近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．(填序號(hào))解析：畫出散點(diǎn)圖如圖所示．由圖可知，上述點(diǎn)大體在函數(shù)y＝log2x上(對(duì)于y＝0.58x－0.16，可代入已知點(diǎn)驗(yàn)證不符合)，故選擇y＝log2x可以比較近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．答案：④2．2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則________年我國人口將超過20億．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)解析：由題意，得14(1＋1.25%)x－2008>20，即x－2008>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)≈28.7，解得x>2036.7，又x∈N，故x＝2037.答案：20373．生物機(jī)體內(nèi)碳14的半衰期(剩留量為原來的一半所需要的時(shí)間)為5730年，某古墓一文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的77%，試推算該古墓距出土?xí)r約有________年．(參考數(shù)據(jù)：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，結(jié)果精確到年)解析：設(shè)生物死亡的年數(shù)為x年，由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg0.77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴該古墓距出土?xí)r約有2161年．答案：21614．一片森林原來的面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解：(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)設(shè)經(jīng)過m年后森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，則eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．5．諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)或醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：2015年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額為19800萬美元．設(shè)f(x)表示第x(x∈N＋)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額．(2015年記為f(1)，2016年記為f(2)，…，依次類推)(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2025年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬美元”是否為真，并說明理由．(參考數(shù)據(jù)：1.03129≈1.32)解：(1)由題意知f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－e